Chuyên đề Phương trình bất phương trình mũ và logarit

Mở đầu
 Trong chương trình môn toán THPT, đặc biệt trong chương trình đổi mới sách giáo khoa thì phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit được đưa vào sách giáo khoa lớp 12. Do vậy, nó đóng một tầm khá quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào các trường trung cấp, cao đẳng hay đại học. Trước đây, ta thường sử dụng Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai để so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai. Hiện nay trong chương trình THPT không đưa Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai vào nữa. Trong chuyên đề phần phương trình, bất phương trình và hệ có chứa tham số tôi có đề cập đến cách giải quyết bài toán trên mà không sử dụng Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Bài viết gồm các phần 
A. Kiến thức cơ bản. 
B. Phương trình mũ và lôgarit
I. Một số phương pháp giải phương trình mũ
II. Một số phương pháp giải phương trình lôgarit
III. Phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số
C. Bất phương trình mũ và lôgarit
I. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit
II. Bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số
D. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
 Với kinh nghiệm còn chưa nhiều chắc chắn bài viết sẽ có ít nhiều sai sót, mong các bạn bổ sung và sửa chữa giúp.
 Bắc Ninh tháng 2 năm 2009
 Người viết
 Nguyễn Lệ Hoài
 Trường THPT Hàn Thuyên
 Điện thoại: 01687020334.
Phần A. Kiến thức cơ bản
I. Định nghĩa luỹ thừa và căn
. Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a.
. Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là 
. Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có giá trị dương kí hiệu là , căn có giá trị âm kí hiệu là -.
. Số âm không có căn bậc chẵn.
Số mũ 
Cơ số a
Luỹ thừa 
 a
 = a0=1
 a > 0
 a > 0
II. Tính chất của luỹ thừa
.Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa.
 am.an = am+n; ; (am)n = amn
 (a.b)n = an.bn; 
III. Tính chất của lôgarit
 Giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa.
. loga1 = 0; logaa = 1; ; logaab = b.
. loga(bc) = logab + logac; ; logabn = nlogab.
. hay logab.logbc=logac.
IV. Hàm số mũ y=ax(a>0,a≠1)
a>1
0<a<1
. y’>0 với mọi x
. Hàm số đồng biến trên R
.; 
. Bảng biến thiên 
+
0
y=ax
+
x
-
. Đồ thị 
0
x
 1
y
. y’>0 với mọi x
. Hàm số nghịch biến trên R
.; 
. Bảng biến thiên 
+
y=ax
x
0
-
0
1
y
x
V. Hàm số logarit y = logax (a > 0 và a ≠ 1)
a>1
0<a<1
. y’>0 với mọi 
. Hs đồng biến trên 
.
. Bảng biến thiên
x
0
+
y=logax
+
-
. Đồ thị 
x
y
0
1
. y’<0 với mọi 
. Hs nghịch biến trên 
.
. Bảng biến thiên
x
0
+
y=logax
-
+
. Đồ thị 
x
y
0
1
Phần B. Phương trình mũ và lôgarit
I. Một số phương pháp giải phương trình mũ và pt logarit
. Phương trình mũ cơ bản 
 ax = m (0 < a ≠ 1) 
. Nếu thì phương trình ax = m vô nghiệm
. Nếu m > 0 thì phương trình ax = m có một nghiệm duy nhất
Nếu m 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số 
Ta có tính chất: ;
Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng phương trình mũ bằng cách đưa các luỹ thừa trong phương trình về luỹ thừa với cùng một cơ số.
Ví dụ 1: Giải phương trình (0,75)2x-3= (1)
Lời giải. 
Phương trình (1) 
 2x-3=x-5x =-2.
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 9.5x + 5x+1 + 5x+2 (2).
Lời giải: 
Phương trình (2) 3x.39 = 5x.39 x = 0.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0. 
Bài tập tương tự: 1) 2x.3x-1.5x-2=12; 2) 5x+5x+1+5x+3=3x+3x+3-3x+1.
Phương pháp đặt ẩn phụ 
Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về PT hữu tỉ đã biết cách giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Lời giải. Điều kiện cosx ≠ 0.
 Nhận xét . Đặt t = thì phương trình (1) có dạng t = và t = .
. Với t = thì tanx =1 (t/mđk).
. Với t = thì (t/mđk).
Vậy phương trình có hai họ nghiệm và ()
Ví dụ 2: Giải phương trình 3.49x + 2.14x - 4x = 0 (4)
Lời giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4x > 0, ta được 
 (4) (*)
Đặt , phương trình (*) có dạng 3.t2 + 2.t – 1 = 0
 t = -1(loại) và t = 1/3.
Với t = 1/3 thì .
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3: Tìm nghiệm x < 1 của phương trình 32x-2 + 3x-1(3x - 7) – x + 2 = 0
Lời giải.
Đặt t = 3x-1(t > 0), phương trình có dạng 3t2 + (3x - 7).t + 2 – x = 0.
Coi phương trình trên là phương trình ẩn t và tham số x. 
Khi đó biệt số . Phương trình có hai nghiệm t = 1/3 và t = -x + 2
Với t = 1/3 thì 3x-1 = 1/3 x = 0
Với t = -x + 2 thì 3x-1 = 2 - x. Ta thấy x 1 suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải. Đặt u =, v =(u > 0, v > 0). Khi đó u.v = 27-5x = 2.26-5x
Phương trình trở thành u + v = u.v + 1 (u - 1)(v - 1) = 0u =1 hoặc v = 1.
. Với u =1 thì =1x2 - 5x + 6 = 0 x = 2 hoặc x = 3
. Với v =1 thì =11 – x2 = 0 x = 1 hoặc x = -1.
Vậy phương trình có 4 nghiệm x = -1, x = 1, x = 2, x = 3.
Lưu ý: 1. PT có dạng với , ta thường đặt (xem ví dụ 1).
2. PT có dạng , ta thường chia cả hai vế cho v2.f(x)
Rồi đặt (xem ví dụ 2).
3.Những PT sau khi đặt ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để hoặc biểu diễn quá phức tạp. Khi đó ta thường được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ có biệt số chính phương (xem ví dụ 3).
4. Đối với một số bài toán ta lựa chọn ẩn phụ và đưa về phương trình tích (xem ví dụ 4)
Bài tập tương tự: 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ; 2); 3); 4) 
5); 6)
3. Phương pháp logarit hoá 
 Phương pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Lời giải. Hai vế của phương trình đều dương, lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ta được phương trình 7x = 5x.log57 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Lời giải. ĐK x ≠ - 2. 
Lôgarit cả hai vế của phương trình theo cơ số 3, ta được
 x = 1 hoặc x = 2(1 + log32).
Lưu ý: Khi lấy lôgarit hoá hai vế, ta thường lôgarit theo cơ số đã có sẵn trong bài 
Bài tập tương tự: 1) ; 2) ; 
 3) ; 4) 
Phương pháp hàm số 
Các bài toán dạng này thường được sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x) liên tục trong tập các định)
Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = k () có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).
Tính chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm giảm trên (a;b). Do đó nếu tồn tại để f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục, tăng hoặc giảm trên (a;b) thì 
 với mọi u,v (a; b).
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1 = 3 - x 
Lời giải. ĐK x < 3. 
Nhận xét: 
. Vế trái f(x) = 3x+1 là hàm đồng biến trên R. Vế phải g(x) = 3 - x là hàm nghịch biến trên R.
. x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình 
Thật vậy: Với x > 0 thì 3x+1 > 3; 3 – x < 3
 Với x 3.
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Lời giải. Chia cả hai vế của phương trình cho 3x, ta được
Nhận xét vế trái f(x) =là hàm nghịch biến trên R.
x = 2 là nghiệm của phương trình 
Với x > 2 thì <1
Với x 1.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với 
 Đặt u = x - 1; v = x2 - x. 
Phương trình có dạng 2u + u = 2v + v (2)
Xét hàm số f(t) = 2t + t đồng biến và liên tục trên R.
Phương trình (2) f(u) = f(v) u = v x2 – x = x – 1
 x2 - 2x + 1 = 0 x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 4: Giải phương trình (1)
Lời giải. Đk x > 0. áp dụng công thức . Khi đó 
(1) (2).
Đặt t = log2x suy ra x = 2t. 
Khi đó phương trình (2) 32t = 4t.3t - 3t9t + 3t = 12t. 
Chia cả hai vế cho 12t và áp dụng cách giải của ví dụ 2.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình
1) 22x-1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2; 2) 
5. Một số phương pháp khác 
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Lời giải. Ta có x2 ≥ 0 suy ra 
Phương trình đã cho tương đương với hệ 
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Lưu ý: Ngoài phương pháp nhận xét đánh giá như trên, ta có thể sử dụng Định lí Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) = 0 có không quá hai nghiệm thuộc (a;b).
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x + 5x = 6x + 2
Lời giải.
 Phương trình trên tương đương với 3x + 5x - 6x – 2 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3x + 5x - 6x - 2, với xR.
Ta có f’(x) = 3x.ln3 + 5x.ln5 - 6, f’’(x) = 3x.ln23 + 5x.ln25 > 0 với mọi xR.
Như vậy, hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị lõm trên R nên theo Định lí Rôn phương trình có tối đa 2 nghiệm trên R. 
Nhận thấy f(0) = f(1) = 0. 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2003x + 2005x = 2.2004x
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với 2003x - 2004x = 2004x - 2005x.
Gọi a là một nghiệm của phương trình, khi đó ta có
 2003a - 2004a = 2004a - 2005a (2).
Xét hàm số f(t) = ta - (t + 1)a, với t > 0. Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (2003; 2005). Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c(2003; 2005) sao cho f’(c) = 0 
 a[ca-1 - (c + 1)a-1] = 0 
Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn.
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm sao cho 
Bài tập tương tự: 1) ; 2) 6x + 2x = 5x + 3x; 3) 9x+3x=10x+2; 
II. Một số phương pháp giải phương trình Logarit
 Phương trình logarit cơ bản có dạng logax = m. Với mỗi giá trị tuỳ ý của m, phương trình có một nghiệm duy nhất x = am.
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Nếu thì 
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Lời giải. Phương trình (1) 
 (2)
Nếu x ≥ 1 thì hệ (2) 
. Giải hệ tìm được nghiệm 
Nếu x < 1 thì hệ (2) tương đương với 
. Giải hệ tìm được nghiệm .
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Ví dụ 2: Giải phương trình log3[1 + log3(2x - 7)] = 1 (1)
Lời giải. (1) 1 + log3(2x - 7) = 3 log3(2x - 7) = 2
 2x-7 = 9 2x = 16 x = 4.
Ví dụ 3: Giải phương trình log2x + log3x + log4x = log20x.
Lời giải. Đk: x > 0.
Dùng công thức đổi cơ số, ta được 
 log2x + log2x.log32 + log2x.log42 = log2x.log202.
 (1 +log32 + log42 - log202).log2x = 0 
log2x = 0 x = 1(t/mđk).
Lưu ý:1. PT logf(x)g(x)=b (xem ví dụ 1)
2. Nếu PT có dạng logax + logbx + logcx + logdx = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ thừa qua nhau. Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đưa chúng về cùng một cơ số và áp dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3)
Ví dụ 4: Giải phương trình 
Lời giải. Đk:
Với điều kiện trên phương trình tương đương với 
 (2).
. Nếu x ≥ -1 thì (2) x2 + 4x – 12 = 0x = 2 hoặc x = -6.
Kết hợp đk ta được x = 2.
. Nếu x < -1 thì (2) x2 - 4x – 20 = 0.
Kết hợp điều kiện ta được .
Vậy phương trình có hai nghiệm x =2 và .
Lưu ý: Điều kiện của PT chưa đảm bảo x > 0 thì logax2 = 2. 
Bài tập tương tự: 1) 
 2) ; 3) log3x + log4x = log12x
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình log2(2x - 1).log1/2(2x+1 - 2) = -2.
Lời giải. Đk: x > 0.
Với đều kiện trên phương trình tương đương với 
log2(2x - 1).[- log22.(2x - 1)] = -2
 log2(2x - 1).[- 1 - log2(2x - 1)] = -2 (1)
Đặt t = log2(2x - 1). 
Phương trình (1) trở thành t2 + t – 2 = 0t = 1 hoặc t = -2.
. Với t = 1 thì log2(2x - 1) = 1 2x – 1 = 22x = 3x = log23(tmđk)
. Với t = -2 thì log2(2x - 1) = -2 2x – 1 = 1/42x = 5/4x = log25/4(tmđk).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = log23 và x = log25/4.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Lời giải. Đk:x > 0.
Đặt t =, t ≥ 1.
 Phương trình trở thành t2 + t – 6 = 0 t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại).
. Với t = 2 thì =2log32x = 3 (tmđk).
Vậy phương trình có hai nghiệm và 
Ví dụ 3: Giải phương trình log2x-1(2x2 + x - 1) + logx+1(2x - 1)2 = 4
Lời giải. Phương trình đã cho viết được thành
 log2x-1(2x - 1).(x + 1) + logx+1(2x -1)2 = 4 (1)
Đk: (*) .
Với điều kiện (*), phương trình (1) log2x-1(x + 1) + 2logx+1(2x - 1) – 3 = 0.
Đặt t = log2x-1(x + 1), do điều kiện (*) nên t ≠ 0. 
Phương trình trở thành t2 - 3t + 2 = 0 t = 1 hoặc t = 2.
. Với t = 1 thì log2x-1(x + 1) = 1x + 1 = 2x - 1x = 2 (tmđk).
. Với t = 2 thì log2x-1(x + 1) = 2 x + 1 = (2x - 1)24x2 - 5x = 0 x = 0(loại) hoặcx = 5/4(tmđk).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4.
Lưu ý: 1. Trong phương trình có chứa căn thì cách đặt ẩn phụ cần khéo léo đặt để pt của ẩn phụ không còn chứa căn. Đối với ví dụ 2 nếu ta đặt t=log3x thì pt vẫn chứa căn, nhưng nếu đặt t=,thì PT của ẩn phụ rất đơn giản.
2. Nếu PT có chứa logab và logba thì ta đặt logab=t thì logba =1/t. (xem ví dụ 3).
Ví dụ 4: Giải phương trình (1)
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log2x suy ra x = 2t.
Phương trình (1) trở thành (2)
Nhận xét: , nên pt (2) tương đương với 
Với t = 0 thì x = 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 5: Giải phương trình (1)
Lời giải. Đk: x > 0, x ≠ 1/4, x ≠ 1/16, x ≠ 2(*)
Với điều kiện trên phương trình tương đương với 
 (2)
Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt.
Với 0 < x ≠ 1, pt (2) 
Đặt t = logx2, phương trình trên trở thành (3) 
Do điều kiện (*) nên pt luôn có nghĩa.
(3) 2t2 + 3t – 2 = 0 t = 1/2 hoặc t = -2(tmđk)
. Với t = -2 thì logx2 = -2 
. Với t = 1/2 thì logx2 = 1/2 x = 4.
Kết hợp đk ta được nghiệm của phương trình là x = 4, x = 
Bài tập tương tự: 
1) ; 2) 
3) 
3. Phương pháp hàm số 
Ví dụ 1: Giải phương trình log5x = log7(x + 2)
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log5x = log7(x + 2) 
Suy ra 
Xét phương trình 5t + 2 = 7t. Chia cả hai vế của phương trình cho 7t , ta được .
f(t)=là hàm nghịch biến trên R, t = 1 là nghiệm của phương trình 
Với t > 1 thì f(t) 1.
Vậy t = 1 thì x = 5.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = , suy ra 
chia cả hai vế của (2) cho ta được .
Vế trái là hàm nghịch biến và t = 12 là nghiệm.
Với t = 12 thì x = 212 
Lưu ý: 1. Với PT dạng logau = logbv, ta thường giải như sau:
 Đặt t = logau = logbv; sử dụng phương pháp thế để đưa về một phương trình mũ; tìm t (thông thường PT có nghiệm duy nhất); suy ra x.
2. Đối với ví dụ 2 h/s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc 3 và căn bậc 2, vế phải là một số nguyên. Do đó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6.
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Lời giải. Đặt u = x2 + x + 1; v = 2x 2- 2x + 3 (u > 0, v > 0) 
 suy ra v – u = x2 - 3x + 2.
PT đã cho trở thành log3u - log3v = v-u log3u + u = log3v + v (1). Xét hàm số f(t) = log3t + t, ta có nên hàm số đồng biến khi t > 0.
Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x2-3x+2=0.
Phương trình có nghiệm x = 1,x = 2.
Lưu ý: Với phương trình dạng với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta thường biến đổi logau - logav = v – u logau + u = logav. Vì hàm số 
 f(t) = logat + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v.
Bài tập tương tự: 1) ; 2) log5x + log3x = log53.log9225
3); 4) 
4. Phương pháp khác 
Ví dụ1: Giải phương trình 6x = 1 + 2x + 3log6(1 + 5x).
Lời giải. Đk x > -1/5. Đặt a = log6(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6a. Ta có hệ 
Trừ vế với vế của hai phương trình, ta được 
 6a - 6x = 3x - 3 a 6a + 3a = 6x + 3x (2). 
Xét hàm số f(t) = 6t + 3t liên tục và đồng biến với mọi t.
Phương trình (2) được viết dưới dạng f(a) = f(x) a = x log6(5x + 1) = x 5x + 1 = 6x 6x - 5x – 1 = 0.
Xét hàm g(x) = 6x - 5x - 1, với x > -1/5. Ta có g’(x) =6x.ln6-5, g’’(x)=6x .ln2 6> 0 với mọi x. Theo định lí Rôn phương trình có tối đa hai nghiệm trên . Nhận xét rằng g(0) = g(1) = 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Lời giải. Đk -5 ≤ x ≤ 4. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
 .
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
Vậy x = -1/2 là nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự: 
1) log2[3log2(3x - 1) - 1] = x; 2) 7x-1 = 6log7(6x - 5) + 1
III. Phương trình mũ và phương trình logarit có chứa tham số 
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình 4sinx + 21+sinx – m = 0 có nghiệm 
Lời giải. Đặt t = 2sinx , 
Phương trình đã cho có dạng t2 + 2t – m = 0 t2 + 2t = m.
Xét f(t) = t2 + 2t, f’(t) = 2t + 2 > 0 với mọi , do đó hàm số đồng biến với 
Phương trình có nghiệm .
Vậy phương trình có nghiệm khi 
Ví dụ 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 
 (1)
Lời giải. Đặt x = Lời giải. Vì nên 3 ≤ x ≤ 9.
Phưương trình (1) có dạng x2 - (a + 2).x + 2a + 1 = 0 do x nên x ≠ 2.
Xét f(x) = với x, , 
4
f’(x)
+
x
f(x)
-
1
2
3
9
-
-
+
+
+
0
0
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta được 
Lưu ý: 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b). Khi đó Pt f(x) = m có nghiệm 
2. Với ví dụ 1 chúng ta cô lập được tham số m ngay và sử dụng lưu ý 1. Đối với ví dụ 2 số mũ của tham số a là giống nhau, do đó ta rút a qua x được a = f(x). Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x), từ đó suy ra đáp số. 
Đối với phương trình không cô lập được tham số m và không có công cụ Định lí đảo ta sẽ sử lí ra sao?Chúng ta cùng xem ví dụ 3.
Ví dụ 3: Cho phương trình 
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 4 < x 1< x2 < 6.
Lời giải. Đặt t = , phương trình có dạng
 m.t2 - 2(m2 + 1).t + m3 + m + 2 = 0 (1)
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn -1 < t1 < t2(*)
C1: m ≠ 0, ta có =(m - 1)2 phương trình (1) có hai nghiệm và . Khi đó (*) 
Vậy 0 < m ≠ 1 thoả mãn yêu cầu bài toán 
C2: Ta chuyển về bài toán so sánh với số 0.
Đặt X = t + 1 suy ra t = X - 1, phương trình (1) trở thành
m.X2 - 2(m2 + m + 1).X + m3 + 2m2 + 2m + 4 = 0 (2) 
(*) tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 
C3:(*) 
Giải hệ trên ta được kết quả 0 < m ≠ 1.
Lưu ý: Đối với PT trên các luỹ thừa của tham số m không giống nhau nên ta không thể cô lập được tham số. Vì vậy ta có thể có các hướng sau:
Hướng 1: Tính trực tiếp các nghiệm và so sánh nó với 1
Hướng 2: Đặt X = t + 1 và chuyển về bài toán so sánh với số 0.
PT có nghiệm -1< t1 < t2 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm dương phân biệt.
PT có nghiệm t1 < t2 < 0 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm âm phân biệt.
PT có nghiệm t1 < 0 < t2 khi và chỉ khi PT ẩn X có hai nghiệm trái dấu
Hướng 3: Ta sử dụng kết quả
<t1<t2

Ví dụ 4: Cho phương trình (m - 4).9x - 2(m - 2).3x + m – 1 = 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 + x2 = 3
Lời giải. Đặt t = 3x, (t > 0)
Phương trình (1) trở thành (m - 4).t2 - 2(m - 2).t + m – 1 = 0 (2)
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 < t1 < 1 < t2 (*)
C1: Với m ≠ 4, . Để thoả mãn (*) thì m > 0. Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm là 
 và 
Ta nhận thấy 0 0. Vậy để thoả mãn (*) ta cần có t1 > 1 
Vậy m > 4 thoả mãn bài 
C2: (*) tương đương với
Vậy m>4 thoả mãn bài
C3: Cô lập tham số m 
Phưong trình (1) tương đương với m(t2 - 2t + 1) = 4t2 - 4t + 1, do t = 1 không phải là nghiệm nên . Xét hàm số f(t) = với t > 0.
+
1
1/2
t
-
0
f’(t)
f(t)
0
+
1
0
+
4
+
Ta có , f’(t) = 0 khi t = 1/2. Do đó có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra m > 4.
b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt và thoả mãn t1.t2 = 27 .
Ví dụ 5: Tìm a phương trình sau có nghiệm duy nhất 
 log5(ax) = 2.log5(x + 1) (1) 
Lời giải. Phương trình trên tương đương với 
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng một nghiệm lớn hơn -1. 
Ta có 
Nếu = 0 thì a = 0 hoặc a = 4. 
 Với a = 0 pt có một nghiệm x = -1(loại).
 Với a = 4 pt có một nghiệm x = 1(tm).
Nếu > 0 thì a 4. Khi đó pt có hai nghiệm phân biệt 
x1=
x2=
Nhận xét: 
. Nếu a - 1 (luôn đúng do a < 0).
. Nếu a > 4 thì x1 > -1, do đó để thoả mãn bài thì x2 < -1
(vô lí do a > 4)
Vậy a = 4 hoặc a < 0 thoả mãn bài 
C2: (*) , do x = 0 không là nghiệm của pt.
Xét hàm số f(x) = 
Chúng ta có thể giải bằng phương pháp lập bảng biến thiên.
C3: TH1: ta tìm thấy a=4 thoả mãn.
TH2: , pt có hai nghiệm phân biệt và để thoả mãn bài ta cần có .
Nếu pt có nghiệm x = -1 thì a = 0. Với a = 0 thay vào ta được pt x2 + 2x +1 = 0 suy ra x = -1 (loại)
Nếu 
 .
Vậy a < 0 hoặc a = 4.
Ví dụ 6: Tìm m phương trình có 3 nghiệm phân biệt 
Lời giải. Đk m 2.
Lôgarit hoá hai vế theo cơ số , ta được phương trình tương đương với 
Xét hàm số g(x) = , ta có 
Do đó ta có đồ thị sau 
x
1
5
4
y
0
Từ đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt Tmđk
Lưu ý: PT dạng af(x)=m, để biện luận nó ta sủa dụng phương pháp lấy lôgarit hoá hai vế theo cơ số a và đưa về Pt đại số.
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Lời giải. 
Phương trình trên tương đương với 
 (1)
Xét f(t) = 5t + t, f’(t) = 5t.ln5 + 1 > 0 với mọi t. Do đó f(t) là hàm liên tục và đồng biến với mọi t.
Phương trình (1) f(x2 + 2mx + 2) = f(2x2 + 4mx + m + 2)
 x2 + 2mx +2 = 2x2 + 4mx + m + 2 
 x2 + 2mx + m = 0 (2)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm 
 = m2 – m > 0 m 1.
Ví dụ 8: Tìm x để phương trình sau nghiệm đúng với mọi a
 (1)
Lời giải. 
. Điều kiện cần
 Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi a suy ra cũng đúng với a = 0.
Với a = 0, ta được: 
 (1)
Vậy x =1 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với mọi a.
. Điều kiện đủ
 Với x =1, phương trình (1) có dạng 
 (luôn đúng)
Vậy x = 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm với mọi a
Lưu ý: Ngoài các phương pháp trên, thì đối với các bài toán cần tìm đk của x để bài toán đúng với mọi tham số , ta thường sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Bài tập tương tự: 1) Tìm m để phương trình có nghiệm 
2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 
3) Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm 
4) Tìm x để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi a.
Phần C. Bất phương trình mũ và logarit
I. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit
Cũng giống như phương trình mũ và PT lôgarit, bất PT mũ và lôgarit cũng có cách giải tương tự. Chúng ta có lưu ý sau:
. Bất phương trình mũ 
Nếu a >1 thì .
Nếu 0 < a < 1 thì .
. Bất phương trình lôgarit
Nếu a > 1 thì 
Nếu 0 < a < 1 thì 
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đk: x ≤ 0 hoặc x ≥ 2. Khi đó bất phương trình tương đương với (1)
Nếu x ≤ 0 thì , khi đó pt (1) (lđúng vì x ≤ 0)
Nếu x ≥ 2 thì , khi đó pt(1) 
x2 - 2x – 1 ≥ 0
Kết hợp với điều kiện ta được .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình logx(5x2 - 8x + 3) > 2 
Lời giải. Bất phương trình trên tương đương với
Lưu ý: Với bất pt dạng logf(x)g(x)>a, ta xét hai trường hợp của cơ số 0<f(x)<1 và 1<f(x).
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đk x > 0.
Ta sử dụng phép biến đổi . Khi đó bất phương trình tương đương với . Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta được: 
Vậy phương trình có nghiệm 
 Ví dụ 4: Giải bất phương trình 
Lời giải. Bất phương trình trên tương đương với 
Vậy x > 0 là nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 5: Tìm k để hàm số có tập xác định là mọi x
Lời giải. Hàm số có nghĩa (1)
Nhận xét x2 + x +1 > 0 với mọi x. Do đó (1)
Yêu cầu bài toán tương đương với hệ trên có nghiệm với mọi x
Vậy -5 < k < 1 thoả mãn yêu cầu của bài
Bài tập tương tự: 1) 2) 
3) 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình (1)
Lời giải. ĐK x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu cho 2x, ta được 
 (1) (2)
Đặt t = , 0 < t ≠ 1. Khi đó bất phương trình (2) tương đương với 
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
Lời giải. Điều kiện x > 0.Bất phương trình trên tương đương với 
Đặt t = log2(x), bất phương trình trên tương đương với
 t4 - 13t2 + 36 < 0
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đặt X = 5x-5 > 0, Y = > 0, khi đó bất phương trình có dạng
 (1), 
Do Y > 0 nên (1)X2 - 4XY < 5Y2 X2 - 4XY - 5Y2 < 0 (X + Y)(X - 5Y) < 0 
Bất phương trình trên tương đương với hai hệ sau
 (I) 
 (II) 
 Vậy bất phương trình có nghiệm là 
Bài tập tương tự: 1) ; 2); 3)
3. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 
Lời giải. ĐK x > 0.
Đặt t = log4x x = 4t, bất phương trình trở thành log5(3+2t) > t 
 3 + 2t > 5t 
Hàm số nghịch biến trên R và f(1) = 1.
Bất phương trình trở f(t) > f(1) t < 1, ta được log4x < 1 0 < x < 4.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đặt u = x2 + x + 1; v = 2x2 - 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x2-3x + 2
Bất phương trình đã cho tương đương với 
 log3u + u > log3v + v (1)
Xét hàm số f(t) = log3t + t, có 
Nên h/s đồng biến khi t > 0. Từ (1) ta có f(u) > f(v) u > v 
 x2 + x + 1 > 2x2 - 2x + 3 x2 - 3x + 2 < 0 1 < x < 2.
Lưu ý: 1. Với bất phương trình dạng logau<logbv, ta thường giải như sau:
Đặt t=logau (hoặc t=logbv); đưa về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số.
2. Với bất phương trình dạng . Ta xét hàm số f(t)=logat+t đồng biến khi t>0, suy ra f(u)<f(v)u<v.
Bài tập tương tự: 1. ; 2) 2.2x + 3.3x > 6x - 1.
3) 16x - 3x < 4x + 9x. 
4. Phương pháp vẽ đồ thị 
Ví dụ: Giải bất phương trình 
Lời giải. Bất phương trình trên tương đương với hai hệ 
(I) và (II) 
Giải hệ (I)
 +) 
 +) 2x < 3x - 1, ta vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x và y = 3x - 1 trên cùng một hệ trục toạ độ.
 Khi đó ta được nghiệm là 1 < x < 3.
Do đó hệ (I) có nghiệm 1 < x < 3.
Giải hệ (II) 
 +) 
 +) 2x > 3x - 1 x 3
 Do đó hệ (II) có nghiệm -5 < x < 0.
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Bài tập tương tự: 
Một số phương pháp khác 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 
Lời giải. Điều kiện x ≥ 2.
Ta có nhận xét sau:
. VT≥2.
. x2x-1≥1
 VP≤2
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
 Như chúng ta đã biết việc đặt điều kiện để bất phương trình có nghĩa là cần thiết, vì đó là bước đầu tiên khi giải bất phương trình. Từ đ/k đó để loại đi các giá trị không thoả mãn bất phương trình đã cho. Đó là ý nghĩa chung của việc đặt điều kiện đối với một bất phương trình. Hơn nữa trong nhiều trường hợp, chính từ bước này cho phép ta đơn giản hoá phép giải tiếp theo. Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình logx[log9(3x-9)] < 1
Lời giải. Để log9(3x-9) có nghĩa, ta cần có 3x > 9 3x > 9 x > 2.
Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với 
Đặt 3x = t, (t > 0), ta có hệ 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 
 (1)
Lời giải: Đ/k: .
Bất phương trình đã cho tương đương với 
Do . Vậy khi thì xlog2x-5<0, do đó 
(1) .
Vậy nghiệm 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đk (1)
Bất phương trình tương đương với (2).
Từ (1) ta có . Do đó (2) tương đương với
 (3)
(3) tương đương với hai hệ sau 
 (I) 
 (II) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 
Lời giải. Đk 
. log2(x + 1) > 0 x + 1 > 1x > 0
. log2(3 - 2x) > 0 3 - 2x > 1 x < 1
Ta có bảng xét dấu 
log2(x+1)
 log2(3-2x)
x
-1
0
1
-
+
+
+
+
-
Từ đó ta có các trường hợp sau
TH1: Với -1 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm 
TH2: Với 0 0, VP > 0. Khi đó bất phương trình tương đương với 
 log2(x + 1) x + 1 0 < x < 1.
TH3: Với 1 0, VP < 0, bất phương trình có nghiệm với mọi 1 < x < 3/2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Lưu ý: Với bất phương trình dạng , ta thường giải như sau:
+)Lập bảng xét dấu của logau và logbv trong tập xác định của bất phương trình.
+)trong tập xác định đó nếu logau và logbv cùng dấu thì bất phương trình tương đương với logau<logbv.
Ví dụ 6: Trong các nghiệm (x; y) của bất phương trình , chỉ ra các nghiệm có tổng 2x + y lớn nhất.
Lời giải. 
Bất phương trình trên tương đương với hai hệ sau 
 (I) và (II) 
Rõ ràng nếu (x; y) là nghiệm của bất phương trình thì tổng 2x +y lớn nhất chỉ xảy ra khi nó là nghiệm của hệ (II).
(II) 
Ta có 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số và , ta được 
 .
Với x = 2 và y = 1/2 thoă mãn bất phương trình x2 + 2y2 > 1.
Vậy trong các nghiệm của bất phương trình thì nghiệm (2; 1/2) là nghiệm có tổng 2x + y lớn nhất bằng 9/2.
Bài tập tương tự: 1) ; 2) với .
3) Trong các nghiệm (x; y) của bất phương trình . Tìm nghiệm có tổng x + 2y lớn nhất.
4)
II. Bất phương trình mũ và logarit có chứa tham số 
Ví dụ 1: Cho bất phương trình 4x - 3.2x + m ≥ 0 (1)
Tìm m để bất phương trình có nghiệm với mọi x 1
Tìm m để bất phương trình có nghiệm x 1
Lời giải.
Đặt t = 2x (t > 0)
Bất phương trình có dạng t2 - 3t + m ≥ 0 t2 - 3t ≥ - m (2)
Bất phương trình (1) có nghiệm với mọi x 1 bất phương trình (2) có nghiệm với mọi t thoả mãn 0 < t ≤ 2 
Xét f(t) = t2 - 3t, t. Ta có bảng biến thiên
-9/4
+
2
t
-
0
f(t)
0
-2
Từ bảng biến thiên suy ra -9/4 ≥ -m m ≥ 9/4
b) Bất phương trình (1) có nghiệm x 1bất phương trình (2) có nghiệm 
 t.Từ bảng biến thiên suy ra 0 > -mm > 0.
Lưu ý: Cho bất phương trình f(x) > m. Hàm số f(x) liên tục và xác định trênD
Bất phương trình có nghiệm với mọi 
Bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 2:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x ≥ 1
 (1)
 Lời giải. ĐK: 
đặt t =, vì x ≥ 1 nên t ≥ 1. Khi đó bất phương trình (1) có dạng mt + m 0)
Bất phương trình (1) có nghiệm với mọi x ≥ 1bất phương trình (2) có nghiệm với mọi t ≥ 1(3). Đặt , với t≥1. Ta có với mọi t ≥ 1, suy ra f(t) luôn đồng biến với mọi t ≥ 1.
Do đó (3) .
Vậy m < 1.
Ví dụ 3: Cho bất phương (1). Tìm k để bất phương trình có nghiệm với mọi .
Lời giải. Đk x > 0.
Đặt t = log2x, vì nên .
Bất phương trình (1) có dạng (2)
Nhận xét: k2 – 1 = (k2 - k) + (k - 1)
 k3 - 2k2 + k = (k2 - k).(k - 1)
Do đó f(t) = có hai nghiệm t1 = k2 - k và t2 = k - 1.
Xét hiệu t1 - t2 = (k - 1)2 ≥ 0 suy ra t1 ≥ t2. Do đó bất phương trình (2) có nghiệm 
Bất phương trình (1) có nghiệm với mọi bất phương trình (2) có nghiệm với mọi 
.
Vậy k = 2 hoặc k ≤ - 1.
Lưu ý: Với bài toán tìm m để bất phương trình f(x, m) > 0 có nghiệm với mọi , trong trường hợp không cô lập được tham số m, ta thường làm như sau:
+) Giải bất phương f(x, m) > 0 được tập nghiệm .
+) Bất phương trình có nghiệm với mọi khi và chỉ khi 
Ví dụ 4: Tìm m để mọi thoả mãn bất phương trình 
Lời giải. ĐK: 
Đặt , t ≥ 0
Bất phươngtrình có dạng t2 + 4t – 5 ≤ 0 -5 ≤ t ≤ 1, vì t ≥ 0 nên ta được
 0 ≤ t ≤ 1 hay 0 ≤ log4(x2 - 2x + m) ≤ 1
Vậy bất phưươ