Cuộc thi giải toán trên internet năm 2015 vòng thi cấp toàn quốc lớp 9 thời gian làm bài: 60 phút

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN INTERNET NĂM 2015
VÒNG THI CẤP TOÀN QUỐC
LỚP 9
Ngày thi: 10/4/2015
Thời gian làm bài: 60 phút
Bài 1. CÓC VÀNG
1. Mức dễ
Câu 1.
Kết quả rút gọn của biểu thức:
P=x+1+32+3 .67-43-x49+45 .5-2+x là:
A.2 B.1 C. x D. -x
Câu 2. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
d1:y=-x+2 và d2:y=-x+154.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:
A.72 8 B.78 C.74 D. 724 
Câu 3.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
x4+x2+6x-8=0 là:
A.5 B.3 C.1 D. 9
Câu 4.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=2x2+2y2+z2+2xy-2xz-2yz-2x-4y+2
là:
A.- 3 B.3 C.2 D. 1
2. Mức trung bình
Câu 5.
Rút gọn biểu thức P=1+102n+102n10n+12+10n10n+1,
ta được:
A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 102n
Câu 6.
Biết 5x2-5xy+y2+4x2=0, giá trị nhỏ nhất của tích xy là:
A.4 B.1 C.5 D. 6
Câu 7.
Cho phương trình 2x2+2mx+m2-2=0 (1).Nếu x1;x2 là nghiệm
của phương trình 1 thì giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=x1+x2-4+2x1x2 là:
A.254 B.4 C.252 D.132
Câu 8.
Cho tam giác ABC có BC=a; B=60o; C=75o.
Diện tích tam giác ABC là:
A.3+38a2 B.3+34a2 C.1+38a2 D. 1+34a2
3. Mức khó
Câu 9.
Điều kiện của a để hệ phương trình:
x+1+y-1=ax+y=2a+1 có nghiệm duy nhất là:
A.a=6+2 B.a=6-2 C.a=2+1 D.2+1≤a≤6+2
Câu 10.
Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của hai đường phân giác trong.
Biết IA=36; IB=3.Độ dài cạnh AB là:
A.310 B.319 C. 53 D. 3172
Bài 2. ĐUA XE
1. Mức dễ
Câu 1.
Tập nghiệm của phương trình:x2+12x+34=24x+17
là S=.
Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";"
 Þ Đáp số: - 4
Câu 2.
Gọi (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình:
Khi đó giá trị của biểu thức T=x02+y02 là
 Þ Đáp số: 8
Câu 3.
Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi ghép hai chữ số đầu
hoặc ghép hai chữ số cuối ta được hai số chính phương
và số này gấp bốn lần số kia.Số cần tìm là
 Þ Đáp số: 164
Câu 4.
Khi và 
thì giá trị của biểu thức P=x3+y3-3x+y+1975 là
 Þ Đáp số: 2015
Câu 5.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
d1:y=m-5x-2m-2 và d2:y=m+5x+m2-1.
Tập hợp các giá trị của m để d1 vuông góc với d2 là S=
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu “;”)
 Þ Đáp số: -2; 2
Câu 6.
Cho đường tròn O;25 và đường tròn O';16 tiếp xúc ngoài tại A.
Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn
C∈O;25;D∈O';16.
Độ dài đoạn thẳng CD là.
 Þ Đáp số: 40
2. Mức trung bình
Câu 7.
Cho hàm số y=m2-2m+3x+6m có đồ thị là d.
Giá trị của m để d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho diện tích
tam giác OAB lớn nhất là
 Þ Đáp số: 3
Câu 8.
Tập nghiệm của phương trình:
x-1+x3+x2+x+1=1+x4-1 là S=
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu “;”)
 Þ Đáp số: 2
Câu 9.
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:x+y+z=3.
Khi biểu thức C=1yz+1xz đạt giá trị nhỏ nhất thì x;y;z=;;
Nhập các giá trị lần lượt vào ba ô đáp án, dưới dạng phân số tối giản.
 Þ Đáp số: 34;34;32
Câu 10.
Nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:
y2=x+8x2+2 16x-8y+16=5x2+4xy-y2 là ;.
Nhập giá trị của x trước; giá trị của y sau, lần lượt vào hai ô đáp án.
 Þ Đáp số: (19; 99)
Câu 11.
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=25 và x2+y2+z2=233.
Giá trị của biểu thức:
là
 Þ Đáp số: 392
Câu 12.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh BC lấy điểm N
sao cho BAN=CAM. Biết AB=10cm, AC=15cm.
Khi đó BNNC=...
Nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản
 Þ Đáp số: 4/9
3. Mức khó
Câu 13.
Trong các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên mà
giá trị diện tích và chu vi bằng nhau,độ dài đường cao ứng với
cạnh huyền đạt giá trị lớn nhất có thể là
Nhập kết quả dưới dạng phân số tối giản
 Þ Đáp số: 24/5
Câu 14.
Cho tam giác ABC có góc A=60o, ngoại tiếp đường tròn O;3.
Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy
điểm P sao cho BM=BN;CM=CP.Đoạn thẳng NP có độ dài nhỏ
nhất bằng
 Þ Đáp số: 3
Câu 15.
Số tự nhiên có hai chữ số xy thỏa mãn xy2=x+y3 là
 Þ Đáp số: 27
Bài 3. TRẮC NGHIỆM ĐIỀN
1. Mức dễ
Câu 1.
Cho a là nghiệm âm của phương trình: 4x2+2x-2=0.
Giá trị của biểu thức: P=2a+1a4+a+1-a2 là
 Þ Đáp số: 2
Câu 2.
Cho đa thức fx=x2+ax+b.Biết fx chia cho x-1 dư 2,
chia cho x+2 dư-4.Khi đó tích ab= ...
 Þ Đáp số: -6
Câu 3.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài là 15,6cm;
đường cao ứng với cạnh bên có độ dài là 12cm.Độ dài đáy BC làcm.
 Þ Đáp số: 13
Câu 4.
Tập hợp các giá trị của m để phương trình:
m2-4x2+2m+2x+1=0 có nghiệm duy nhất là 
Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";"
 Þ Đáp số: 2
2. Mức trung bình
Câu 5.
Tập hợp các giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
d:y=m-1x+1 bằng 15 là S=
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu “;”)
 Þ Đáp số: - 1; 3
Câu 6.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD, có AB=BC=43cm;
CD=4cm.Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD làcm.
 Þ Đáp số: 6
Câu 7.
Các ngôi nhà ở một bên của một dãy phố được đánh số bằng các số lẻ liên tiếp
tăng dần. Biết rằng số ngôi nhà nhiều hơn 3 và tổng các số nhà bằng 333.
Số nhà của ngôi nhà thứ bảy tính từ đầu dãy phố đó là 
 Þ Đáp số: 41
Câu 8.
Cho biểu thức P=2x+1x3-1-1x-1:1-x+4x+x+1.
Tập hợp các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương là S={} 
Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu “;”
 Þ Đáp số: 16; 36
3. Mức khó
Câu 9.
Số dư trong phép chia 1010+10102+10103++10102015 cho 7 là
 Þ Đáp số: 3
Câu 10.
Cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi I là giao điểm các đường phân giác
trong của tam giác,M là trung điểm của BC.Biết rằng BIM=90o.
Khi đó AB :BC :CA= ...
 Þ Đáp số: 3:5:4