Đề 1 kiểm tra tập trung lần 1 môn toán lớp 12 thời gian làm bài: 90 phút

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
ĐỀ KIỂM TRA TẬP TRUNG LẦN 1
MÔN TOÁN lớp 12
Thời gian làm bài: 90 phút
Học sinh phải ghi lớp vào phần phách và ghi “Ban A, B” hay “Ban D” vào phần bài làm.
Ban A, B làm các câu 1, 2, 3, 4, 5. Điểm các câu theo thứ tự là: 3,5; 1,5; 3; 1; 1.
Ban D làm các câu 1, 2, 3ab, 4, 5. Điểm các câu theo thứ tự là: 4; 1,5; 2,5; 1; 1.
Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị là (C).
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
	b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với 	đường thẳng (D): y = x + 3.
	c) Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) và có hệ số góc m. Biện luận theo m số 	giao điểm của (d) và (C).
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
	y = f(x) = trên đoạn [–1; 2].
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, D SAB đều và nằm trong 	mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm AB.
	a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
	b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HC.
	c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Câu 4: Giải hệ phương trình sau:
	 .
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AB // CD, 	CD = 2AB, 	D(–7; 3), trung điểm của BC là E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng 	(d): x + 4y – 1 = 0 	và diện tích hình thang là 30. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C 	biết A có tọa độ nguyên.
– Hết –
ĐÁP ÁN
Câu
Ý
Đáp án
Biểu điểm
Ban D
1
Cho hàm số y = .
S = 4
a
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
S = 2
* Tập xác định: D = R\{1}.
* Þ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị.
0,25
 Þ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
0,25
* y' = > 0, " x Î D
Þ Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định
0, 5
* Bảng biến thiên:
x
–∞
 1
+∞
y'
+
+
y
+∞ 
1
1
–∞ 
0,5
* Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1; 1) làm tâm đối xứng
0,5
b
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (D): y = x + 3
S = 1
Tiếp tuyến (D) // (D) Þ (D) có hệ số góc k = 1.
0,25
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (D) và (C)
Þ y'(x0) = k = 1 Û Û 
0,25
Với x0 = 0 Þ y0 = 2 Þ (D): y = 1(x – 0) + 2 = x + 2
0,25
Với x0 = 2 Þ y0 = 0 Þ (D): y = 1(x – 2) + 0 = x – 2
0,25
c
Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) và có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (C).
S = 1
(d) qua A và có hệ số góc m Þ (d): y = m(x + 1) – 3
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là
Û x – 2 = (mx + m – 3)(x – 1) 
(Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình)
Û mx2 – 4x – m + 5= 0	(1)
0,25
* m = 0: (1) Û x = Þ (d) và (C) có 1 giao điểm .
0,25
* m ≠ 0: D' = m2 – 5m + 4
+ 1 < m < 4: (1) VN Þ (d) và (C) không có giao điểm 
+ m = 1 hay m = 4: (d) và (C) có 1 giao điểm \
+ m 4: (d) và (C) có 2 giao điểm phân biệt
0,25
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
	y = f(x) = trên đoạn [–1; 2].
S = 1,5
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [–1; 2]
0,25
y' = ; f'(x) = 0 Û x = 1 Î [–1; 2]
0,5
Ta có f(–1) = ; f(1) = ; f(2) = 
0,25
Vậy ; 
0,5
3
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, DSAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm AB.
S = 2,5
a
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
S = 1
(SAB) ^ (ABCD), (SAB) Ç (ABCD) = AB, SH ^ AB
Þ SH ^ (ABCD) 
0.25
Ta có: SABCD = a2; SH = 
0,25
Do đó VSABCD = 
0,25
	= 
0,25
b
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HC.
S = 1,5
Gọi E là trung điểm CD Þ AE // HC Þ HC // (SAE)
Þ d(HC, SA) = d(HC, SAE) = d(H, SAE)
0,25
Dựng HK ^ AE tại K; HI ^ SK tại I
Ta có AE ^ SH; AE ^ HK Þ AE ^ (SHK) Þ HI ^ AE
Do đó HI ^ (SAE) Þ d(H; SAE) = HI
0,5
D AHE vuông tại H Þ 
D SHK vuông tại H Þ 
Þ HI = 
0, 5
Vậy d(HC, SA) = HI = 
0,25
c
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Dựng HM ^ BD tại M, HN ^ SM tại N
Ta có BD ^ SH, BD ^ HM Þ BD ^ (SHM) 
Þ HN ^ BD mà HN ^ SM Þ HN ^ (SBD) 
Þ d(H; SBD) = HN.
Ta có D BMH vuông cân tại M Þ MH = 
 = Þ HN = 
Vì H là trung điểm AB Þ d(A; SBD) = 2d(H; SBD) = 
4
Giải hệ phương trình : 
S = 1
Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + 2 > 0 " t
Þ f(t) đồng biến trên R.
0,25
Do đó (1) Û f(x) = f(y) Û x = y.
0,25
Thay vào (2) ta được: 
 Û (3) 
Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + 1 > 0, " t 
Þ g(t) đồng biến trên R 
Do đó (3) Û f(2x) = f( ) Û = 2x
0,25
Û Û 
0,25
5
Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 2AB, D(–7; 3), trung điểm của BC là E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng
(d): x + 4y – 1 = 0 và diện tích hình thang là 30. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết A có tọa độ nguyên.
S = 1
Ta có 	A Î (d) 
Þ A(1 – 4a; a).
Gọi F là giao điểm của AE và DC 
Þ E là trung điểm AF 
Þ D ABE = D FCE
Þ SABCD = SADF 
= 2SADE Þ SADE = 15.
Ta có là vtcp của DE 
Þ DE: Þ DE: 2x – 11y + 47 = 0.
d(A; DE) = 
Do đó: Û 
	Û 	 Û . Vậy A(–3; 1).
0.5
E là trung điểm AF Þ F(11; 9) Þ = (18; 6) = 6(3; 1)
Þ Þ DF: x – 3y + 16 = 0 Þ C(3c – 16; c)
Ta có 	 = (27 – 3c; 9 – c)
	 = (3c – 9; c – 3) = 2 
Û 	 Û c = 7. Vậy C(5; 7).
0,25
E là trung điểm BC Þ B(3; 3)
0.25