Chuyên đề về hình học trong không gian

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 1 
 Lời nói đầu 
Chào các Em học sinh thân mến ! 
Câu hình học không gian là một nội dung quan trọng trong đề thi của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.Câu này 
không quá khó. Tuy nhiên nhiều Em học sinh cũng lúng túng khi gặp phần này. Đặc biệt là khi các Em tính 
khoảng cách hay ý sau của bài toán. Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận ra được rằng đa phần các 
Em hay bị mất đi 0,5 điểm ở ý sau của câu này. Với mục tiêu có thể giúp Em cảm thấy nhẹ nhàn với hình 
học không gian và có thể lấy được trọn điểm câu này. Thầy biên soạn một quyển tài liệu “CHUYÊN ĐỀ 
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” gửi đến các Em. Với cách hệ thống lý thuyết và các ví dụ được xây dựng từ 
cái góc của vấn đề, nâng dần đến giải quyết các vấn đề tổng quát. Thầy tin rằng có thể mang đến cho các 
Em một cái nhìn hết sức rỏ ràng về hình không gian và có được sự tự tin về hình học không gian. Để thuận 
lợi cho việc đọc tài liệu Thầy chia ra thành 4 chương. 
 Chương 1. Tóm tắt lý thuyết quan trọng 
Chương 2. Phân dạng các bài toán khoảng cách 
Chương 3. Thể tích và khoảng cách 
Chương 4. Phương pháp tọa độ hóa tối ưu bài toán hình không gian 
Cuối cùng, Thầy cũng không quên nói rằng dù đã cố gắng nhưng tài liệu chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai 
sót nhất định. Hi vọng nhận được phản hồi từ phía các Bạn đọc. Để lần chỉnh sửa sau sẽ mang đến cho 
chúng ta một tài liệu tiến về mong ước. 
Trần Duy Thúc 
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 2 
H
MB
C
A
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
Chương 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG 
Trong phần này Thầy chỉ điểm qua những lý thuyết hay sữ dụng nhất khi giải bài toán hình không gian. 
Những phần lý thuyết khác nếu có sữ dụng Thầy sẽ nhắc lại trong các bài tập mẫu. 
A. Hình học phẳng 
I. Các hệ thức lượng trong tam giác thường 
1. Định lí côsin 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cosC
   
   
   
a b c bc A
b a c ac B
c b a ab
2. Định lí sin 
2
sin sin sinC
  
a b c
R
A B
. Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.Ta có: 
2 2 2
2 2 2
2 2
. .
1 1 1
. ; .
  
 
  
  
  
BC AB AC
AH BC AB AC
AH AB AC
MA MB MC
BH BC AB CH CB AC
III. Diện tích tam giác
   
1 1 1
2 2 2
1 1 1
sinC sin sin
2 2 2
.b.c
;
,
2


 

   
   
  
  
      
 
ABC a b c
ABC
ABC ABC
ABC
S ah bh ch
S ab bc A ac B
a
S S pr
R
a b c
S p p a p b p c p
bc
a
A
B
C
c b
a
B
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 3 
+ , ,a b ch h h lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của ABC . 
+ R: bán kính đường tròn ngoại tiếp. 
+ r: bán kính đường tròn nội tiếp. 
+ p: nữa chu vi của ABC . 
IV. Diện đa giác 
1. Diện tích tam giác vuông 
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích hai cạnh góc vuông. 
1
.
2
 ABCS AB AC . 
2. Diện tích tam giác đều 
Cho tam giác ABC đều cạnh a, ta có: 
+ 
2 3
4
 ABC
a
S 
+
3
2

a
AH . 
+ Diện tích tam giác đều bằng cạnh bình phương nhân 3 chia 4. 
+ Đường cao bằng cạnh nhân 3 chia 2. 
3. Diện tích hình chữ nhật và hình vuông. 
 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. 
 Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng. 
4. Diện tích hình thang. 
Diện tích hình thang bằng một nữa đường cao nhân tổng hai cạnh đáy. 
 
1
2
 ABCDS h AD BC . 
5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc. 
1
.
2
ABCDS AC BD . 
B C
A
a
A
HB
C
h
A D
B C
B D
A
C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 4 
Chú ý: Trường hợp không nhớ công thức tính diện tích của tứ giác thì chia ra thành các tam giác hoặc các 
hình dễ tính, sau đó cộng lại ta co diện tích cần tính. 
B. Hình không gian 
I. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng 
1. Định nghĩa: 
   ,    d P d a a P . 
2. Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng) 
 , ,


  
d a
d b
a b P a b O
 .


 


d P 
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
a. Định nghĩa: 
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của nó trên 
(P). 
b. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và (P): 
B1: Tìm   A d P . 
B2. Lấy điểm S d (thường có sẳn), sau đó tìm H là hình chiếu 
vuông góc của S trên (P). 
Suy ra AH là hình chiếu của d trên (P). 
Suy ra     ; ; d P d AH SAH . 
II. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng 
1. Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một trong hai mặt phằng chứa một 
đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia. 
P
d
a
P
d
a
b
P
d S
A
H
P
d
Q
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 5 
2.Định lí 1 
   
   
 
 
,d
 

   

 
P Q
P Q a d Q
d P a
3.Định lí 2 
   
   
   
 
1
2
1 2
 

  

 
P P
P P d Q
P P d
4. Góc giữa hai mặt phẳng 
a. Định nghĩa 
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt 
phẳng cùng vuông góc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. 
b. Cách xác định góc giữa (P) và (Q) 
B1: Xác định     d P Q . 
B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H là hình chiếu vuông góc của S trên 
(Q). 
B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d). 
Ta sẽ chứng minh được SA vuông góc với d. 
Suy ra       ; ; P Q SA HA SAH . 
III. Hình chóp đều 
1. Định nghĩa 
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. 
Nhận xét: 
+ Hình chóp đều có các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng 
nhau. 
+ Các cạnh bên bằng nhau và cung với đáy các góc bằng nhau. 
2. Các hình chóp đều thường gặp 
a) Hình chóp tam giác đều 
Hình chóp tam giác đều đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng 
nhau và chân đường cao của hình chóp là trọng tâm của tam giác.Cho 
hình chóp đều S.ABC, khi đó: 
+Tam giác ABC đều;chân đường cao của hình chóp là trọng tâm G của 
ABC . 
a
P
d
P1
d
P2
P
Q
d
P
H
S
A
G M
A
B
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 6 
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau. 
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. 
Chú ý: 
Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. 
+ tứ diện đều các cạnh bên bằng cạnh đáy và các mặt bên các tam giác đều. Hình chóp tam giác đều đáy 
là + hình chóp tam giác đều các cạnh bên chưa chắc đã bằng cạnh đáy. 
b) Hình chóp tứ giác đều 
Hình chóp tứ giác đều đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau và 
chân đường cao của hình chóp là tâm của hình vuông.Cho hình chóp đều 
S.ABCD, khi đó: 
+ABCD là hình vuông;chân đường cao của hình chóp là I hình vuông 
ABCD. 
+Các mặt bên là tam giác cân tai S và bằng nhau. 
+Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. 
 IV. Xác định đường cao của hình chóp 
1. Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy 
Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên chứa trong mặt phẳng vuông góc đáy. 
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc đáy. Ta kẻ SH vuông góc AB thì SH là đường 
cao của hình chóp. 
2. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc đáy 
Đường cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên. 
Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc đáy. Khi đó đường cao là 
SA. 
V. Khoảng cách 
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 
Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt 
phẳng. Cho điểm M và (P) để dựng đoạn thẳng vuông góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng một trong hai 
cách sau: 
Cách 1: 
+ Xây dựng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P). 
+ Xác định  ( ) ( )d P Q . 
+ Dựng     ;( )MH d MH d M P . 
 Cách 2: 
Nếu trong bài toán đã có  ( )SA P . Ta dựng MH song song với SA (H thuộc 
(P)). Khi đó: 
+ Nếu / /MH SA thì    ;( ) ;( )d M P d S P . 
I
C
A D
B
S
P
d
Q
H
M
P
H
M
S
I
A
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 7 
+ Nếu  MH SA I thì 
 
 

;( )
;( )
d M P
MI
d S P SI
. 
ng (Q) chứa M và (Q) vuông góc (P). 
+ Xác định  ( ) ( )d P Q . 
+ Dựng     ;( )MH d MH d M P . 
2. Khoảng giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Cho đường thẳng d và (P) ta có: 
+
 
 
  
 
 

; 0
d P O
d d P
d P
. 
+          / / ; ;( ) ,d P d d P d A P A d . 
3. Khoảng giữa hai mặt phẳng 
+ 
 
 
  
 
 

( )
( ); 0
( )
Q P d
d Q P
Q P
. 
+          (Q) / / (Q); ;( ) , (Q)P d P d A P A . 
4. Khoảng giữa hai hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng  
1 2
; khi đó: 
+  
   
   
  
1 2
1 2
1 2
; 0d . 
+                  
1 2 1 2 2 1 1 2
/ / ; ; ; , ;d d M d N M N . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Cho hai đường thẳng  
1 2
; chéo nhau. Khi đó đoạn thẳng MN đồng thời vuông góc với 
1
và 
2
(M thuộc

1
;N thuộc 
2
) được gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của 
1
và 
2
. MN chính là khoảng cách giữa
1
và 
2
. 
Phương pháp: 
Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa 
1
 và song song 
2
. Khi đó:       
1 2 2
; ;( )d d P . 
Cách 2:Dựng đoạn thẳng vuông góc chung và tính độ dài của đoạn thẳng đó. 
Phần này ta sẽ tìm hiểu kỉ hơn và sẽ được giải quyết nhanh gọn ở 
chương 2. 
VI. Thể tích khối đa diện 
1. Thể tích khối chóp 
 1
3
V Bh 
+ B:Diên tích đáy. 
+ h: độ dài đường cao của hình chóp. 
oảng cách 
2. Thể tích khối lăng trụ 
V Bh 
+ B:Diên tích đáy. 
+ h: độ dài đường cao của hình chóp. 
h
B
DA
C
S
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 8 
3. Thể tích hình hộp chữ nhật 
 . .V a b c 
Thể tích hình lập phương:  3V a 
4. Tỉ số thể tích: 
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
. 
....................................................................................................................................................................... 
Chương 2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 
A. Phương pháp tính trực tiếp 
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
1. Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên 
Phương pháp: 
Cho hình chóp có đỉnh là S và chân đường cao H. Để tính khoảng 
cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực hiện các bước sau: 
+ Xác định giao tuyến d giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy. 
+ Từ chân đường cao H dựng đoạn HM d . Kẻ HK SM , khi đó 
HK là khoảng cách cần tính. Để tính được HK ta nhớ là phải tính 
đường cao của hình chóp trước nhé. 
Chú ý: 
Trong khi tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho dễ phát hiện các tính chất vuông góc, 
song song, cũng như để thuận tiện cho việc tính độ dài. Tức là nếu đáy là hình vuông thì ta vẻ đúng hình 
vuông bên cạnh 
2. Bài tập mẫu 
C
A
S
B
A'
B'
C'
d
C
A
D
B
H
S
M
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 9 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy. 
SC hợp với đáy 1 góc 60 . 
a) Tính   ;d A SBC . b) Tính   ;d A SBD . 
Phân tích: 
Tính khoảng cách từ chân đường cao tới các mặt bên là khá dễ, nhưng hầu như khi tính khoảng cách đều 
quy về khoảng cách của chân đường cao. Do vậy các Em phải làm thật vững phần này nếu muốn tính 
 được các khoảng cách ở phần sau. 
 Bởi vì trong lúc tính khoảng cách ta sẽ dựng thêm các đường vuông góc trong mặt phẳng đáy nên tốt nhất 
là ta vẽ mặt đáy ra. Để có thể dự đoán được chân đường vuông góc cũng như để tính chúng. Trong một số 
bài toán thì đường vuông góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta không cần kẻ thêm. Ví dụ 
như bài này để tính   ;d A SBC thì ta cần kẻ AE vuông góc BC vì   AB BC E B . Tiếp theo ta chỉ 
cần kẻ AK vuông góc SB thì AK là khoảng cách cần tính. 
Giải 
a) Ta có   C SC ABCD và A là hình chiếu của S trên 
(ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). Do đó: 
   ;( 60SC ABCD SCA . Tam giác SAC vuông tại C nên 
   tan 2.tan60 6SASCA SA a a
AC
. 
Ta đã có AB BC , kẻ   1AK SB . Ta chứng minh 
 AK SBC . 
Ta có:    

   

2
AB BC
BC SAB BC AK
SA BC
. Từ (1) và (2) suy ra 
       ;AK SBC AK d A SBC . Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên ta có: 
      
2 2 2 2 2 2
421 1 1 1 1 1
76
a
AK
AK AS AB AK a a
 . Vậy     42;
7
a
d A SBC . 
b) Gọi I là giao điểm giữa AC và BD thì AI BD . Kẻ   3AH SI , ta chứng minh  AH SBD . 
Ta có:    

   

4
BD AI
BD SAI BD AH
BD SA
. 
Từ (3) và(4) suy ra        ;AH SBD AH d A SBD . 
Tam giác SAI vuông tại A, có đường cao AH nên ta có: 
60
I
D
B
A
C
S
K
H
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 10 
 
      
 
 
 
2 2 2 2 2 2
781 1 1 1 1 1
13
26
2
a
AK
AH AS AI AK
aa
 . Vậy     78;
13
a
d A SBC . 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng đáy. 
SC hợp với đáy 1 góc 60 . Gọi M là trung điểm BC. Tính   ;d A SMD . 
Phân tích: 
Giao tuyến giữa     SMD ABCD MD . Do đó ta cần kẻ AH vuông góc MD. 
Ở ví dụ 1 thì ta không vẽ mặt phẳng đáy ra vì việc xác định hình chiếu vuông góc từ A đến các giao tuyến 
có sẳn. Nhưng ví dụ này ta vẻ thêm mặt phẳng đáy ra cho việc xác định hình chiếu từ A đến MD và cũng 
như tính độ dài AH. 
Giải 
Ta có   C SC ABCD và A là hình chiếu của S trên (ABCD). Suy ra AC là hình chiếu của SC trên 
(ABCD). Do đó:    ;( 60SC ABCD SCA . 
Tam giác SAC vuông tại C nên    tan 2.tan60 6SASCA SA a a
AC
. 
Giao tuyến giữa (SDM) và (ABCD) là MD nên ta kẻ AH vuông góc MD tại H. Kẻ AK vuông góc SH tại K. 
Ta chứng minh  AK SMD . Ta có:    

   

2
MD AH
MD SAH MD AK
MD SA
. 
Từ (1) và (2) suy ra        ;AK SBC AK d A SMD . 
Ta có:   2 2 5
2
a
MD BD BM . 
Và 
  
      
2 2 2
2
4 4 2
AMD ABCD AMM BMD
a a a
S S S S a . Mà 

   
2
2 51
.
2 2 5
AMD
a a
S AH MD AH . 
Xét tam giác SAH vuông tại A, có đường cao AK nên ta có: 
a
M
D
B
A
C
S
H
K
a
a
aH
M CB
A D
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 11 
      
2 2 2 2 2 2
5 2 511 1 1 1 1
176 4
a
AK
AK AS AH AK a a
 . Vậy     2 51;
17
a
d A SBC . 
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;  3
2
a
SD ; hình chiếu vuông góc của S trên 
mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. 
a) Tính   ;d H SDC . b) Tính   ;d H SBD . 
Giải 
a) H là trung điểm của AB và    SH ABCD SH HD . Suy ra: 
      2 2 2 2 2SH SD HD SD HA AD a . Kẻ HN DC tại N;kẻ   1HK SN tại K . Ta chứng 
minh  HK SDC .Ta có:    

   

2
DC HN
DC SHN DC HK
DC SH
. 
Từ (1) và (2) suy ra        H;HK SDC HK d SDC . 
Tam giác SHN vuông tại H, có đường cao HK nên: 
   
2 2 2
21 1 1
2
a
HK
HK HS HN
 . Vậy     2H;
2
a
d SDC . 
b) Kẻ HM BD tại M;kẻ   1HE SM tại E . Ta chứng minh  HE SBD .Ta có: 
   

   

2
BD HM
BD SHM BD HE
BD SH
. 
Từ (1) và (2) suy ra        H;HE SBD HE d SBD . Ta có   2.sin45
4
a
HM HB . 
Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: 
NH
C
A
B
D
S
K
M
E
a
M
H
DA
B C
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 12 
   
2 2 2
1 1 1
3
a
HE
HE HS HM
 . Vậy    H;
3
a
d SBD . 
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng 
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 . 
a) Tính   ;d H SAC . b) Tính   ;d H SBC . 
Giải 
a) Ta có   C SC ABC và H là hình chiếu của S trên (ABC). Suy ra HC là hình chiếu của SC trên 
(ABC). Do đó:     ; 60SC ABC SCA . Xét tam giác BHC ta có: 
         
2
2 2 2 2 2 7
2 . .cos 2. . .cos60
3 3 3
a a a
HC HB BC HB BC HBC HC a a HC . 
Xét tam giác SHC ta có:   7 21.tan . 3
3 3
a a
SH HC SCH . Kẻ HM BC tại M;kẻ   1HE SM tại 
K . Ta chứng minh  HE SBC .Ta có:    

   

2
BC HM
BC SHM BC HE
BC SH
. 
Từ (1) và (2) suy ra        H;HE SBC HE d SBC . Tam giác HBM vuông tại M, có 
  3 3.sin60 .
3 2 6
a a
HM HB . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên: 
   
2 2 2
6091 1 1
87
a
HE
HE HS HM
 . Vậy     609H;
87
a
d SBC . 
b) Kẻ HN AC tại N;kẻ   1HK SN tại K . Ta chứng minh  HK SAC .Ta có: 
   

   

2
AC HN
AC SHN AC HK
AC SH
. Từ (1) và (2) suy ra        H;HK SAC HK d SAC . 
C
M
N
BHA
60
B
H
A C
S
M
N
E
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 13 
Tam giác HAN vuông tại N, có   2 3 3.sin60 .
3 2 3
a a
HN HA .Tam giác SHN vuông tại H, có đường 
cao HK nên: 
   
2 2 2
421 1 1
12
a
HK
HK HS HN
 . Vậy     42H;
12
a
d SDC . 
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A;  30ABC ; SBC là tam giác đều cạnh a và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. 
a) Xác định chân đường cao H của hình chóp S.ABC và tính độ dài đường cao này. 
b) Tính:   ;d H SAC và   ;d H SAB . 
Phân tích: Để xác định chân đường cao của hình chóp các Em xem lại mục 1 của IV. Do mặt phẳng (SBC) 
vuông góc với (ABC) và có chung đường thẳng BC nên ta chỉ cần kẻ SH vuông góc BC; SH sẽ là đường 
cao của hình chóp. Để ý, do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. 
Giải 
a) Kẻ SH BC , do tam giác SBC đều nên H là trung điểm của BC. Khi đó: 
   
   
 
 


   

  ;
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH BC SH SBC
. Vậy SH là đường cao của hình chóp S.ABC. 
Tam giác SBC đều cạnh a nên  3
2
a
SH . 
b) + Tính   ;d H SAC . 
Kẻ HN AC tại N;kẻ   1HE SN tại E . Ta chứng minh  HE SAC .Ta có: 
   

   

2
AC HN
AC SHN AC HE
AC SH
. Từ (1) và (2) suy ra        H;HE SAC HE d SAC . 
30
N
MH
C A
B
S
K
E
30
N
M
A
C
H
B
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 14 
Tam giác HCN vuông tại N, có   3 3.sin60 .
2 2 4
a a
HN HC .Tam giác SHN vuông tại H, có đường 
cao HE nên: 
   
2 2 2
151 1 1
10
a
HK
HE HS HN
 . Vậy     15H;
10
a
d SDC . 
+ Tính   ;d H SAB . 
Kẻ HM AB tại M;kẻ   1HK SM tại K . Ta chứng minh  HK SAB .Ta có: 
   

   

2
AB HM
AB SHM AB HK
AB SH
. Từ (1) và (2) suy ra        H;HK SAB HK d SAB . 
 Tam giác HBM vuông tại M, có   1.sin30 .
2 2 4
a a
HM HB . Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao 
HK nên: 
   
2 2 2
391 1 1
26
a
HE
HK HS HM
 . Vậy     39H;
26
a
d SBC . 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B;   2AB BC a ; hai mặt phẳng (SAB) 
và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 .Tính 
  A;d SBC . 
Phân tích: Trước tiên ta cần xác định được đường cao của hình chóp. Bài này ta thấy ngay SA là đường 
cao của hình chóp. 
Giải 
Ta có: 
   
   
   
 


  

 
SAB ABC
SAC ABC SA ABC
SAC SAB AB
. 
Mặt khác,  

   

BC AB
BC SAB SB BC
BC SH
. Do đó: 
        ; ; 30SBC ABC SB AB SBA . Tam giác SAB vuông tai 
B nên     2 3tan .tan30
3
SA a
SBA SA AB
AB
. 
Kẻ AK SB tại K, ta có: 
  
    
 
   

;
AK BC BC SAB
AK SBC AK d A SAB
AK SB
. 
Tam giác SAB vuông tại A, có đường cao AK nên: 
30
2a
A C
B
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 15 
   
2 2 2
1 1 1
AK a
AK AS AB
 . Vậy    A;d SBC a . 
Bình luận: Trong ví dụ 6 để tính AK, các Em cung có thể xét tam giác ABK vuông tại K và áp dụng định 
lý cosin cho tam giác vuông. Tức là:  .sin30AK AB a . Khi đó các Em không cần tính SA. Nhưng vì 
các bài toán này thường đi chung câu tính thể tích nên ở đây Thầy rèn luyện cho các Em cách tính đường 
cao luôn. 
Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên 
mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60 . 
a) Tính đường cao A’H. 
b) Tính:   ; ' 'd H ACC A . 
Giải 
a) Ta có:  'A H ABC và ' 60A HC . Do đó 
  3 3' .tan60 . 3
2 2
a a
A H CH . 
b) Kẻ HM AC tại M, kẻ HK SM tại K. Khi đó: 
   ; ' 'HK d H ACC A .Ta có: 
  3.sin60
4
a
HM HA , 
   
2 2 2
3 131 1 1
26'
a
HK
HK HM HA
 . 
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; DC=2AB=2BC; BC=a; 
 SA ABCD và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính   ;d A SDC . 
Phân tích: Bài toán đã cho ta đường cao SA, không khó để ta xác định được độ dài SA. Để tính
  ;d A SDC , ta cần kẻ AH vuông góc DC tại H. Để xác định được vị trí điểm H. Em nên vẻ hình thang 
ABCD ra, khi đó Em sẽ thấy rằng H trùng C. Tức là AC DC ?? Thử vẻ lại cho đúng tỷ lệ ta tin rằng điều 
này có thể. Vậy ta sẽ chứng minh AC DC .Tiếp theo thì đã biết rồi nhé.! 
Giải 
60
a
C'
B'
H
A C
B
A'
M
K
a
a
CB
IA D
C
I
A D
B
S
K
Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 
ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 16 
Ta có:  SA ABCD và  45SBA . Do đó  SA AB a . Gọi I là trung điểm của AD, ta có ABCI là hình 
vuông    1
2
CI AB AD ADC vuông tại C hay AC DC và  2AC a . Kẻ AK SC tại K. Khi 
đó:    A;AK d SDC .Ta có:    
2 2 2
61 1 1
3
a
AK
AK AS AC
 . Vậy     6A;
3
a
d SDC .