Đề 1 thi chọn học sinh giỏi môn: Toán 8 thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
 	a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
 	b) Tìm các số nguyên sao cho: .
 	c) Tìm các hằng số a và b sao cho chia cho dư 7; 
 chia cho dư 4. 
Câu 2: (1,5 điểm)
 	a) Tính giá trị biểu thức: 
A= với 
 	 b) Tìm để B có giá trị nhỏ nhất: 
 với x>0
Câu 3: (2 điểm)
 Chứng minh rằng:
 	 a) 
 	 b) Nếu là các số tự nhiên thỏa mãn : thì :
 m-n và đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
 	 a) Chứng minh OM=ON.
 	 b) Chứng minh .
 	 c) Biết Tính  ?
 	 d) Nếu . Chứng minh BD > AC.
-----------HẾT-------------
UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu
Đáp án
Điểm
1
a/ =
0,5
=
0,25
b/ . Do là các số nguyên nên ta có: 
TH1: (thỏa mãn) hoặc(thỏa mãn)
0,25
0,25
TH2: (thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn)
0,5
c/ Vì chia cho dư 7 nên ta có: = 
do đó với thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
0,25
Vì chia cho dư 4 nên ta có: =
do đó với thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
0,25
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
0,25
2
a/ Ta có: với mọi nên ta có:
0,25
A= =
0,25
Thay vào A ta có: A=
0,25
b/ B==
0,25
=.
0,25
Dấu “=” xảy ra khi .
0,25
Vậy GTNN của B là đạt được khi .
3
a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.
 Xét vế phải đẳng thức ta có: 
0,25
Thay a=b+c vào 
0,25
0,25
Nên .
0,25
Vậy: 
b/Ta có(*)
0,5
Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)(5m+5n+1)+5m-5n d10m+1 d
Mặt khác từ (*) ta có: d2m d. Mà 10m+1 d nên 1 dd=1
0,25
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
 thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
0,25
4
 hình vẽ
0,25
a/ Ta có Do MN//DC
OM=ON.
0,5
0,5
b/ Do MN//AB và CD và . Do đó:
 (1)
0,25
Tương tự: (2)
0,25
Từ (1);(2) 
0,25
0,25
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng. Do vậy : và 
0,25
Nhưng nên .
Tương tự .Vậy 
0,5
0,25
d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
Do nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có . 
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC DH>KCDK > CH. 
0,25
0,25
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : (Do 
0,25
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa