Chuyên đề Rèn kĩ năng so sánh phân số cho học sinh lớp 4, 5

RÈN KĨ NĂNG SO SÁNH PHÂN SỐ CHO HỌC SINH LỚP4, 5
 Đối với chương trình toán ở Tiểu học từ lớp 1 đến lớp 3, kiến thức sơ giản ban đầu về toán học nên học sinh dễ nắm bắt kiến thức, vận dụng kiến thức vào để rèn kĩ năng tính cũng nhẹ nhàng phù hợp với tâm lí lứa tuổi học sinh. Bắt đầu từ lớp 4, kiến thức toán được nâng cao rõ rệt ở tất cả các mạch kiến thức như: đại lượng, yếu tố đại số, yếu tố hình học, số học,... Nhưng mới nhất đối với học sinh lớp 4 đó là mạch kiến thức về phân số của số học. Đặc biệt là dạng toán so sánh phân số, có thể nói đây là một dạng toán khó đối với hầu hết các em.
 Sau đây là một số phương pháp so sánh phân số:
1. Phương pháp quy đồng mẫu số:
- Quy đồng mẫu số là phương pháp đưa các phân số về cùng mẫu số để so sánh.
-Khi so sánh hai phân số có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
1.1. Điều kiện áp dụng:
-Ta sử dụng phương pháp trên khi các phân số có mẫu số bé và yêu cầu bài toán cho phép.
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Ta có: ; Vì < nên < 
1.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất:
 a. và 	b. và 
Bài 2 : Viết các phân số sau đây theo thứ tự từ bé đến lớn:
 a. 	b. 
2. Phương pháp quy đồng Tử số:
- Quy đồng tử số là phương pháp đưa các phân số về cùng tử số để so sánh.
- Khi so sánh hai phân số có cùng tử số (khác không): ta so sánh hai mẫu số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
2.1. Điều kiện áp dụng:
-Ta sử dụng phương pháp trên khi các phân số có mẫu số bé và yêu cầu bài toán cho phép.
 Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Ta có: ; Vì < nên < 
2.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Trong các phân số dưới đây phân số nào lớn nhất, phân số nào bé nhất:
Bài 2: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và (với a > 1)
3. Phương pháp bắc cầu ( so sánh với phân số trung gian):
 So sánh qua một phân số trun gian:
 và thì 
3.1. Phân số trung gian là 1:
 Nếu > 1; 
3.1.1 Điều kiện áp dụng:
 -Nhận thấy ở phân số thứ nhất có tử số bé hơn mẫu số và ở phân số thứ hai có tử số lớn hơn mẫu số hoặc ngược lại thì ta so sánh hai phân số đó với số trung gian là 1.
Ví dụ : So sánh các phân số sau : 
 a. và 	b. và 
a. Ta có : 1 hay < 1 < 	 Vậy : < 
b. Ta có : < 1 ; 1 < hay < 1 < 	Vậy < 
3.1.2. Bài tập áp dụng:
 Bài 1: So sánh các phân số sau :
 a. và 	b. 
Bài 2: So sánh các cặp phân số sau :
 a. và 	b. và 
3.2. Phân số trung gian là hoặc 
3.2.1 Điều kiện áp dụng:
 - Nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lại lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại thì ta so sánh với phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ nhất, có mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại.
 So sánh hai phân số và (a, b, c, d # 0)
 Nếu a > c và b d ) thì ta có thể chọn phân số trung gian là hoặc 
Ví dụ : So sánh các phân số sau:
 và 	
 Ta có: < và < hay < < Vậy < 
*Lưu ý:
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số ( ví dụ: gấp 2 hoặc 3 lần,..) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số có tử số bé hơn lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
Ta có: 
 Vì > ; > hay > > nên > Vậy > 
3.2.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và 	 d. và 
Bài 4 : Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
3. 3. Phân số trung gian là số tự nhiên q: 
3.3.1 Điều kiện áp dụng:
 - Nhận thấy ở phân số thứ nhất có a = b x q + c
và phân số thứ hai có m = n x q – c thì ta so sánh với phân số trung gian là q.
Ví dụ : So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
 a. Nhận xét : 25 = 12 x 2 + 1 và 49 = 25 x 2 – 1
 Nên ta có: = 2 + và = 2 - Do đó > 2; 2 > suy ra > 
 b. Nhận xét : 11 = 3 x 3 + 2 và 49 = 17 x 3 - 2
 Nên ta có: = 3 + và = 3 - 	
 Do đó : > 3 ; 
3.3.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
Bài 2: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
3.4.Phân số trung gian là 
3.4.1 Điều kiện áp dụng:
 -Nhận thấy ở phân số thứ nhất có b = a x q + c
và phân số thứ hai có n = m x q – c thì ta so sánh với phân số trung gian là .
Ví dụ : So sánh các phân số sau: 
 a. và 	b. và 
a. Nhận xét : 71 = 35 x 2 + 1 và 49 = 25 x 2 -1
Nên ta có: = hay << Vậy < 
 b. Nhận xét: 8 = 3 x 3 -1 và 13 = 4 x 3 + 1
 Nên ta thấy: > = và > Vậy > 
3.4.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	
Bài 2: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
4. Phương pháp so sánh phần bù:
4.1. So sánh hai “ phần bù” với 1 của phân số:
- Phần bù với 1 của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
 1 - 
4.1.1. Điều kiện áp dụng:
 Ta sử dụng phương pháp phần bù với 1 để so sánh hai phân số trong trường hợp sau:
- Nhận thấy mẫu số lớn hơn tử số ( phân số bé hơn 1 ) và hiệu của mẫu số với tử số của tất cả các phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần bù với 1
 Ví dụ : So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất: 
 a. và 	b. và 
 a. Ta có: 1 - = ; 1 - = 
 Vì > nên < 
 b. Ta có: 1 - = ; 1- = Vì > nên < 
* Chú ý : Nếu đặt A = mẫu 1 – tử 1; B = mẫu 2 – tử 2
 Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A # B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
Ta có: = 
 1- = ; 1 - = 
 Vì hay > 
4.1.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau: a. và 	b. và 	 c. và 
Bài 2 : Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
 a. và 	b. 
4.2. So sánh phần bù với 
4.21. Điều kiện áp dụng:
 - Nhận thấy phân số thứ nhất có b = a x q + c 
và phân số thứ hai có n = m x q + c thì ta tìm phần bù với 
Ví dụ: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh hai phân số và 	
 Nhận xét : 5 = 2 x 2 + 1 và 7 = 3 x 2 + 1
 Nên ta có : - = ; - = Vì > nên < 
4.2.2.Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	
Bài 2: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
5. Phương pháp so sánh phần thừa:
5.1. So sánh phần thừa với 1 của phân số:
- Phần thừa với 1 của phân số là hiệu giữa phân số đó và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
 - 1 < -1 thì < 
5.1.1. Điều kiện áp dụng:
- Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số ( phân số lớn hơn 1) và hiệu của tử số với mẫu số của tất cả các phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần thừa với 1.
Ví dụ : So sánh các phân số sau:
a. và 	b. và 
a. Ta có: - 1 = ; - 1 = Vì > nên > 
b. Ta có: - 1 = ; - 1 = Vì > nên > 
* Chú ý: Đặt C = tử 1 – mẫu 1; D = tử 2 – mẫu 2
Cách so sánh phần thừa được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C # D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
VÍ dụ: So sánh hai phân số sau: và 
 Ta có: = ; - 1 = ; - 1 = 
 Vì < nên < hay < 
5.1.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và 
Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
5.2. So sánh phần thừa với số tự nhiên q:
5.2.1. Điều kiện áp dụng:
 -Nhận thấy ở phân số thứ nhất có a : b = q (dư r)
và phân số thứ hai có m : n = q (dư r ) thì ta tìm phần thừa với q.
Ví dụ : So sánh hai phân số sau: và 
 Ta thấy : 43 = 14 x 3 + 1; 10 = 3 x 3 + 1
 Nên ta có: - 3 = ; - 3 = Vì < nên < 
5.2.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
Bài 2: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và 
6. Phương pháp rút gọn:
6.1. Điều kiện áp dụng:
 - Khi ta thấy các phân số cần so sánh chưa tối giản và giữa tử số và mẫu số của các phân số đó có đặc điểm gần giống nhau.
Ví dụ : So sánh hai phân số sau: và 
Ta có : = Vậy = 
6.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Hai phân số và có bằng nhau không ? Vì sao ?
Bài 2: Điền dấu ( , = ) thích hợp vào ô trống:
 a. b. 
Bài 3: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
7. Đảo ngược các phân số để so sánh:
 Nếu > thì ta khẳng định được rằng < 
7. 1. Điều kiện áp dụng:
 Khi phân số có mẫu số lớn hơn tử số, Khi chia mẫu số cho tử số có cùng số dư.
Ví dụ : So sánh hai phân số: và 
 Ta có : 1 : = ; 1 : = 
 = 4 + ; = 4 + 
 Vì > nên > . Do đó < 
7.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 
Bài 2: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và 
8. Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh:
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm được bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
8. 1. Điều kiện áp dụng:
 Ta sử dụng phép chia hai phân số để so sánh trong các trường hợp sau:
+ Khi ta thấy các phân số đó không có mối liên hệ ở các trường hợp nêu trên.
+ Khi đề bài chỉ yêu cầu điền đúng, sai dưới dạng trắc nghiệm mà không cần giải thích gì thêm thì ta sử dụng phương pháp này để đỡ tốn thời gian.
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
 Ta có: : = . Vì > 1 nên > 
8.2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân số lớn hơn trong hai phân số và là:
 A. 	B. 
Bài 2: Trong hai phân số và phân số nào lớn hơn: 
 A. 	B. 
 Đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học là dễ nhớ, chóng quên nên để rèn kĩ năng so sánh phân số cho học sinh thì phải cho học sinh thực hành. Điều này không phải chỉ thực hiện một ngày, một giờ mà cần củng cố ôn luyện thường xuyên. Để học sinh có kĩ năng so sánh phân số thì trong quá trình dạy - học cần phải có sự nổ lực của cả giáo viên và học sinh.
Bài 1 : Viết các phân số sau đây theo thứ tự từ bé đến lớn:
 a. 	b. 
Bài 2: Trong các phân số dưới đây phân số nào lớn nhất, phân số nào bé nhất:
Bài 3: So sánh các phân số sau:
 a. và 	b. và 	c. và (với a > 1)
Bài 4: So sánh các phân số sau :
 a. và 	b. 
Bài 5: So sánh các cặp phân số sau :
 a. và 	b. và 
Bài 6 :Tìm y
49 x ( y – 21 ) = 441
( y – 21 x 13 ) : 11 = 30
Bài 7 : Tìm a, b để 5a4b chia cho 2, 5, 9 đều có dư 1.	
Bài 8: 
 Rút gọn phân số
2525
 1313	 7575
Bài 9: TBC tuổi mẹ và tuổi con hiện nay là 21 tuổi. Mẹ sinh con khi mẹ 28 tuổi. Tìm tuổi mẹ hiện nay? 
Bài 10: Tính nhanh
	5 x 24 x 7 	5 7 5 	
	14 x 5 x 6	7 14 7
Bài 11:Tính.
1. (1-) x (1- ) x (1-)	3. 
2. 	4. (: ( 
Bài 12: Hiện nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 50.Sang năm sau tuổi mẹ sẽ gấp 3 lần tuổi con .Tính tuổi hiện nay của mỗi người?
Bài 13: Hai số có tổng bằng 352, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn. Tìm 2 số đó.
Bài 14: Tìm 2 số có tổng là 257, biết rằng nếu xóa đi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số lớn thì được số bé.
Bài 15: Cho phân số .Hỏi phải thêm vào tử số và bớt ra ở mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số bằng ?
Bài 16: Cho phân số Hỏi phải bớt ở tử số và thêm vào mẫu số cùng một số tự nhiên nào để được phân số bằng ?
Bài 17: Tìm phân số bằng phân số biết tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là 15.
Bài 18: Hai kho chứa 290 tấn bột mì .Sau khi lấy đi 35 tấn bột mì ở kho Avà nhận thêm 45 tấn vào kho B thì số bột mì ở kho A bằng số bột mì ở kho B. Hỏi lúc đầu kho nào nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu tấn bột mì ?
Bài 19: Một cửa hàng có 360 quyển sách Toán và Tiếng việt.Sau khi bán đi 40 quyển sách toán thì số sách toán còn lại bằng số sách tiếng việt. Hỏi lúc đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quyển sách mỗi loại?
Bài 20: Hai thùng dầu có tất cả 72 lít .Nếu đổ 4 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì số sữa ở thùng thứ nhất bằng số dầu ở thùng thứ 2. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?