Chuyên đề Phương trình mũ, logarit

 phương trình mũ, logarit
A. Kiến thức cần nhớ:
 I. Các biến đổi mũ và lôgarit
 II. Các phương tình cơ bản
 1) am = an m = n (a 1)
 2) am = b m = 
 3) m > 0; n > 0 thì m = n 
 4) m = ab 
Ngoài ra ta còn có thể dùng công thức đổi cơ số để biến đổi ở pt logarit.
 Chú ý: Khi a > 0, a 1, n ta có 
B. Một số phương pháp giải 
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
 Nhận xét:
1. Đối với phương thình lôgarit
+ Nếu các cơ số có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng 
+ Nếu các cơ số không có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng 
2. Đối với phương thình mũ
 + Nếu các cơ số có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng 
 + Nếu các cơ số không có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
1) 2x+1 . 43x+2 = 32 ; ; ; 
 ; ; ; 
2) 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 0; ; 4x+4x-2–4x+1=3x–3x-2–3x+1 
3) ; ; 
HD:
1) 2x+1 . 43x+2 = 32 2x+1 . 26x+4 = 25 27x+5 = 25 x = 0
2) 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 0 5.52x + 7.7x - 52x.7x - 5.7 = 0 
 (5.52x - 52x.7x) - (5.7 - 7.7x) = 0 
 52x. (5 - 7x) - 7. (5 - 7x) = 0 
 (52x - 7).(5 - 7x) = 0 
4) 
Bài tập 2:
 Giải các phương trình sau: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
HD:
1). (1)
 Đk: x > 1
 (1) 
 (x + 3)(x - 1) = 4x x2 - 2x - 3 = 0 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3.
2). (2)
 Đk: 1 < x < 7
 (2) 
 (7 - x)2 = 2.(x2 - 1) x2 + 14x - 51 = 0 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3.
3). (3)
 Đk: x > 0 
 (3) 
 x = 3
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3.
4). (4)
 Đk: x > 0 
 (4) 
 x = 1
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1.
5). (5)
 Đk: 
 (5) 
 (3x - 1)(x + 3) = 4(x+1)
 3x2 - 4x - 7 = 0 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = .
6). (2)
 Đk: x > 1
 (2) 
 x = 16
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 16.
7). (7)
Đk: x 1
 (7) 
Giải 7a) x = 1
Giải 7b) (*) 
 Khi đó (**)
Do vậy ta có 
Rỏ ràng theo Bất đẳng thức Côsi ta có 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1 và 
Bài tập 3:
 Giải các phương trình sau: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
HD:
1). (1)
 Đk: 
(1) (1’)
 * TH 1: x > 0
 (1’) x2 + 2x - 8 = 0 
 * TH 2: -2 < x < 0 
 (1’) - x2 - 2x - 8 = 0 (vn) 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2.
2). (2) 
 Đk: 
 (2) 
 (2’)
 * TH 1: -2 < x < 4
 (2’) x2 + 6x - 16 = 0 
 * TH 2: -2 < x < 0 
 (2’) x2 - 2x - 32 = 0 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2 và .
3). (3)
 Đk: 
 (3) 
 (3’)
 * TH 1: -1 < x < 4
 (3’) x2 + 4x - 12 = 0 
 * TH 2: -4 < x < -1 
 (3’) x2 - 4x - 20 = 0 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2 và 
4). (4)
 Đk: 
 (4) 
 (4’)
 * TH 1: 1 <
 x < 2
 (4’) - 2x + 4 = x - 1 
 * TH 2: x > 2 
 (4’) 2x - 4 = x - 1 x = 3 ( loại)
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là 
II. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
1) (Đề thi TN 2009)	
2) 4x + 6x = 2.9x (Đề thi TN 2011)	
3) 2x + 2-x + 4x + 4-x = 4 (ĐH K A - 2006).
4) 
5) 	
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
HD:
1) 
 Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
 t2 - 3t - 4 = 0 
Với t = 4 ta có = 4 x2 - x - 2 = 0 
Vậy pt có nghiệm của pt là x = 2 và x = -1
2). 4x + 6x = 2.9x
Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
 t2 + t - 2 = 0 
Với t = 1 ta có = 1 x = 0 
Vậy pt có nghiệm của pt là x = 0.
4). (4)
 Đk: 
Ta có (4) 
 Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
Với t = 4 ta có = 4 
 x = 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = .
5). (5)
Ta có (5) 
Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
 (5’)
 * TH 1: 
 (5’) 
 * TH 2: 
 (5’) 
 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt (5’) là 
 Với ta có 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là 
6). (6)
Chia cả hai vế cho ta có 
 (6) 
 Đặt t = 
Khi đó ta có phương trình
 5t2 - 7t + 2 = 0 
 + Với t = 1 ta có x = 0
 + Với t = ta có x = 2
Vậy nghiệm của pt là x = 0 và x = 2.
7). 
 Đặt t = 
Khi đó ta có phương trình 
 Với t = 2 ta có cosx + 1 = cosx = - 
Vậy nghiệm của pt là .
8). (8)
 Đk: x > 0
 (8) 
Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
 18t2 + t - 4 = 0 
Với t = ta có = lnx = - 2 x = 
Vậy nghiệm của pt là x = .
9). 
 Đk: x > 0
 (9) 
Đặt t = > 0 
Khi đó ta có phương trình
 18t2 + t - 4 = 0 
Với t = ta có = = - 2 x = = 
Vậy nghiệm của pt là x = .
10). 
 Đk: x > 0
 Đặt t = x = 2t
Khi đó ta có phương trình
Nhân vào 2 vế với ta có phương trình
 t = 0
Với t = 0 ta có x = 1
Vậy nghiệm của pt là x = 1
11). 
Do nên ta đặt 
Khi đó ta có phương trình
 t2 - 10t + 1 = 0 
 + Với t = ta có x = - 2
 + Với t = ta có x = 2
Vậy nghiệm của pt là x = 2.
12). 
Đặt t = khi đó ta có ; 
Khi đó ta có phương trình
 t4 + 2t3 - t - 2 = 0 (t - 2)(t3 - 1) = 0 t = 1
Với t = 1 ta có x = 0
Vậy nghiệm của pt là x = 0. 
Bài tập 2:
 Giải phương trình: 
1) 
2) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - 5 = 0
3) 25x - 2(3 - x ).3x + 2x - 7 = 0
HD:
1). 
 Đặt t = 5x-2 > 0 
 Khi đó ta có phương trình
 3t2 + (3x - 10).t + 3 - x = 0 (1)
Ta có = 9x2 - 60x + 100 - 36 + 12x = 9x2 - 48x + 64 = (3x - 8)2
 (1) 
 + Với t = ta có x = + 2
 + Với t = - x + 3 ta có (1’)
 Vì hàm số y = 5x-2 = f(x) là hàm số đồng biến 
 hàm số y = - x +3 = g(x) là hàm số nghịch biến 
Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(2) = g(2) nên nghiệm duy nhất là x = 2.
Vậy nghiệm của pt là x = 2 và x = + 2.
 Bài tập 3:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
HD:
1). (1)
 Đk: D = R
 (1) 
 (1’)
 Đặt t = 
Khi đó ta có phương trình: t(t + 2) = 3 t2 + 2t - 3 = 0 
 + Với t = 1 ta có = 1 x = 0
 + Với t = - 3 ta có = - 3 (vn)
Vậy nghiệm của pt là x = 0.
2). (2)
 Đk: 
 (2) (2’)
Đặt t = log3x 0
Khi đó ta có phương trình: t2 - t - 2 = 0 
 + Với t = -1 ta có log3x = - 1 x = 
 + Với t = 2 ta có log3x = 2 x = 9
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = và x = 9
3). (3)
 Đk: x > 0
 (3) 
Đặt t = log5x 0
Khi đó ta có phương trình: t2 + 3t - 4 = 0 
 + Với t = 1 ta có log5x = 1 x = 5
 + Với t = - 4 ta có log5x = - 4 x = 5-4 =
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 5 và x =.
4). (4)
 Đk: 
 (4) 
 Đặt t = log2x 1
Khi đó ta có phương trình: t2 - 2t = 0 
 + Với t = 0 ta có log2x = 0 x = 1
 + Với t = 2 ta có log2x = 2 x = 4
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1 và x = 4.
5). (5)
 Đk: x > 512
 (5) 
 (5’)
Đặt t = log2x 0
Khi đó ta có phương trình: t2 - 18t + 72 = 0 
 Với t = 12 ta có log2x = 12 x = 4096.
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 4096.
6). (6) 
 Đk: x > 0
Đặt t = 
Khi đó ta có phương trình: t2 - 1 + t - 5 = 0 t2 + t - 6 = 0 
 Với t = 2 ta có = 2 x = .
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = .
7). (7)
 Đk: 
 (7) 
 + Giải (a) x = 1
 + Giải (b) Đặt t = log2x 1; - 4; -2
 Ta có (b) 
 (t + 4)(t + 2) - 21.(t -1)(t + 2) +10.(t - 1)(t + 4) = 0 ... 
 Với t = 0 ta có log2x = 0 x = 1.
 Với t = 2 ta có log2x = 2 x = 4.
 Với t = - ta có log2x = - x = .
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1; 4; .
Bài tập 4:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
HD:
1). 
Đk: x > - 1
 Đặt t = 
 Khi đó ta có phương trình
 (x + 2).t2 + 4.(x + 1).t - 16 = 0 (1)
Ta có ’ = 4x2 + 8x + 4 + 16x + 32 = 4x2 + 24x + 36 = (2x + 6)2
 (1) 
 + Với t = - 4 ta có = - 4 x + 1 = x = 
 + Với t = ta có = (1’)
 Vì hàm số y = = f(x) là hàm số đồng biến 
 hàm số y = = g(x) là hàm số nghịch biến 
Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(2) = g(2) nên nghiệm duy nhất là x = 2.
Vậy nghiệm của pt là x = 2 và x = .
2). 
Đk: 
Đặt t = 
 Khi đó ta có phương trình
 t2 + (x2 - 5).t - 5x2 = 0 (2)
Ta có = x4 - 10x2 + 25 + 20x2 = x4 + 10x2 + 25 = (x2 + 5)2
 (2) 
 + Với t = 5 ta có = 5 x2 + 1 = 100 000 x = 
 + Với t = - x2 ta có = - x2 (1’)
 Vì hàm số y = = f(x) là hàm số đồng biến ; nghịch biến 
 hàm số y = - x2 = g(x) là hàm số đồng biến ; nghịch biến 
Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(0) = g(0) nên nghiệm duy nhất là x = 0.
Vậy nghiệm của pt là x = và x = 0.
III. Phương pháp logarit hóa:
Chú ý: Dùng khi gặp phương trình có chứa các hàm số dạng 
 + Tích của nhiều hàm số mũ
 + Chứa hàm số lũy thừa mũ y = 
 Đk: 
Bài tập 1:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
HD:
1). 
2). (2)
 Đk: x > 0
 (2) 
3). (3)
 Đk: x > 0
 (3) 
4). (4)
 Đk: x > 0; x 
Dể thấy khi đó ta có 
 (4) 
5). (5)
 Đk: x > 0
 (5) 
6). (6) 
 Đk: x > 0
 áp dụng công thức ta có 
 (6) lgx = 2 x = 100.
7). (7)
 Đk: x > 2
 (7) 
 Đặt 
Khi đó ta có phương trình 
 (t + 2).t = 2 + 3t t2 - t - 2 = 0 
Với t = - 1 ta có x = 
Với t = - 1 ta có x = 11
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = và x = 11.
IV. Phương pháp hàm số:
Bổ đề: 
 1) Xét hàm số f(x) = g(x) (1)
 Nếu hàm só f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến thì (1) có nghiệm duy nhất
 Nếu hàm só f(x) nghịch biến, g(x) đồng biến thì (1) có nghiệm duy nhất
 HQ: Xét hàm số f(x) = a (2)
 Nếu hàm só f(x) đồng biến thì (2) có nghiệm duy nhất
 Nếu hàm só f(x) nghịch biến thì (2) có nghiệm duy nhất
 2) Hàm só f(x) đồng biến hoặc f(x) nghịch biến trên K
 Thì f(x1) = f(x2) x1 = x2 
 Bài tập 1:
 Giải các phương trình: 
1) 3x + 4x = 5x 
2) 2x = 1 + 
3) 
Bài tập 2:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
HD:
1). (1)
 Đk: x > 0
 Đặt x = 24t > 0 ; 
 Khi đó (1) 
 (1’)
Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến
Do đó (1’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1
Với t = 1 ta có x = 24 = 16.
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 16.
2). (2)
 Đk: x > 0
 Đặt x = 72t > 0 
 Khi đó (2) (2’)
Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến
Do đó (2’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1
Với t = 1 ta có x = 72 = 49 .
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 49.
3). 
Đặt t = x = 6t > 0 
4). 
Đặt t = x = 3t > 0 
5). (3)
 Đk: x > 0
 Đặt x = 212t > 0 ; 
 Khi đó (3) 
 (3’)
Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến
Do đó (3’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1
Với t = 1 ta có x = 212 = 4096.
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 4096.
Bài tập 3:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
 3) 
HD:
1). (1)
 (1) 
 (1’)
Xét hàm số f(t) = 2t + t ta có f’(t) = 2t ln2 + 1 > 0 f(t) đồng biến
Từ (1’) ta có x - 1 = x2 - x x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Bài tập 4:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
HD:
1). (1)
 Xét hàm số ta có f(x) liên tục và xác định trên R
Ta có 
 > 0
Vì f(x)’’ > 0 nên f’(x) đồng biến tức f’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm
Khi đó phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm
Do ta có f(0) = f(1) = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1.
2). (2)
Đk: > 0
 (2) 
 (2’)
Xét hàm số f(t) = 2t + 44t ta có f’(t) = 2t ln2 + 44 > 0 f(t) đồng biến
Từ (2’) ta có 
 (2’’)
Xét hàm số ta có 
 > 0
Vì h(x)’’ > 0 nên f’(x) đồng biến tức h’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm
Khi đó phương trình h(x) = 0 có không quá hai nghiệm
Do ta có h(0) = h(3) = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3.
 Bài tập 5:
Giải các phương trình: 
 1) 
 2) x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12
 3) x2.3x - 1 + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1)
HD:
1). 
 Đk: x > 3
Chia 2 vế cho x - 2 > 0
 Khi đó ta có (1) 
 + Hàm số vế trái đồng biến 
 + Hàm số vế phải nghịch biến
Như vậy (2) có nghiệm duy nhất. Vì f(11) = g(11) nên ta có nghiệm là x = 11
2). x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12
 3x . (x2- 7x + 12) + (x - 1). (x2- 7x + 12)
3). x2.3x - 1 + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1)
 3x-1 (x + 1).(x + 2) - 2x .(x + 2) = 0
 nghiệm x = - 2 và x = 1
V. Phương pháp bất đẳng thức:
Bổ đề: 
 Xét hàm số f(x) = g(x) (1)
 Nếu hoặc thì (1) có nghiệmkhi f(x) = g(x) = k
Bài tập 1:
 Giải các phương trình: 
 1) 
 2) 
 3) 
HD:
1). (1)
 Đk: x > 2
 (1) (1’)
 + TH 1: VT 0
 VP 0
 Phương trình (1’) xảy ra khi VT = 0 tức x = 3
 + TH2: 2 0 
 VP < 0
 Phương trình (1’) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
2). (2)
 Đk: x > 1
 (2) 
 (2’)
 Ta có VT 2
 VP 2
 Khi đó (2’) xảy ra khi VT = VP = 2 hay x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
3). (3)
 Đk: x2 - 1 > 0 
 (3) 
 x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.