Chuyên đề Tài liệu ôn thi tốt nghiệp thpt môn toán

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
TỔ TỐN 
---------------------- 
NGUYỄN SỸ AN − NGƠ BÁ GIANG 
NGUYỄN THỊ KIM LIÊN − NGUYỄN VĂN XÁ 
TÀI LIỆU 
ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT 
MƠN TỐN 

֠ 
THAM KHẢO NỘI BỘ 
MỤC LỤC 
Trang 
MỤC LỤC 1 
LỜI NĨI ðẦU 2 
A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ 
HÀM SỐ 3 
I. SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 
II. CỰC TRỊ 4 
III. ðƯỜNG TIỆM CẬN 5 
IV. KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ 5 
V. BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 7 
VI. BÀI TẬP THAM KHẢO 8 
B – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 9 
I. LÍ THUYẾT 9 
II. VÍ DỤ 10 
III. BÀI TẬP THAM KHẢO 13 
C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 14 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 14 
II.VÍ DỤ 15 
III.BÀI TẬP THAM KHẢO 19 
D – SỐ PHỨC 20 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 20 
II.VÍ DỤ 20 
III.BÀI TẬP THAM KHẢO 20 
E – DIỆN TÍCH HÌNH ðA DIỆN, HÌNH TRỊN XOAY VÀ THỂ TÍCH 
KHỐI ðA DIỆN, KHỐI TRỊN XOAY 21 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 21 
II.VÍ DỤ 21 
III.BÀI TẬP THAM KHẢO 22 
F – PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHƠNG GIAN 23 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 23 
II.VÍ DỤ 25 
III.BÀI TẬP THAM KHẢO 26 
G – MỘT SỐ ðỀ THAM KHẢO THI TN THPT 27
..........................................................................................................
......................................................................................................................
................................................................................................................
.........................................................................................................................
......................................
.......................................................................................
.........................................................
.....
.................................................................................
.............................
.........................................................................................................
..................................................................................................................
.................................................................................
........................................................................
....................................................................................
...................................................................................................................
..................................................................................
...............................................................................................................
..................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................
.......................................................................
..................................................................................
.................................................................................................................
................................................................................
.........................................
.................................................................................
................................................................................................................
................................................................................
......................................................
LỜI NĨI ðẦU 
 Việc biên soạn tài liệu này là một nội dung trong kế hoạch năm học 
của tổ Tốn, thể hiện một phần những nỗ lực của tổ Tốn trong việc chuẩn 
bị cho kì thi TN THPT sắp tới. 
 Rõ ràng tài liệu này chẳng cĩ ý nghĩa gì đối với những học sinh trên 
lớp khơng chú ý nghe giảng và khơng tham gia tích cực các hoạt động học 
theo chỉ dẫn của giáo viên, về nhà khơng dành thời gian hợp lí cho việc tự 
học. Nhưng chúng tơi hi vọng, với các học sinh vẫn cịn nuơi dưỡng được 
trong trái tim mình khát vọng vươn lên, đây sẽ là một người bạn nhỏ đi bên 
cạnh các em trong suốt thời gian các em ơn luyện, chuẩn bị cho thi TN 
THPT, và mong rằng nĩ sẽ đĩng gĩp một phần nào đấy vào kết quả mà các 
em đạt được. 
 Chúng tơi vẫn [trăn trở] về chất lượng và hiệu quả của tài liệu này. 
Hãy cho phép chúng tơi được chia sẻ suy nghĩ của quý thầy cơ và các em 
học sinh về những điều cần phát huy, những điều cần khắc phục trong tài 
liệu, và rất cảm ơn về sự quan tâm đĩ. 
 Chúng tơi chân thành cảm ơn đồng chí Hiệu trưởng, đồng chí Tổ 
trưởng, và các đồng nghiệp trong trường đã giúp đỡ chúng tơi hồn thành tài 
liệu nhỏ này. 
Nhĩm Tốn 12 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 

 
A – ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ 
Yêu cầu 
– Nắm được sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
– Biết khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm đa thức bậc ba, bậc bốn trùng phương, phân thức bậc nhất 
trên bậc nhất. 
– Biết giải quyết một số bài tốn liên quan: viết phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm của 
phương trình, tính diện tích hình phẳng, khoảng đơn điệu và cực trị 
– Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (đơn giản), chủ yếu xét trên một đoạn. 
I. SỰ ðỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
– Cho hàm số y = f(x) xác định và cĩ đạo hàm trên khoảng K. Nếu f ’(x) ≥ 0 ∀x∈K (f ’(x) ≤ 0 ∀x∈K), 
ở đĩ dấu “=” chỉ xảy ra với hữu hạn giá trị x∈K, thì hàm số y = f(x) đồng biến (tương ứng nghịch biến) 
trên khoảng K. 
– Hàm số y = ax + b
cx + d
 (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) luơn đồng biến (nếu ad – bc > 0) hoặc luơn nghịch biến (nếu 
ad – bc < 0) trên từng khoảng xác định. 
– Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đồng biến (nghịch biến) trên R khi y’ ≥ 0 (tương ứng y’ ≤ 0) 
với mọi x∈R. 
– Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Ta nhớ lại: 
1) f(x) > 0 ∀x∈R ⇔ a > 0
 < 0

∆
. 2) f(x) ≥ 0 ∀x∈R ⇔ a > 0
 0

∆ ≤
. 3) f(x) < 0 ∀x∈R ⇔ a < 0
 < 0

∆
. 
4) f(x) ≤ 0 ∀x∈R ⇔ a < 0
 0

∆ ≤
. 5) f(x) ≠ 0 ∀x∈R ⇔ a 0
 < 0
≠
∆
. 
Chú ý: Ở trên cĩ thể thay ∆ bởi '∆ , và nếu hệ số a cĩ chứa tham số thì phải xét thêm trường hợp a = 0. 
6) Nếu a > 0 thì ax2 + bx + c ≥ 
4a
∆
− ∀x∈R, dấu “=” xảy ra khi x = b
2a
− . 
7) Nếu a < 0 thì ax2 + bx + c ≤ 
4a
∆
− ∀x∈R, dấu “=” xảy ra khi x = b
2a
− . 
8) Nếu ∆ ≥ 0 thì f(x) cĩ hai nghiệm x = b
2a
− ± ∆
, kí hiệu hai nghiệm là x1, x2. Ta cĩ 
1 2
bS x x
a
= + = − , 1 2
cP x .x
a
= = . Hơn nữa ta cịn cĩ thể xét dấu được các nghiệm x1, x2 của f(x). 
9) Nếu ∆ > 0, ta giả sử x1 < x2, thì 
x – ∞ x1 x2 + ∞ 
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 
Ví dụ1 Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 đồng biến trên tập xác định. 
Hướng dẫn Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định D = R khi 
y’ = 3x2 – 6mx + m + 2 ≥ 0 ∀x∈R ⇔ △’ = 3(3m2 – m – 2) ≤ 0 ⇔ – 2
3
≤ m ≤ 1. 
Vậy với – 2
3
≤ m ≤ 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định. 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 
II. CỰC TRỊ 
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, x0 ∈K, và f(x) cĩ đạo hàm trên K\{x0} (tại x0 hàm f(x) 
hoặc khơng cĩ đạo hàm, hoặc f ’(x0) = 0). Nếu f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm (hoặc từ âm sang dương) 
khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại (tương ứng điểm cực tiểu) của hàm số y = f(x). 
– Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm đến cấp hai trên khoảng K, x0 ∈K, thì: 
1) 0
0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=

<
⇒ x0 là điểm cực đại của f(x). 2) 0
0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=

>
⇒ x0 là điểm cực tiểu của f(x). 
– Hàm phân thức y = 
ax + b
cx + d
 (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) khơng cĩ điểm cực trị, vì đạo hàm y’ khơng đổi dấu. 
– Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) hoặc khơng cĩ điểm cực trị (khi y’ cĩ △ ≤ 0) hoặc 
cĩ 2 điểm cực trị, 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu (khi y’ cĩ △ > 0). 
– Hàm đa thức bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) hoặc cĩ 1 điểm cực trị (khi y’ cĩ 1 
nghiệm x = 0), hoặc cĩ 3 điểm cực trị, cả cực đại và cực tiểu (khi y’ cĩ 3 nghiệm phân biệt). 
Ví dụ2 Chứng minh với mọi m hàm số y = x4 – (m2 + 12)x2 + m luơn cĩ 3 điểm cực trị. 
Hướng dẫn Vì y’ = 4x3 –2(m2 + 12)x = 2x(2x2 – (m2 + 12)) luơn cĩ 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x 
đi qua mỗi nghiệm nên hàm số đã cho luơn cĩ 3 điểm cực trị, với mọi m. 
Ví dụ 3 Chứng minh x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = ex
– sinx. 
Hướng dẫn Ta thấy y’= ex
– cosx, y’’ = ex
+ sinx nên y’(0) = 0, y’’(0) = 1 > 0. Vậy x = 0 là một điểm 
cực tiểu của hàm số đã cho. 
Ví dụ 4 Cho hàm số y = 1 3 2x mx (2m 3)x 9
3
− − + + . 
a) Chứng minh hàm số luơn cĩ 2 điểm cực trị với mọi m. 
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tai x = –2. 
Hướng dẫn a) y’ = x2 – 2mx – 2m –3 là tam thức bậc hai cĩ △’ = m2 + 2m + 3 = (m + 1)2 + 2 > 0 với 
mọi m∈R, nên y’ cĩ hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua mỗi nghiệm. Vậy hàm số đã cho luơn 
cĩ hai điểm cực trị với mọi giá trị của tham số m. 
b) C1 y’’ = 2x – 2m. Hàm số đã cho nhận x = – 2 làm điểm cực đại khi y '( 2) 0
y ''( 2) 0
− =

− <
⇔ 
1 2m 0
 4 2m 0
+ =

− − <
 ⇔ 
m = –
1
2
. Vậy với m = – 1
2
 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = – 2. 
C2 Ta lập được bảng biến thiên của hàm số đã cho 
x 
– ∞ m – 2m 2m 3+ + m + 2m 2m 3+ + + ∞ 
y’ + 0 – 0 + 
y 
 yCð + ∞ 
– ∞ yCT 
Hàm số đã cho cĩ điểm cực đại x = – 2 khi m – 2m 2m 3+ + = – 2 ⇔ 2m 2m 3+ + = m + 2 ⇔ 
2 2m 2m 3 (m 2)
m 2 0
 + + = +

+ ≥
⇔ m = –
1
2
. Vậy với m = – 1
2
 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = – 2. 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 5 
III. ðƯỜNG TIỆM CẬN 
– Nếu xảy ra ít nhất một trong hai điều kiện 
x
lim f (x) y0→+∞ = hoặc xlim f (x) y0→−∞ = thì y = y0 là đường 
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). Như vậy mỗi đồ thị hàm số cĩ tối đa hai tiệm cận ngang. 
– Nếu xảy ra ít nhất 1 trong 4 điều kiện 
0x x
lim f (x)
+→
= +∞ , 
0x x
lim f (x)
+→
= −∞ , 
0x x
lim f (x)
−→
= +∞ , 
0x x
lim f (x)
−→
= −∞ thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). 
– ðồ thị hàm số đa thức bậc ba và bậc bốn trùng phương khơng cĩ tiệm cận. 
– ðồ thị hàm số y = ax + b
cx + d
 (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) cĩ tiệm cận ngang y = a
c
, tiệm cận đứng x = – 
d
c
. 
IV. KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ 
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
1) Tìm tập xác định. 
2) Xét sự biến thiên 
– Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’. 
– Kết luận về sự biến thiên và cực trị. 
– Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực. Tìm tiệm cận (nếu cĩ). 
– Lập bảng biến thiên. 
3) Vẽ đồ thị 
Một số lưu ý 
– Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) cĩ tập xác định D = R, đồ thị cắt Oy tại A(0; d), nhận 
điểm I( b
3a
− ; f( b
3a
− )) làm tâm đối xứng. 
– Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) cĩ tập xác định D = R, đồ thị cắt Oy tại B(0; c), nhận Oy làm trục 
đối xứng. 
– Hàm số y = ax + b
cx + d
 (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) cĩ tập xác định D = R\{– d
c
}, khơng cĩ cực trị, đồ thị cĩ 
tiệm cận ngang y = 
a
c
, tiệm cận đứng x = – 
d
c
, và giao điểm I(– d
c
; 
a
c
) của hai đường tiệm cận chính là 
tâm đối xứng của đồ thị. 
– Giả sử y = f(x) (C) xác định và cĩ đạo hàm trên khoảng K, x0 ∈K. 
+ Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0; f(x0))∈(C) cĩ phương trình y = f ’(x0).(x – x0) + f(x0) 
(M0(x0; f(x0)) là tiếp điểm, k = f ’(x0) là hệ số gĩc). 
+ Nếu (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) và (d) cĩ hệ số gĩc k (k cĩ thể cho trực tiếp, cĩ thể cho 
gián tiếp thơng qua (d) vuơng gĩc hoặc song song với đường thẳng cho trước), ta giải phương trình 
k = f '(x) để tìm hồnh độ tiếp điểm x0, và phương trình của (d) là y = k.(x – x0) + f(x0). 
+ Cho (d) là đường thẳng đi qua A(xA; yA) và tiếp xúc với (C). Giả sử M0(x0; f(x0) là tiếp điểm 
của (C) và (d). Phương trình của tiếp tuyến (d) cĩ dạng y = f ’(x0).(x – x0) + f(x0). Do A∈(d) nên 
A 0 A 0 0y = f '(x ).(x x ) + f(x )− , từ đây tìm ra x0 và suy ra phương trình của (d). 
Ví dụ5 Cho hàm số y = x3 + (m + 2)x + m + 7. 
1) Tìm m để hàm số cĩ điểm cực tiểu x = 1. 
2) Vĩi m vừa tìm được, hãy khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 
3) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 – 3x = 2k. 
ớ
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 6 
Hướng dẫn 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi y '(1) 0
y ''(1) 0
=

>
⇔ 
m 5 0
6 0
+ =

>
⇔ 
m = – 5. Vậy với m = – 5 thì hàm số đã cho cĩ điểm cực tiểu x = 1. 
2) Khi m = – 5 thì hàm số trở thành y = x3 – 3x +2. 
* TXð D = R. 
* Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ± 1. 
y’ > 0 ⇔ x∈(–∞ ; – 1)∪ (1; + ∞ ) nên hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞ ; – 1), (1; + ∞ ). 
y’ < 0 ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1). 
Hàm số đạt cực đại tại x = –1, yCð = y( – 1) = 4. 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = y(1) = 0. 
Giới hạn 
x x
3
2 3lim lim x (1 )
3 2y
x x→+∞ →+∞
= = +∞− + , 
x x
3
2 3lim lim x (1 )
3 2y
x x→−∞ →−∞
= = −∞− + . 
Bảng biến thiên 
x – ∞ – 1 1 + ∞ 
y’ + 0 – 0 + 
y 
 4
 + ∞ 
– ∞ 0 
* ðồ thị 
– ðồ thị hàm số cĩ điểm cực đại (– 1; 4), điểm cực tiểu 
(1; 0), tâm đối xứng (0; 2). 
– ðồ thị giao với Ox tại (1; 0), (– 2; 0), giao với Oy tại (0; 2), đi qua điểm (2; 4). 
3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2. Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số điểm chung của đồ 
thị (C) y = x3 – 3x +2 và đường thẳng (d) y = 2k + 2 (nằm ngang). Từ đồ thị ta thấy 
– Với 2k 2 4 k 1
2k 2 0 k 1
+ > > 
⇔ + < < − 
 thì (C) và (d) cĩ 1 điểm chung nên phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm. 
– Với 2k 2 4 k 1
2k 2 0
+ =
⇔ = ±
+ =



 thì (C) và (d) cĩ 2 điểm chung 
nên phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm. 
– Với 0 2k 2 4 1 k < 1< + < ⇔ − < thì (C) và (d) cĩ 3 điểm 
chung nên phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm. 
Ví dụ 6 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4 21 3x x
2 2
− −
. 
 2) Từ đồ thị, giải bất phương trình 4 21 3x x
2 2
− −
≤ 0. 
Hướng dẫn 1) Học sinh tự làm. 
2) Nghiệm của BPT 3 x 3− ≤ ≤ . 
Ví dụ 7 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 4x + 1
2x 3−
. 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 
 2) Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 14x + y – 9 = 0. 
Hướng dẫn 1)* TXð: D = R\{ 3
2
}. 
*Sự biến thiên: y’= 
2
14
(2x 3)
−
−
 ∀x∈D. 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định (– ∞ ; 3
2
), 
( 3
2
; + ∞ ). Hàm số khơng cĩ cực trị. 
Giới hạn: 
x x
14
x
32
x
lim lim 2y
→±∞ →±∞
+
−
= = , 
3( )2
4x 1lim
2x 3x +→
+
= +∞
−
, 
3( )2
4x 1lim
2x 3x −→
+
= −∞
−
, đồ thị cĩ tiệm cận ngang y = 2 và tiệm 
cận đứng x = 
3
2
. 
Bảng biến thiên 
x –∞ 
3
2
 + ∞ 
y’ – – 
y 
2 
 – ∞ 
+∞ 
 2 
*ðồ thị: 
– ðồ thị cắt Ox tại điểm (– 1
4
; 0), cắt Oy 
tại điểm (0; – 1
3
). ðồ thị đi qua các điểm 
(–1; 3
5
), (–2; 1), (1; 5), (2; 9). 
– ðồ thị cĩ tâm đối xứng là giao điểm 
I( 3
2
; 2) của hai đường tiệm cận. 
2) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 14x + y – 9 = 0 nên tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = – 14. Vậy 
tiếp điểm cĩ tọa độ là nghiệm của hệ phương trình 
2
2
4x 1y (2x 3) 1
x 2 x 12x 3
4x 114 y 9 y 5y14 = 2x 3(2x 3) 
+
= 
− =
= = − 
⇔ ⇔ ∨   +
− = = −=   
−
−
−
. 
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (2; 9) cĩ phương trình y = –14(x – 2) + 9 ⇔ y = – 14x + 37. 
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; –5) cĩ phương trình y = –14(x – 1) – 5 ⇔ y = – 14x + 9. Nhưng đường 
thẳng này lại trùng với đường thẳng đã cho 14x + y – 9 = 0 nên bị loại. 
Vậy cĩ 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là y = – 14x + 37. 
V. BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
– Nếu ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D thì cĩ thể kết luận được về GTLN, 
NN của f(x) trên D. 
– ðể tìm GTLN, NN của f(x) trên một đoạn [a; b], ta cĩ thể làm như sau: 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 
+ Tính f
’(x), tìm x∈[a; b] sao cho f
’(x) = 0 hoặc khơng xác định. Giả sử được các giá trị x1, x2,  
+ Tính f(x1), f (x2), , f (a), f (b). 
+ Kết luận: { }1 2
x a; b
max f (x) max f(x ),f(x ),...,f(a), f(b)
∈  
= , { }1 2
x a; b
min f (x) min f(x ),f(x ),...,f(a), f(b)
∈  
= . 
– Cĩ những trường hợp chúng ta kết hợp cả phương pháp đổi biến. 
Ví dụ 8 Tìm GTLN, NN của hàm số trên TXð của chúng 
1) y = 1 x+ – 2 x− . 2) y = sin2x + cosx. 
Hướng dẫn 1) TXð D = [–1; 2]. Ta thấy y’ = 1
2 x 1+
+ 
1
2 2 x−
> 0 ∀x∈(–1; 2). Và cĩ y(–1) = – 3 , 
y(2) = 3 . Vậy 
x D
max y
∈
 = 3 , đạt được khi x = 2; 
x D
min y
∈
= – 3 , đạt được khi x = – 1. 
2) TXð D = R. Ta biến đổi y = 1 – cos2x + cosx. ðặt t = cosx, thì – 1 ≤ t ≤ t, và hàm số đã cho trở thành 
y = f(t) = –t2 + t + 1, với t∈[–1; 1]. Dễ thấy f ’(t) = – 2t + 1, f ’(t) = 0 ⇔ t = 1
2
∈[–1; 1], và f(–1) = –1, 
f( 1
2
) = 5
4
, f(1) = 1. Như vậy 
x
max y
∈ℝ
=
[-1; 1]t
max f(t)
∈
= 
5
4
, đạt được khi t = 1
2
 ⇔ x = k2 ,k ;
3
pi
pi± + ∈ℤ 
x
min y
∈ℝ
=
[-1; 1]t
min f(t)
∈
= –1, đạt được khi t = –1 ⇔ x = (k2 1) ,k .pi+ ∈ℤ 
VI. BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 1 Cho hàm số y = x4 + 2x2 – 3 (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 + 2x2
= 2m. 
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy. 
4) Tìm GTLN, NN của hàm số trên [–2; 3]. 
5) Vẽ đồ thị hàm số y = – x3 – x2 + 2x (C’) trên cùng một hệ trục tọa độ với (C). Từ đĩ suy ra số 
nghiệm của phương trình x4 + x3 + 3x2 – 2x – 3 = 0. 
6) Giải bất phương trình x4 + 2x2 – 3 > 0. 
Bài 2 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox. 
3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x + 2m = 0. 
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh. 
5) Tìm GTLN, NN của hàm số trên [–1; 1]. 
Bài 3 Cho hàm số y = x 1
x + 2
− (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Tìm m để (d) y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. 
3) Tìm GTLN, NN của hàm số trên [0; 1]. 
Bài 4 Tìm GTLN, NN của hàm số 
1) y = sinx + cos2x trên R. 2) y = 2x.ex trên đoạn [–2; 0]. 
3) y = 1 x− – 3x trên đoạn [0; 1]. 4) y = x2 – 4ln(x + 1) trên đoạn [0; 4]. 
5)y cos x cos 2x trên .= + 
26)y 2x 3x 1 trên TXð.= − + − 
R
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 9 

 
B – HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 
Yêu cầu 
– Học sinh nắm được các tính chất của lũy thừa, căn, logarit, các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm 
số mũ, hàm số logarit. 
– Biết giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản. Nội dung này là trọng tâm của 
chương. 
I. LÍ THUYẾT 
– Các tính chất của lũy thừa (với giả thiết các biểu thức cĩ nghĩa): 
mx x
x y x y x x x x y x x y xy mk k
y x
a a a
a .a a ; (a.b) a .b ; a ; ( ) ; (a ) a ; a a .
a b b
+ −
= = = = = = 
– Hàm số y = uα (α là hằng số): 
+ Nếu α ∈ *ℕ thì uα cĩ nghĩa khi u cĩ nghĩa. 
+ Nếu α ∈ , α ≤ 0, thì uα cĩ nghĩa khi u ≠ 0. 
+ Nếu α ∉ℤ thì uα cĩ nghĩa khi u > 0. 
+ ðạo hàm ( uα )’ =α . 1uα − .u’. 
+ Nguyên hàm 
1u
u du C, 1
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+∫
; 1
du
u du ln | u | C.
u
−
= = +∫ ∫ 
– Hàm số số mũ y = ax (hằng số a > 0, a ≠ 1): 
+ ðạo hàm (ax)’ = ax.lna; (ex)’ = ex; (au)’ = u’. au.lna; (eu)’ = eu.u’. 
+ Nếu a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến trên R. Nếu 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến trên R. 
+ Nguyên hàm 
x u
x x x u u ua aa dx C; e dx e C; a du C; e du e C.
lna lna
= + = + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
– Hàm số logarit y = logax (hằng số a > 0, a ≠ 1): 
+ ðạo hàm 
a a
1 1 u' u'(log x) ' ; (lnx)' = ; (log u) ' ; (lnu)' = .
xlna x ulna u
= = 
+ Nếu a > 1 thì hàm số y = logax đồng biến trên khoảng (0; + ∞ ). Nếu 0 < a < 1 thì hàm số y = logax 
nghịch biến trên (0; + ∞ ). 
+ Lưu ý: f(x)log g(x) cĩ nghĩa khi 
f(x) 0
f(x) 1
g(x) 0
>

≠
 >
. 
– Nếu a > 0, a ≠ 1 thì: 
+ af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x). 
+ logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0. 
+ logaf(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x). 
– Nếu a > 1 thì: 
+ af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x). 
+ logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0. 
– Nếu 0 < a < 1 thì: 
+ af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x). 
+ logaf(x) > logag(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x). 
ℤ
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 10 
– Khi áp dụng các cơng thức biến đổi logarit ta cần quan tâm tới điều kiện của chúng, và nhớ rằng: 
+ Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 thì loga(bc) = logab + logac, loga( b
c
) = logab – logac. 
+ Với a > 0, a ≠ 1, b < 0, c < 0 thì loga(bc) = loga(–b) + loga(–c), loga( b
c
) = loga(–b) – loga(–c). 
+ Với a > 0, a ≠ 1, x ≠ 0, n ∈ℤ , thì logax2n = 2n.loga|x|. 
II. VÍ DỤ 
Ví dụ 1 Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 
1) y = 2(2x 1)+ . 2) y = 2x xe − . 3) y = log2(x – x2). 
Hướng dẫn 1)Hàm số cĩ nghĩa khi 2x + 1 > 0 ⇔ x > – 1
2
, nên nĩ cĩ tập xác định là D = (– 1
2
; + ∞ ). 
ðạo hàm y’= 2 12 2(2x 1) −+ . 
2) TXð D = R. ðạo hàm y’= 2x x(2x 1)e −− . 
3) Hàm số cĩ nghĩa khi x –x2 > 0 ⇔ 0 < x < 1, nên nĩ cĩ tập xác định là D = (0; 1). 
ðạo hàm y’=
2
2 2
(x x ) ' 1 2x
(x x ) ln 2 (x x ) ln 2
− −
=
− −
. 
Ví dụ 2 Giải phương trình 
1) 2x 1 x 12 5( ) ( )
5 2
− +
= . 2) 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 3 = 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3. 3) 4x – 4.2x + 3 = 0. 
4) 4x + 1 – 6x = 18.9x. 5) ( 2 + 1)x + ( 2 – 1)x = 2 2 . 6) 2x = 3 x +1. 
7) 4x + 5x = 3.3x. 8) ( 5 – 1)x +( 5 – 1)x = 2x + 1. 9) 2x x x5 .3 1− = . 
Hướng dẫn 1) PT ⇔ 2 2 x 05 51 x x 1( ) ( ) x 1 1 x
x 12 2
=
− +
= ⇔ + = − ⇔ 
= −
. Vậy phương trình đã cho cĩ 2 
nghiệm x = 0, x = – 1. 
2) PT ⇔ x5 (5 + 25 + 125) = x2 (2 + 4 + 8) ⇔ x 5
2
5 14 14( ) x log ( )
2 155 155
= ⇔ = . Vậy phương trình đã cho 
cĩ nghiệm duy nhất 5
2
14
x log ( )
155
= . 
3) Ta đặt t = x2 , t > 0, phương trình trở thành 2 t 1t 4t 3 0
t 3
=
− + = ⇔ 
=
(thỏa mãn điều kiện t > 0). 
– Với t = 1 thì x2 = 1 ⇔ x = 0. 
– Với t = 3 thì x2 = 3 ⇔ x = log23. 
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x = 0, x = log23. 
4) PT ⇔ 4. x4 – x6 = 18. x9 ⇔ x x4 24.( ) ( ) 18 0
9 3
− − = . ðặt t = x
2( )
3
, t > 0, phương trình trở thành 
2
9
t = (tm t > 0)
4t t 18 0 4
t = 2 (ktm t > 0)


− − = ⇔

−
. Với t = 9
4
 thì x2( )
3
=
9
4
 ⇔ 
x2( )
3
= 
22( )
3
−
⇔ x = –2. Vậy phương 
trình đã cho cĩ 1 nghiệm x = – 2. 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 11 
5) Ta thấy ( 2 + 1).( 2 – 1) = 1. ðặt t = ( 2 + 1)x
 , t > 0, ( 2 – 1)x = 1
t
, phương trình trở thành 
2 t 2 11t + 2 2 t 2 2t 1 0
t t 2 1
 = −
= ⇔ − + = ⇔ 
= +
(tm đk). 
– Với t = 2 1− thì ( 2 + 1)x = 2 1− ⇔ x = – 1. 
– Với t = 2 1+ thì ( 2 + 1)x = 2 1+ ⇔ x = 1. 
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x = ± 1. 
6) PT ⇔ x x3 1( ) ( ) 1
2 2
+ = . Kiểm tra thấy x = 2 là nghiệm của phương trình. Nếu x > 2 thì x3 3( )
2 4
< , 
x1 1( )
2 4
< , nên x x3 1( ) ( ) 1
2 2
+ 2 khơng là nghiệm của phương trình đã cho. Tương tự nếu 
x 2< thì x x3 1( ) ( ) 1
2 2
+ > nên x < 2 cũng khơng là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy phương trình 
đã cho cĩ nghiệm duy nhất x = 2. 
7) 4x + 5x = 3.3x ⇔ x x4 5( ) ( ) 3
3 3
+ = . Lập luận tương tự như trên ta được x = 1 là nghiệm duy nhất của 
phương trình đã cho. 
8) PT ⇔ x x5 1 5 1( ) ( ) 2
2 2
− +
+ = . ðặt t = x
5 1( )
2
+
> 0, phương trình trở thành 1t 2
t
+ = ⇔ t = 1. Từ 
đĩ tìm được x = 0. Vậy phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm x = 0. 
9) 
2
x x x5 .3 1− = ⇔ log5(
2
x x x5 .3− ) = log51 ⇔ log5(
2
x x5 − ) + log5( x3 ) = 0 ⇔ x2 – x + x.log53 = 0 ⇔ 
2
5x (log 3 1)x 0+ − = ⇔ x = 0 hoặc x = 1 – 5log 3 . Vậy PT đã cho cĩ 2 nghiệm x = 0, x = 1 – 5log 3 . 
Ví dụ 3 Giải phương trình 
1) log2[x(x – 2)] = 3. 2) log2x + log2(x – 2) = 3. 3) ln(x2 – 3x – 7) = ln(1 – x). 
4) 24 43log x 7 log x 2 0− + = . 5) 1 2
2 3
2 22log (x 1) log (x 1) 2 log (x 1) 3 0+ − + + + + = . 
6) logx2 + log2x = –2. 7) log4(3.2x + 4) = x. 8) log2(x – 1) = log3x. 
Hướng dẫn 1) log2[x(x – 2)] = 3 ⇔ x(x – 2) = 8 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ x = 4 hoặc x = – 2. Vậy phương 
trình đã cho cĩ 2 nghiệm x = 4, x = –2. 
2) ðiều kiện x 0 x 2
x 2 0
>
⇔ >
− >
. PT ⇔ log2[x(x – 2)] = 3 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 
x 4( )
x 2( )
tm
ktm
=
⇔ 
= −
. Vậy 
phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm x = 4. 
3) PT ⇔ 2
1 x 0
x 3x 7 1 x
− >

− − = −
⇔ 2
x 1
x 1
x 2x 4
x 2x 8 0
x 2
<
< 
⇔ ⇔ = −= 
− − = 
= −
. Vậy phương trình đã cho cĩ 1 
nghiệm x = –2. 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 12 
4) Với x > 0 ta đặt t = log4x, phương trình trở thành 3t2 – 7t + 2 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 13 . Với t = 2 thì 
log4x = 2 ⇔ x = 16. Với t = 
1
3
 thì log4x = 
1
3
⇔ x = 3 4 . Vậy PT đã cho cĩ 2 nghiệm x = 16, x = 3 4 . 
5) ðK x + 1 > 0 ⇔ x > –1. Với điều kiện này, phương trình đã cho tương đương với phương trình 
1
2
2
2 2
2
2log (x 1) 3log (x 1) 2log (x 1) 3 0
−
+ − + + + + = 22 22log (x 1) 7 log (x 1) 3 0⇔ + − + + = . Bây giờ đặt ẩn 
phụ t = 2log (x 1)+ ta được phương trình 2t2 – 7t + 3 = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = 
1
2
. 
– Với t = 3 thì 2log (x 1)+ = 3 ⇔ x + 1 = 8 ⇔ x = 7. 
– Với t = 1
2
thì 2log (x 1)+ = 
1
2
 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 2 1− . 
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là x = 7, x = 2 1− . 
6) ðiều kiện x 0
x 1
>

≠
. ðặt t = log2x thì logx2 = 
1
t
, và phương trình ban đầu trở thành t + 1
t
= – 2 
2
t 0
t 2t 1 0
≠
⇔ 
+ + =
t 1⇔ = − . Dẫn tới log2x = – 1 ⇔ x = 
1
2
. Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x = 1
2
. 
7) log4(3.2x + 4) = x ⇔ 3.2x + 4 = 4x ⇔ 4x – 3.2x – 4 = 0. ðến đây HS làm tiếp như ý 3 ví dụ 2. 
8) ðK x > 1. ðặt t = log3x thì x = 3t. Phương trình trở thành log2(3t – 1) = t ⇔ 3t – 1 = 2t ⇔ 3t = 1 + 2t 
⇔ 
t t2 1( ) ( ) 1
3 3
+ = . Lập luận như ý 6 ví dụ 2 để được t = 1. Từ đĩ tìm ra x = 3. 
Nhận xét 
1) Khi đặt t = ax (a > 0, a ≠ 1) thì t > 0, a2x = t2, a3x = t3, .. , a–x = 1
t
, ( 1
a
)x = 1
t
, , nếu ab = 1 thì bx = 1
t
. 
2) Với phương trình A1.a2x + A2.axbx + A3.b2x = 0 (a, b > 0, khác 1) ta cĩ thể chia 2 vế cho b2x rồi đặt 
xat =( )
b
 để đưa về phương trình bậc hai ẩn t. 
3) Với phương trình ax + bx = cx (a, b, c > 0), nếu nhẩm được 1 nghiệm, và a > c, b > c, hoặc a < c, b < c, 
thì ta cĩ thể chia 2 vế cho cx, rồi dùng tính đơn điệu của hàm số mũ để biện luận tính duy nhất nghiệm 
của phương trình . 
4) Với phương trình dạng af(x).bg(x)ch(x) = d (a, b, c, d > 0) nếu f(x) là biểu thức phức tạp nhất thì ta cĩ 
thể lấy logarit hai vế của phương trình theo cơ số a (a ≠ 1). 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 13 
5) Với a > 0, a ≠ 1, nếu ta đặt t = logax thì logxa = 1
t
(x ≠ 1), logaxn = nt, na
tlog (x)
n
= , 
n
alog x = t
n
, 
1
a
log x t= − , loga
1
x
 = – t,  
III. BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 1 Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số 
1) 2y (2x 1)−= − . 2) xy e= . 3) 22y log (x x )= − . 4)
x 1y ln
2 x
+
=
−
. 
Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số 
1) xy log (1 x)= − . 2) y log(x 1)= + . 3) 
3x 2y ln
x 1
+
=
−
. 4) y log x log(x 1)= + + . 
5) 1y
log(x 1) log(x 1)
=
+ + −
. 6) xy ln( 1)e= − . 7) 23y log (x 5x 6)= − + . 
Bài 3 Giải phương trình 
1) 2x x4 17.4 16 0− + = . 2) x x9 3 6 0− − = . 3) 4x x 2+ = . 
4) x x 1 x x 12 2 3 3+ −+ = + . 5) x x x9 12 2.16+ = . 6) 2x(2 3) 2 3− = + . 
7) x x x27 12 2.8+ = . 8) 2x 3x 22 4− + = . 9) x x x7 8 3.5+ = . 
 10) x 1 x2 .5 200+ = . 11) x x4 4 2−+ = . 12) x x x9 16 25+ = . 
13) x x81 9 10.9+ = . 14) 2x x4 17.4 16 0− + = . 15) 2x 1 x 2x 12 5.6 3 0+ +− + = . 
Bài 4 Giải phương trình 
1) 2log [x.(x 1)]=1− . 2). 2 2log x log (x 1) 1+ − = . 3) 2ln(x x ) ln(3x 1)− = + . 
4) 2 32 8log x 3.log x 4− = . 5) x3log (3 8) 2 x+ = + . 6) ln(4x 2) ln(x 1) ln x+ − − = . 
7) 20.2 0.2log x log x 6− = . 8) 2 3 2log (3x 1).log x 2.log (3x 1)+ = + . 
Bài 5 Giải bất phương trình 
1) 2x x2 1− ≤ . 2) x x9 2.3 3< + . 3) x 1 2x2 3+ < . 
4) 1
3
log (5x 1) 0− > . 5) 3
1 2xlog 0
x
− ≤ . 6) 2log(4x 11) log(x 6x 8)+ > + + . 
x x x x16) 3.8 4.12 18 2.27 0.+ − − = 17) x x( 2 1) ( 2 1) 2 2 0.− + − = x x 2x 1
 9 6 2 .++ = 18)
9) 2x 12log (2 1) x 1.− − = − 
10) 3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2.− + + = 11) x 27 3
3 log 3 3log x 2log x.
4
− = 12)2
x 25log (125x).log x 1.= 
+
13) 3 2log x 2log x 2 log x.− + = − 
14) 2 1
8
log (x 2) 2 6log 3x 5.− − = − 
Tài liệu ơn thi TN THPT 
Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 14 

 
C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
Yêu cầu 
– Hs nắm được định nghĩa nguyên hàm và tích phân, bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp, 
tính chất của nguyên hàm và tích phân, biết vận dụng các phương pháp đã học để tìm nguyên hàm, tính 
tích phân ở dạng đơn giản, biết vận dụng tích phân để tính diện tích và thể tích. 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
– Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (hoặc nửa khoảng, hoặc đoạn)K 
khi F’(x) = f(x) ∀x∈ K. Nếu f(x) cĩ một nguyên hàm là F(x) trên K thì f(x) sẽ cĩ vơ số nguyên hàm trên 
K và mọi nguyên hàm của nĩ đều cĩ dạng F(x) + C (C là một hằng số tùy ý). Ta gọi tất cả các nguyên 
hàm của f(x) trên K là họ nguyên hàm của f(x) trên K, và kí hiệu là f(x)dx∫ , ta cĩ f(x)dx∫ = F(x) + C 
(f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu ∫ , f(x) được gọi là hàm số dưới dấu ∫ ). 
– Tính chất của nguyên hàm 
+ f '(x)dx = f(x) + C; df(x) = f(x) + C; ( f(x)dx) ' f(x); d( f(x)dx) f(x)dx.= =∫ ∫ ∫ ∫ 
+ (a.f(x) + b.g(x))dx = a. f(x)dx + b. g(x)dx∫ ∫ ∫ . 
+ udv uv vdu= −∫ ∫ . 
– Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
0dx =