Đề 1 thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán học – lớp 9 thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 HÀ NỘI NĂM HỌC 2015 – 2016
 ––––––––– Môn thi: Toán – Lớp 9 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
 Ngày thi: 14/04/2016
Bài 1 (5 điểm)
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn : .
Chứng minh 
Tìm các số nguyên tố x sao cho là số nguyên tố.
Bài 2 (5 điểm)
Giải phương trình : .
Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) thỏa mãn : 
Bài 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn: ; ; và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh : 
Bài 4 (6 điểm)
 Cho tam giác đều ABC cạnh a. Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q). Trên tia đối của tia BA lấy điểm P sao cho . Gọi M là giao điểm của AQ và CP.
Chứng minh bốn điểm A, B, M, C cùng thuộc một đường tròn.
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của của M trên AB, BC, CA.
Xác định vị trí của Q để độ dài IK lớn nhất.
Chứng minh : không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC.
Bài 5 (1 điểm)
 Cho bảng ô vuông kích thước 10 x 10 gồm 100 ô vuông kích thước 1 x 1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoạc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.