Chuyên đề Tìm chữ số tận cùng - Toán 6

 1 
CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG - TOÁN 6 
 Hà Hải - THCS Ngọc Trạo - Thạch Thành 
I. TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
1. Tính chất 1: 
- Các chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ cùng có số tận cùng là 0, 1, 5, 
6. 
Ví dụ 1: Chữ số tận cùng của: 1002015 = ...0 ; 543212016 = ...1; 123452017 = ...5 ; 1234562018 = ...6 
- Các chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa lẻ thì chữ số tận cùng không đổi. Khi 
nâng lũy thừa chẵn thì có tận cùng lần lượt là 6, 1. 
Ví dụ 2: 12342015 = ...4 ; 567892017 = ...9 
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa 4n đều có chữ số tận cùng là 1. 
Ví dụ 3: 1232016 = 1234.504 = ...1; 20172020 = 20174.505 = ...1; 20092000 = 20094.500 = ...1 
- Các cố có chữ số tận cùng là 2, 4, 8, khi nâng lên lũy thừa 4n đều có chữ số tận cùng là 6. 
Ví dụ 4: 2012800 = 20124.200 = ...6 ; 20142016 = 20144.504 = ...6 ; 201880 = 20184.20 = ...6 
Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của: 799; 141414; 4567; 20172017; 20182019; 23456; 
999 ; 
7654 ; 81975 
Giải 
Ta có: 799 = 74.24 + 3 = 74.24.73 = ...1.343 = ...3 
 141212 = 144.303 = ...6 
 4567 = 44.141 + 3 = 44.141.43 = ...6 .64 = ...4 
 20172017 = 20174.504 + 1 = 20174.504.2017 =...1.2017 = ...7 
 20182019 = 20184.504 + 3 = ...6 .20183 = ...6. ...2 = ...2 
 23456 = 24.864 = ...6 
999 = 92n + 1 =...9 
7654 = 42n + 1 = ...4 
 81975 = 84.493 + 3 = 84.493.83 = ...6.512 ...2 
Bài tập 2: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 20152016 + 20162017 - 20172018 
Giải 
Ta có: 20152016 = ...5 
 20162017 = ...6 
 20172018 = 20174.504 + 2 = 20174.504.20172 = ...1. ...9 = ...9 
Suy ra: 
 2 
 20152016 + 20162017 - 20172018 
 = ...5 + ...6 - ...9 
 = ...2 
Bài tập 3: Cho A = 1725 + 244 - 1321. Chứng tỏ A 10 
Giải 
Ta có: 1725 = 174.6 + 1 = 174.6.17 = ...1 .17 = ...7 
 244 = ...6 
 1321 = 134.5 + 1 = 134.5.13 = ...1.13 ...3 
Suy ra: 
 A = 1725 + 244 - 1321 
 A = ...7 + ...6 + ...3 
 A = ...0 10 
Vậy: A10 
Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: 
a) M = 
n22 1 (n N, n 2  ) chia hết cho 5 
b) N = 
n42 4 (n N, n 1  ) chia hết cho 10. 
Giải 
a) Ta có: 
n22 =  
n 1
n 1 n 122.2 2 22 2 4 ...6

 
   (Vì n 2 ) 
Suy ra: 
 M = 
n22 1 
 M = ...6 - 1 
 M = ...5 5 
Vậy M5 
b) Ta có: 
n42 =  
n 1
n 1 n 144.4 4 42 2 16 ...6

 
  (Vì n 1 ) 
Suy ra: 
 N = 
n42 4 
 N = ...6 + 4 
 N = ...0 10 
Vậy N10 
2. Tính chất 2 
 3 
- Một số tự nhiên bất kỳ khi lũy thừa lên 4n + 1 thì chữ số tận cùng không thay đổi. 
Ví dụ 1: 25 = 24.1 + 1 = ...2 ; 20192017 = 20194.504 + 1 = ...9 
Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của A = 21 + 35 + 49 + ... + 20168057 
Giải 
(Chú ý quy luật của dãy là n4(n - 2) + 1) 
Ta có: 21 = 24.0 + 1 = 2 
 35 = 34.1 + 1 = ...3 
 49 = 44.2 + 1 = ...4 
 ... 
 20168057 = 20164.2014 + 1 = ...2016 
Suy ra: 
 A = 21 + 35 + 49 + ... + 20168057 
 A = 2 + ...3 + ...4 + ... + ...2016 
Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng 2 + 3 + 4 + ... + 2016 = 
2016.2017
1
2
 = 
1008.2017 1 ...6 1 ...5    
Vậy chữ số tận cùng của A là 5. 
3. Tính chất 3 
- Các số có chữ số tận cùng là 3 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 7, các số có chữ số 
tận cùng là 7 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 3. 
Ví dụ 1: 20132019 = 20134.504 + 3 = ...7 ; 20172015 = 20174.503 + 3 = ...3 
- Các số có chữ số tận cùng là 2 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 8, các số có chữ số 
tận cùng là 8 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ có tận cùng là 2. 
Ví dụ 2: 20122015 = 20124.503 + 3 = ...8 ; 20182019 = 20184.504 + 3 = ...2 
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi lũy thừa 4n + 3 sẽ không đổi chữ số tận 
cùng. 
Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của A = 23 + 37 + 411 + ... + 20168059 
Giải 
(Chú ý quy luật của dãy số n4(n - 2) + 3) 
Ta có: 23 = 24.0 + 3 = 8 
 37 = 34.1 + 3 = ...7 
 411 = 44.2 + 3 = ...4 
 515 = 54.3 + 3 = ...5 
 4 
 619 = 64.4 + 3 = ...6 
 723 = 74.5 + 3 = ...3 
 827 = 84.6 + 3 = ...2 
 931 = 94.7 + 3 = ...9 
 ... 
 20168059 = 20164.2014 + 3 = ...2016 
Suy ra: 
 A = 23 + 37 + 411 + ... + 20168059 
 A = 8 + ...7 + ...4 + ...5 + ...6 + ...3 + ...2 + ...9 + ... + ...2016 
Chữ số tận cùng của A chính là chữ số tận cùng của 2 + 3 + 4 + ... + 2016 = 
2016.2017
1
2
 = 
...6 1 ...5  
Vậy chữ số tận cùng của A là 5 
Bài tập 2: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 20152016. 
Giải 
Ta có: 20152016 có tận cùng là 5 do đó 20152016 5 (1) 
 n2 + n = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng là 0, 2, 6  n2 + n + 1 
sẽ có tận cùng là 1, 3, 7  n2 + n + 1 5 (2) 
Từ (1) và (2)  không tồn tại n. 
Bài tập 3: Chứng minh rằng các tổng sau không phải là số chính phương. 
a) M = 2005k + 2006k + 2015k + 2019k (Với k chẵn) 
b) N = 20142016k + 20162018k 
Giải 
(Chú ý: Các số chính phương luôn có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9) 
a) Ta có: 
 2005k = ...5 
 2006k = ...6 
 2015k = ...5 
 2019k = ...1 (Với k chẵn) 
Suy ra: 
 M = 2005k + 2006k + 2015k + 2019k 
 M = ...5 + ...6 + ...5 + ...1 = ...7  M không phải là số chính phương 
 5 
b) Ta có: 
 20142016k = 20144.504k =...6 
 20162018k = ...6 
Suy ra: 
 N = 20142016k + 20162018k 
 N = ...6 + ...6 = ...2  N không phải là số chính phương 
Bài tập 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng A = p8n + 3.p4n - 4 chia hết cho 5. 
Giải 
(Chú ý: Các số nguyên tố lớn hơn 5 phải có chữ số tận cùng là 1, 3, 7, 9) 
Ta có: p8n = p4.2n = ...1 (Vì p tận cùng 1, 3, 5, 7, 9) 
 3.p4n = 3. ...1 = ...3 
Suy ra: 
 A = p8n + 3.p4n - 4 
 A = ...1 + ...3 - 4 = ...0 5 
Vậy A 5 
MỘT SỐ BÀI TẬP 
1. Tìm số dư của phép chia 
a) 21 + 35 + 49 + ... + 20158005 cho 5 
b) 23 + 37 + 411 + ... + 20158007 cho 5 
Giải 
a) Ta có: A = 21 + 35 + 49 + ... + 20158005 = 24.0 + 1 + 34.1 + 1 + 44.2 + 1 + ... + 20154.2001 + 1 = 2 + ...3 + 
...4 + .. + ...3  Chữ số tận cùng của A chính là chữ số tận cùng của: 
2 + 3 + 4 + ... + 9 + 200(1 + 2 + 3 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 201(1 + 2 + 3 + ... + 9) + 2 + 3 + 4 
+ 5 = 9045 + 15 = 9060. Vậy A có tận cùng là 0 nên A 5 
b) Số mũ có dạng 4n + 3. Chú ý 3 - 7, 8 - 2 
2. Tìm chữ số tận cùng của 
a) 28 + 312 + 416 + ... + 20158060 
b) 22 + 36 + 410 + ... + 20158062 
Giải: 
a) Số mũ có dạng 4n, chú ý: 0, 1, 5, 6 mũ mấy cũng tận cùng là nó, 2, 4, 8, có tận cùng là 6 và 1, 
3, 9 có tận cùng là 1. 
b) Số mũ có dạng 4n + 2, chú ý 3, 7, có tận cùng là 9, còn 9 có tận cùng là 1 còn 2, 8, có tận cùng 
là 4 và 4 có tận cùng là 16 
 6 
3. Chứng tỏ rằng không tồn tại số tự nhiên x, y, z sao cho 2019x + 2015y + 2020z = 20152016 + 1 
II. TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
1. Kiến thức cần nhớ 
+) n01 ...01 ; n25 ...25; n76 ...76; n26 ...76; 
+) Các số 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng 76 
+) Các số 310; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 
Bài tập 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 5151; 9999; 6666; 14101.16101 
Giải: 
Ta có: 5151 = 51.5150 = 51.(512)25 = 51. ...0125 = 51. ...01 = ...51 
 9999 = 99.9998 = 99.(992)49 = 99. ...0149 = 99. ...01 = ...99 
 6666 = 6.6665 = 6.(65)133 = 6. 
133
...76 = 6. ...76 = ..56 
 14101.16101 = 7101.2101.2404 = 7101.2505 = 7.(74)25.2.(22)252 = 14. ...0125.42.(410)25 = 224. ...76 25 
 = ...24 
Bài tập 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512k; 512k + 1; 992n; 992n + 1; 
999999 ; 65n; 65n + 1; 
66666 
Giải: 
Ta có: 512k = (512)k = ...01k = ...01 
 512k + 1 = 51.512k = 51.(512)k = 51. ...01k = ...51 
 992n = ...01 
 992n + 1 = ...99 
999999 = 992k + 1 = 99.992k = 99.(992)k = 99. ...01k = ...99 
 65n = ...76 
 65n + 1 = ...56 
66666 = ...66 = 65n + 1 = ...56 
Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 22015 
Giải 
Ta có: 22015 = 215.22000 = 210.25.220.200 = ...24 .32. ...76= ...68 
III. TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
1. Kiến thức cần nhớ 
+) 
n
...001 ...001 ; 
n
...376 ...376 ; 
n
...625 ...625 
Bài tập 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52000; 23n.47n; 23n + 3 .47n + 2 
Giải 
 7 
Ta có: 52000 = (54)500 = 
500
...625 ...625 
 23n.47n = (23.47)n = 
n
...376 ...376 
 23n + 3 .47n + 2 = 23(n + 1).47.47n + 1 = (23.47)n + 1.47 = 
n
...376 .47 ...376 .47 = ...572 
Bài tập 2: Chứng tỏ: 
a) 
n45 + 375 chia hết cho 1000 
b) 2001n + 23n.47n + 252n có tận cùng là 002 
Giải: 
a) Ta có: 
n n 1 n 1 n 14 4.4 4 4 45 5 (5 ) 625 ...625
  
    
b) Ta có: 2001n = ...001 
 23n.47n = (23.47)n = 
n
...376 ...376 
 252n = 625n = ...625 
 2001n + 23n.47n + 252n = ...002