Chuyên đề: Về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

CHUYấN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲN	G
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đụi một vuụng gúc với nhau với ba vectơ đơn vị .
2. ; M(x;y)Û
3. Tọa độ của vectơ: cho 
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
g. .
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
a.	b.
c. G là trọng tõm tam giỏc ABC ta cú:
xG=; yG=
d. M chia AB theo tỉ số k: 
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: 
II. Phương trỡnh đường thẳng
a
n
D
1. Một đường thẳng D được xỏc định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ phỏp tuyến hoặc một vectơ chỉ phương 
	Phương trỡnh tổng quỏt .
	Phương trỡnh tham số: , .
	Phương trỡnh đường thẳng qua M cú hệ số gúc k: .
2. Khoảng cỏch từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng D: là:
(C)
r
D
I
M
.
III. Phương trỡnh đường trũn
1. Một đường trũn được xỏc định khi biết tõm I(a;b) và bỏn kớnh r.
Phương trỡnh:
Dạng 1: .
Dạng 2: , điều kiện và .
2. Điều kiện để đường thẳng D: tiếp xỳc với đường trũn (C) là:
Elip
1. Phương trỡnh chớnh tắc: , (a>b>0).
2. Cỏc yếu tố: , c>0.
Tiờu cự: F1F2=2c;	Độ dài trục lớn A1A2=2a	Độ dài trục bộ B1B2=2b.
Hai tiờu điểm .
x
y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1
O
M
Bốn đỉnh: đỉnh trờn trục lớn , 
đỉnh trờn trục bộ .
Bỏn kớnh qua tiờu điểm: 
Tõm sai: 
Đường chuẩn: 
Khoảng cỏch giữa hai đường chuẩn: .
 BÀI TẬP 
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, tỡm phương trỡnh đường trũn cú tõm I(1;0) và tiếp xỳc với đường thẳng (D): 3x–4y + 12 = 0.
HD: 
Bài 2. Cho 2 điểm P(4 ;0), Q(0 ;-2)
a) Viết phương trỡnh tổng quát của đường thẳng đi qua A(3 ;2) và song song với đt PQ
b) Viết phương trỡnh tổng quát của đt trung trực của PQ
LG :
a) Đường thẳng PQ có pt x-2y-4=0
d song song với PQ ,d có pt : x-2y+c=0
Đường thẳng PQ :x-2y+1=0
b) Đường trung trực d của PQ đi qua TĐ I của PQ,I( 2 ;-1) 
là vectơ pháp tuyến của d,
Phương trỡnh của d là :2x+y-3=0
Bài 3 : Cho đường thẳng d có pt :x-y=0 và điểm M(2 ;1)
a) Viết phương trỡnh tổng quỏt của đt đx với d qua M
b) Tìm hình chiếu của M trên d
LG :a) Lấy A(1 ;1)
Gọi A’(x ;y) đx với A qua d
Ta có 
Nx A không nằm trên đt d nên d’ đx với d qua M sẽ song song với d,pt của d’ là :
x-y-2=0
b)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :
 x2 + y2 + 2x – 4y = 0
biết rằng tiếp tuyến đó đi qua M(4; 7)
Giải:
 Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2). Bán kính 
R = 
 Đường thẳng D qua M có phương trình: A(x - 4) + B(y - 7) = 0 (A2 + B2 ạ 0 )
 Để D là tiếp tuyến của (C) thì 
 d(M/(C)) = R
Do đó ta tìm được hai tiếp tuyến cần tìm:
 2x – y – 1 = 0 và x – 2y – 10 = 0
Bài 5: Cho đường tròn (C):
 x2 + y2 + 2x – 4y = 0
Chứng tỏ rằng điểm P(1; 1) nằm trên đường tròn đã cho. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại P
Hướng dẫn:
a) Dễ dàng kiểm tra được P nằm trên đường tròn
b) Tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng qua P và nhận làm vectơ pháp tuyến do đó ta tìm được phương trình tiếp tuyến: 2x – y – 1 = 0
Bài 6.Cho 
a)Viết phương trỡnh chớnh tắc của (E) cú tiờu điểm , và đi qua I
b) Khi M chạy trờn (E), M cú GTNN và GTLN bằng bao nhiờu?
LG:
a) (E) cú ptct: (a > b > 0) 
I(0;3) thuộc (E) nờn b2=9 hay b=3
b)
Bài 7. Viết ptct của (E) qua M(0;1) và .xỏc định toạ độ cỏc tiờu điểm.
LG:
(E) cú ptct: (a > b > 0) 
(E) qua M,N
Bài 8: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d1: x – 2y + 1 = 0; d2: 3x – y – 2 = 0; d3: 2x + y + 1 = 0. Tỡm điểm M trờn d1 điểm N trờn d2 sao cho MN = và MN song song với d3
Giải:
M thuộc d1, N thuộc d2 nờn M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2)
 (1)
thay vào (1) ta được a = b = 0 hoặc a = b = 2
Vậy cú 4 điểm thoả món bài toỏn là: M(-1; 0), N(0; -2) hoặc M(3; 2), N(2; 4)
Bài 9: Trong hệ tọa độ cho hai đường thẳng và . Giả sử cắt tại Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua cắt và tương ứng tại sao cho .
I
d1
d2
A
M
B
A0
B0
Giải:
 cắt tại Chọn ta cú 
Lấy sao cho 	 
Suy ra đường thẳng là đường thẳng qua và song song với 
Suy ra phương trỡnh hoặc 
Bài 10: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4). Hóy tỡm trờn đường thẳng một điểm M sao cho nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đú I(1 ; -2), J()
Ta cú : 
Vỡ vậy nhỏ nhất khi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của J trờn đường thẳng 
Đường thẳng JM qua J và vuụng gúc với cú phương trỡnh: 2x – y – 8 = 0.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ . Vậy M()
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm và hai đường thẳng ; cắt nhau tại A . Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua P tạo với , thành tam giỏc cõn tại A và cú diện tớch bằng .
Giải :
Ta cú và . Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi , là: D1: và D2: 
tạo với , một tam giỏc vuụng cõn vuụng gúc với D1 hoặc D2.. 	
 ị Phương trỡnh của cú dạng: hay 
Mặt khỏc, qua nờn C = 25 ;
 CÂ = 77
Suy ra : hay 
Theo giả thiết tam giỏc vuụng cõn cú diện tớch bằng ị cạnh huyền bằng 
Suy ra độ dài đường cao A H == 
 Với thỡ ( tm)
 Với thỡ ( loại )
Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng . Tỡm trờn hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tớch tam giỏc ABC bằng15.
Giải. Gọi . Khi đú diện tớch tam giỏc ABC là
 .
Theo giả thiết ta cú 
Vậy hai điểm cần tỡm là A(0;1) và B(4;4).
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cú đỉnh điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ( ), gúc ; bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC bằng . Xỏc định toạ độ điểm A và C.
Giải:
Gọi C(c;0); A(0;a); ta cú: 
Suy ra C(0 ;0) trựng với điểm O .Gọi H hỡnh chiếu vuụng gúc điểm B trờn Oy ta cú tam giỏc BHA một nửa tam giỏc đều .Nờn BA =2 BH do đú HA = hoặc 
Vậy cú , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc , B(-2 ;1) , C(0 ;0)
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú , đường thẳng cú phương trỡnh là và trọng tõm G của tam giỏc thuộc đường thẳng . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh và 
Giải:
Gọi là trung điểm của đoạnvà là trọng tõm của . Do nờn Tọa độ điểm thỏa món hệ phương trỡnh:
. 
Vậy 
Ta cú . Gọi là đường trũn cú tõm và bỏn kớnh .
Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ phương trỡnh:
Vậy tọa độ hai điểm là 
Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú đỉnh ; . G Là trọng tõm thuộc đường thẳng d cú phương trỡnh là và diện tớch tam giỏc ABC bằng . Hóy xỏc định tọa độ điểm A ?
Giải:
. (G là trọng tõm tam giỏc ABC)
Với 
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tõm và tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC lần lượt là G() và I(1,-2). Xỏc định tọa độ đỉnh C.
Giải:
Gọi A(xA; yA). Cú ị A(-4; -2).
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ làm vec tơ phỏp tuyến nờn cú PT: 
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 Û x + 2y - 7 = 0.. Gọi C(x; y). Cú C ẻ BC ị x + 2y - 7 = 0.
Mặt khỏc IC = IA Û .
 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trỡnh: 
Giải hệ phương trỡnh ta tỡm được và .
Vậy cú 2 điểm C thỏa món là C(5; 1) và C(1; 3).
Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giỏc vuụng tại , biết và đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phõn giỏc trong của gúc ABC cú phương trỡnh là . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc biết đường thẳng đi qua điểm .
Giải:
, 
Gọi I đối xứng với O qua phõn giỏc trong gúc ABC nờn và 
Tam giỏc vuụng tại A nờn vuụng gúc với 
Với loại
Với
Vậy 
Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giỏc ABC, cỏc đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A cú phương trỡnh lần lượt là: và Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B và C biết tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC là 
Giải: 
+ Theo giả thiết thỡ A(-3 ;-8)
+ Đường thẳng qua I(-5;1) và song song với x-2y-13=0 cắt đường thẳng 13x-6y-9=0 tại M(3;5).
+ Đường thẳng qua BC cú phương trỡnh là: 2x + y – 11 = 0 nờn B(xB; 11-2xB). Mà IA = IB nờn B(4; 3) hoặc B(2;7)
+ Vậy B(4; 3) và C(2;7) hoặc C(4; 3) và B(2;7) là hai nghiệm cần tỡm.
Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm C và tiếp xỳc với đường thẳng BG.
Giải:
+ Giả sử 
Vỡ G là trọng tõm nờn ta cú hệ: 
+ Từ cỏc phương trỡnh trờn ta cú: B(-1;-4) ; C(5;1) 
+ Ta cú nờn phương trỡnh BG: 4x – 3y – 8 = 0
+ Bỏn kớnh R = d(C; BG) = phương trỡnh đường trũn là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 
Bài 20: ChoABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: và phõn giỏc trong CD: . Viết phương trỡnh đường thẳng BC.
Giải:
Điểm . 
Suy ra trung điểm M của AC là . 
Điểm 
Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ).
 Suy ra . 
Tọa độ điểm I thỏa hệ: . 
Tam giỏc ACK cõn tại C nờn I là trung điểm của AK tọa độ của .
Bài 21: Trong hệ tọa độ cho hỡnh thoi cạnhcú phương trỡnh là: hai đỉnh lần lượt thuộc cỏc đường thẳng . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh thoi biết rằng diện tớch hỡnh thoi bằng 75 và đỉnh A cú hoành độ õm.
Giải: 
Khi đú và trung điểm của là 
Theo tớnh chất hỡnh thoi ta cú :
.
Suy ra .
Khi đú ; .
Suy ra .
Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tỡm tọa độ đỉnh B biết B cú hoành độ dương.
Giải:
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thỡ N’ thuộc AB, ta cú: 
Phương trỡnh đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng AB: 
AC = 2. BD nờn AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giỏc vuụng ABI cú:
 suy ra x = suy ra BI = .
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường trũn tõm I bỏn kớnh 
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 
 B cú hoành độ dương nờn B( 1; -1)
Bài 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM phương trỡnh : x – y –2 = 0. Xỏc định tọa độ cỏc điểm A, B, D.
Giải:
A ẻd ị A(t; 2 -3t)
Ta cú: d(C; DM) = d(A; DM) ị | 4t -4 | = 8 Û| t - 1 | = 2 
t = 3 ị A(3, -7) (loại vỡ A, C phải khỏc phớa đối DM)
t = -1 ị A(-1, 5) (thỏa món)
Giả sử D(m; m-2). 
Gọi I là tõm của hỡnh vuụng ị I là trung điểm của AC ị I (1; 1)
Do I là trung điểm của BD ị B(-3; -1)
Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử và đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ điểm A.
Giải:
B
A
C
D
N
M
Ta cú : AN = ; AM = ; MN = ;
	cosA = = ị 
	(Cỏch khỏc :Để tớnh = 450 ta cú thể tớnh 
	)
Phương trỡnh đường thẳng AM : ax + by = 0
	 Û 3t2 – 8t – 3 = 0 (với t = ) ị t = 3 hay 
	+ Với t = 3 ị tọa độ A là nghiệm của hệ : ị A (4; 5)
	+ Với ị tọa độ A là nghiệm của hệ : ị A (1; -1)
Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hỡnh thoi MNPQ cú M(1; 2), phương trỡnh NQ là .Tỡm toạ độ cỏc đỉnh cũn lại của hỡnh thoi, biết rằng NQ = 2MP và N cú tung độ õm. 
Giải: 
Phương trỡnh MP là: 
 tọa độ I là nghiệm của hệ phương trỡnh .
I là trung điểm của MP nờn suy ra 
phương trỡnh NQ là nờn tọa độ N, Q cú dạng (m; m-1)
Do 
Vỡ N cú tung độ õm nờn N(0; -1) Q(4; 3).
Vậy , N(0; -1), Q(4; 3) là cỏc đỉnh cần tỡm.
Bài 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trũn (C) nội tiếp hỡnh vuụng ABCD cú phương trỡnh: . Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm và điểm A cú hoành độ dương.
Giải:
Phương trỡnh đường thẳng đi qua M(-3;-2) cú dạng . 
Đường trũn (C) cú tõm I(2;3) và bỏn kớnh .
(C) tiếp xỳc với AB nờn hay
Do đú phương trỡnh AB là 
hoặc AB:.
+ Nếu AB:. Gọi A(t;3t+7) vỡ A cú hoành độ nờn t > 0 và do nờn (loại)
+ Nếu AB:. Gọi A(3t+3;t) vỡ A cú hoành độ nờn t >-1 và do nờn . Suy ra A(6;1)C(-2;5) và B(0;-1); D(4;7)
Vậy cỏc điểm cần tỡm là .
Bài 27: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường chộo BD: x – 7y + 14 = 0 và đường chộo AC qua điểm M(2 ; 1). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật.
Giải:
AC: kx – y – 2k + 1 = 0
 cos CAB = cos DBA 
k = 1 , AC : x – y – 1 = 0
k = , AC : x – 7y + 5 = 0 // BD ( lọai)
Ta tỡm được A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0)
Bài 28: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng y = x. Tỡm tọa độ đỉnh C và D.
Giải:
Ta cú: . Phương trỡnh của AB là: .
. I là trung điểm của AC và BD nờn ta cú: . 
Mặt khỏc: (CH: chiều cao) . 
Ngoài ra: 
Vậy tọa độ của C và D là hoặc 
Bài 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trũn và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trỡnh của d sao cho nhỏ nhất.
Giải:
Tõm đường trũn nờn điểm A nằm ngoài (C) 
Ta cú AB.AC = d2- R2 = 16 và dấu “=”xẩy ra AB = AC = 4 . Khi đú d là tiếp tuyến của (C), d cú dạng 
Từ đú ta cú 
chọn 
Vậy phương trỡnh d : 
Bài 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn (T): và điểm . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là cỏc tiếp điểm. Tỡm tọa độ tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MAB.
Giải:
Ta cú: . Suy ra điểm M nằm ngoài (T). Vậy từ M kẻ đến (T) được 2 tiếp tuyến.. Gọi . Ta cú MI là đường trung trực của AB
 KA = KB là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MAB.
PTTS MI: , tại K1(3;1) và K2(-8;-12) 
Ta cú Vậy , tức là K(3;1)
Bài 31: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: . Gọi (C) là đường trũn cắt d tại 2 điểm B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C cắt nhau tại O. Viết phương trỡnh đường trũn (C), biết tam giỏc OBC đều.
Giải:
Gọi (C) cú tõm I bỏn kớnh R. OI cắt BC tại H thỡ H là trung điểm BC và OH vuụng gúc BC =>H(0;)=>OH=. Do tam giỏc OBC đều nờn OH=. 
Trong tam giỏc vuụng IB cú 
Trong tam giỏc vuụng IBH cú 
Vậy phương trỡnh đường trũn (C):
Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng D : x – y + 1 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn đi qua M cắt D ở 2 điểm A, B phõn biệt sao cho DMAB vuụng tại M và cú diện tớch bằng 2.
Giải:
Đường trũn (C) tõm I(a, b) bỏn kớnh R cú phương trỡnh .
 DMAB vuụng tại M nờn AB là đường kớnh suy ra qua I do đú: a - b + 1 = 0 (1)
Hạ MH AB cú 
Vỡ đường trũn qua M nờn 
Ta cú hệ 
Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) cú phương trỡnh 
Bài 33 (A-2008). Cho Elip với tõm sai và hỡnh chữ nhật cơ sở của nú cú chu vi bằng 20. Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip.
Giải. Gọi phương trỡnh chớnh tắc của Elip là 
Theo giả thiết, ta cú 
Vậy phương trỡnh chớnh tắc của (E) là