Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai và bậc cao

Chuyên đề: Phương trình- Bất phương trình bậc hai 
và bậc cao
Phần I: Phương trình
A. Phương trình không chứa tham số
I.Một số dạng phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai
Dạng 1: Phương trình trùng phương (1)
 Phương trình (2) 
Cách giải: 
 *PT (1) Đặt PT đã cho thành : 
 *PT (2) được đưa về PT trùng phương bằng cách đặt 
Ví dụ1:
Giải phương trình :
Lời giải
Đặt 
PT đã cho thành: .
Từ đó 
Ví dụ 2:
Giải phương trình: 
Lời giải
Viết lại PT đã cho thành (1) 
Đặt (*). Khi đó (1) trở thành :
 (do Đk (*). Vậy là nghiệm của Pt đã cho.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
 a) . Đáp số: 
 b) Đáp số:
Dạng 2: PT dạng (với : )
Cách giải : 
 Đặt (với )
Ví dụ :
Giải phương trình : (3) 
Lời giải 
Ta có 
Đặt 
Vậy PT(3) có ba nghiệm 
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
Đáp số: 
Dạng 3: Phương trình ( với : )
Cách giải: Chia hai vế PT cho rồi đặt 
Ví dụ1: Giải phương trình 
 (4) 
Lời giải
Có 
Thấy không là nghiệm của (4) , chia hai vế (4) cho 
Đặt thành 
Giải tiếp hai PT ta được nghiệm của (4) là 
Ví dụ2: Giải PT 
 (4')
Lời giải 
Thấy không phải là nghiệm của (4'), chia hai vế (4') cho ta được:
Đặt , Pt đã cho trở thành:
Thay vào biểu thức và giải ta được kết quả
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm là: 
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau
Hướng dẫn: a) Bạn đọc tự giải
 b) thấy không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho , đặt ,.
Mở rộng : 
Tương tự như cách giải trên, đối với pt dạng đối xứng 
 (với: )
Cách giải: 
1)Đối với pt đối xứng bậc chẵn : Vì không là nghiệm của pt đã cho, chia hai vế pt cho , đặt ,
2) Đối với pt bậc lẻ : Dễ thấy pt luôn có một nghiệm là , do đó luôn phân tích được vế trái pt đã cho thành tích của với một đa thức đối xứng bậc chẵn
Ví dụ: Giải các pt sau:
Hướng dẫn:
1) Đáp số: 
2) Dùng lược đồ Hoocne chia vế trái pt đã cho cho . Vậy PT đã cho thành:
Giải(*) bằng cách chia hai vế cho , đặt ,
Đáp số: 
Dạng 4: Phương trình dạng 
Cách giải: Đặt ta có hệ 
 (I)
Hệ (I) là hệ đối xứng loại 2, trừ vế với vế hai PT trong hệ ta được PT dạng tích 
Ví dụ: Giải phương trình (5)
 Lời giải
Đặt 
Vậy (5) thành 
Vậy ta có hệ 
* Với ta có 
*Với 
Vậy PT (5) có 4 nghiệm là: 
Bài tập tương tự: Giải PT sau
Bạn đọc tự giải
Dạng 5: Phương trình dạng (*)
Cách giải: 
Tách bậc đưa về dạng PT tích, dựa trên cơ sở sau:
Với ta luôn có (*) (**)
Gọi 
Ta tìm m sao cho trở thành bình phương đủ 
Khi đó và (*)
Ví dụ: Giải phương trình (6)
 Lời giải
Với ta có (6')
Gọi 
Ta tìm m sao cho 
Vậy (6')
Giải hai Pt trên, ta được 2 nghiệm của PT (6) là:
Bài tập tương tự : Giải phương trình sau
Đáp số: 
Dạng 6: Phương trình dạng 
Cách giải: 
 Đặt 
Ví dụ: Giải phương trình (7)
Lời giải
Đặt . Kết hợp với Pt(7)
Vậy pt đã cho trở thành
 là 
nghiệm của pt .
Bài tập tương tự: Giải PT sau
Hướng dẫn:
Đưa PT đã cho về dạng: 
Dạng7: Phương trình dạng 
Cách giải:
Đặt VT(ptđã cho) trở thành:
 Pt đã cho đưa được về dạng bậc hai đối với ẩn t
Vídụ: Giải phương trình
 (7)
Lời giải
 Đặt 
Vậy pt(7)
*với ta có:
*Với tương tự cách làm trên, pt vô nghiệm.
Vậy pt(7) có hai nghiệm là 
Lưu ý: 
Chúng ta hoàn toàn có thể giải phương trình trên bằng cách đưa được về dạng 6
Thật vậy: 
Đặt PT(7) thành:
Đặt , Pt trên thành 
*Với 
*Với 
Vậy pt đã cho có hai nghiệm là 
II.Phương pháp đưa về phương trình tích.
1.Đoán nghiệm hữu tỷ.
Cơ sở lí thuyết:
Giả sử là đa thức với hệ số nguyên.
Nếu đa thức có nghiệm hữu tỷ thì p là một ước số (dương hay âm ) của và là một ước số của .
Khi đó dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm hữu tỷ của đa thức (nếu có) và phân tích luôn được
Ví dụ 1: Giải phương trình (8)
Giải:
Trước hết ta kiểm tra xem pt đã cho có nghiệm hữu tỷ hay không? Bằng phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ ở trên. Thật vậy:
Số hạng tự do là 3 có các ước số (kể cả âm) là 
Hệ số cao nhất là 3 có các ước số là 
Vậy nghiệm hữu tỷ nếu có phải là một trong các số sau đây: .
Dùng lược đồ Hoocne ta tìm được nghiệm của pt là , hơn nữa pt đã cho viết được dưới dạng pt tích là : .
Vậy pt đã cho có ba nghiệm là 
Bài tập tương tự : Giải các phương trình 
 a) (9)
 b) 
 c) 
Đáp số : a) 
 b)
 c) 
Lưu ý: Không phải bất kỳ phương trình nào cũng có nghiệm hữu tỷ nên phương pháp trên sẽ không thể làm được khi gặp tình huống PT không có nghiệm hữu tỷ.
2.Nhóm các số hạng một cách thích hợp , dùng công thức hằng đẳng thức để đưa pt đã cho về dạng pt tích 
Ví dụ2: Giải PT (10)
Giải:
Trước hết ta kiểm tra xem pt có nghiệm hữu tỷ hay không? Thật vậy nếu pt trên có nghiệm hữư tỷ thì theo lý thuyết trên nghiệm hữu tỷ chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne thấy pt không nhận các nghiệm trên.
Vậy ta tìm cách tách, nhóm các số hạng, dùng hằng đẳng thức đưa (10) thành pt tích.
Từ đó ta có nghiệm của pt đã cho là 
Bài tập tương tự: Giải PT(9)
Hướng dẫn: 
 .
3.Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ3: Giải pt (9) bằng cách phân tích thành nhân tử theo phương pháp hệ số bất định
Giải:
Giả sử *( vì hệ số của là )
Trong đó m, n, p, q là các hệ số nguyên ** ta cần tìm
*
Theo** chỉ có thể là 
Kiểm tra lại ta được 
Vậy:
Bài tập tương tự: Giải pt(10) bằng phương pháp hệ số bất định.
B.Phương trình chứa tham số
I. PT bậc cao chứa tham số ( vấn đề số nghiệm, giải và biện luận)
Cách giải:
1) Đưa về dạng PT tích.
2) Dùng phương pháp tráo đổi vai trò giữa ẩn và tham số.
 Đưa bài toán về nghiên cứu Pt bậc hai quen thuộc
Ví dụ1:
Cho PT (11)
Xác định m để PT có đúng hai nghiệm
Giải:
Dễ thấy là một nghiệm của PT, chia vế phải của PT cho 
PT(11) có đúng hai nghiệm nếu một và chỉ một trường hợp sau xảy ra 
+Hoặc là PT(*) có nghiệm kép 
+Hoặc là PT(*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 
Trường hợp 1:
Cần tìm m để:
Trường hợp 2:
Bài tập tương tự: Giải và biện luận PT theo tham số m
Hướng dẫn:
Nhẩm được một nghiệm của PT là , chia vế trái pt cho 
 pt đã cho trở thành:
Ta giải và biện luận (*) rồi kết luận.
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a số nghiệm của PT
Giải:
Viết lại 
Xem là pt đối với ẩn a. Ta có
Các nghiệm của (*) là :
+Xét pt(**) có 
-Nếu vô nghiệm
-Nếu có nghiệm kép 
-Nếu có hai nghiệm phân biệt 
+Xét pt (***) có .
-Nếu có hai nghiệm phân biệt 
-Nếu có nghiệm kép 
-Nếu vô nghiệm
Kết luận:
Nếu có hai nghiệm phân biệt .
Nếu có một nghiệm kép 
Nếu vô nghiệm
Nếu có một nghiệm kép .
Nếu có hai nghiệm phân biệt .
Bài tập tương tự: Giải và biện luận pt sau theo tham số a
Hướng dẫn:
Viết lại thành: 
Bạn đọc tự giải tiếp hai pt bậc hai trên và kết luận.
II)Vấn đề tính chất nghiệm của phương trình.
Ví dụ1: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ thì ít nhất một trong các hệ số a,b,c là số chẵn.
Giải:
Theo mục A.II.1 nói ở trên ta có:
Nếu PT (*) có nghiệm hữu tỷ 
Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử .
Thay vào (*) ta có 
 mà 
Đặt thành: 
Nếu thì 
Theo trên, pt bậc hai với các hệ số nguyên và hệ số của số hạng bậc hai bằng , có nghiệm hữu tỷ 
Ta lại có: 
Mặt khác:Trong ba số nguyên có ít nhất một số là số chẵn. Do đó chẵn đpcm
Bài tập tương tự: 1)Cho là hai số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỷ.
 2)Cho là đa thức với hệ số nguyên và lẻ. Chứng tỏ vô nghiệm trên Z
 3) Cho đa thức có các hệ số nguyên và lẻ, chẵn. CMR có ít nhất một nghiệm vô tỷ
Hướng dẫn:
) Giả sử pt có nghiệm , theo 
Nếu 
Nếu 
Vậy điều giả sử trên là không xảy ra.
) Giả sử có nghiệm 
Do lẻ lẻ 
Mặt khác , cũng do lẻ lẻ 
Từ Điều giả sử trên là sai đpcm
) Giả sử mọi nghiệm của pt đã cho đều là hữu tỷ , tương tự đặt (*)là nghiệm nguyên (do nguyên) của đa thức là ước của lẻ lẻ, mâu thuẫn g/t
Ví dụ 2: Chứng minh rằng là nghiệm của một đa thức với các hệ số nguyên. Tìm đa thức đó.
Giải:
Ta có: 
Vậy là nghiệm của đa thức 
Bài tập tương tự: Chứng minh rằng là nghiệm của các đa thức có các hệ số nguyên. Tìm đa thức đó.
Đáp số: 
Ví dụ3: Cho phương trình 
Tìm tất cả các giá trị của tham số để pt trên có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng
Giải:
* Giả sử có ba nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Ta có , mặt khác theo Viét thì .
Vì là một nghiệm của nên 
* Thử lại thấy đều thoả mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập tương tự: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
 Đáp số: 
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để PT sau có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng
Giải:
Đặt thành 
 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng có hai nghiệm dương sao cho: theo thứ tự lập thành một cấp số cộng 
Cách1: Theo Viét , ta có 
 là một nghiệm của 
Thử lại thấy thoả mãn bài toán
Cách2: Dễ thấy có một nghiệm là theo Viét nghiệm kia là . Vậy ta có:
Bài tập tương tự: Cũng hỏi như trên đối với PT
Đáp số: 
Ví dụ5: Biết phương trình: có nghiệm số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải: 
*Gọi là một nghiệm của pt đã cho . Chia hai vế của pt cho ta được: .
Đặt: .
Vậy pt trở thành: .
* Theo bất đẳng thức Bunhiakôpxki: (do ).
*Đặt 
*Ta có 
Vậy S nhỏ nhất bằng , dấu bằng xảy ra khi hay 
II.Bất phương trình
II. Giải bất phương trình không chứa tham số
Muốn giải một bất phương trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: 
a) Đưa vế trái của bất phương trình (vế phải của bất phương trình là 0) về dạng tích, thương của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tương tự như ở mụcI).
b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tương tự như ở mục I) để đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
Giải: 
Xét 
Ta có bảng xét dấu :
Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: 
Xét 
 Mẫu 
Ta có bảng xét dấu:
Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt là 
Bài tập tương tự : Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Phân tích vế trái đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2
Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý
Ta có: 
Cách 2:Xét nghiệm của đa thức , nếu có nghiệm hữu tỷ là ước (kể cả âm ) của là ước của nghiệm hữư tỷ nếu có của chỉ có thể là . Dùng lược đồ Hoocne ta thấy , và khi đó chia cho ta được 
Cách 3: Dùng phương pháp hệ số bất định , ta cũng đưa được .
Vậy 
Ta có bảng xét dấu:
Vậy nghiệm của 
Ví dụ2: Giải bất phương trình
Giải:
Đặt 
 trở thành: 
Từ 
Vậy nghiệm của bpt đã cho là 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau
Giải:
Thấy không thoả mãn , chia hai vế cho ,
 đặt trở thành
Vậy ta có
Kết luận nghiệm của BPT là 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau 
Giải:
Xét 
Chọn sao cho: chọn 
Khi đó trở thành: 
Vậy nghiệm của đã cho là: 
Bài tập tương tự: Giải BPT sau ( tham số )
Hướng dẫn:
* Nếu 
*Nếu , nhân hai vế của với 
Đặt trở thành: 
Xét , vậy có hai nghiệm đối với ẩn là: 
 Thay , ta có trở thành: 
Mặt khác ta có 
Đáp số : 
II.Bất phương trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phương trình 
Cơ sở lý thuyết:
* vô nghiệm 
* vô nghiệm 
*Cho bất phương trình: . Điều kiện cần và đủ để được thoả mãn với là: , với là tập nghiệm của ,( Tập cho trước có thể là: )
Ví dụ1: Cho tam thức:
Xác định sao cho:
Bất phương trình vô nghiệm;
Bất phương trình có nghiệm.
Giải:
Vậy không thoả mãn đều kiện bài toán.
 *
 vô nghiệm 
Để xác định sao cho bất phương trình có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định sao cho vô nghiệm''
*
Vậy không thích hợp.
*Ta có:
vônghiệm
Tóm lại, điều kiện để vô nghiệm là .
Vậy, điều kiện để có nghiệm là 
Bài tập tương tự: Với những giá trị nào của thì :
Hướng dẫn:
Để ý thấy do 
Vậy 
Hệ có nghiệm với 
Đáp số: 
Ví dụ 2:Cho bất phương trình: 
Tìm để bất phương trình được thoả mãn với .
Tìm để bất phương trình có nghiệm 
Giải:
 Cách giải1: Phương pháp tam thức bậc hai.
Gọi X là tập nghiệm của .Ta tìm 
+ không thích hợp.
+, không thoả mãn 
+:
Xét dấu và :
thoả mãn
 .
Tổng hợp các kết quả trên, ta được:.
Cách giải 2: Phương pháp hàm số:
Đối với học sinh đã được học kiến thức về khảo sát hàm số thì phương pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu như việc cô lập được tham số từ bất phương trình đã cho là đơn giản).
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , liên tục trên .
* có nghiệm .
*.
* có nghiệm .
*
Trở lại bài toán ta có: 
 (do)
Yêu cầu bài toán 
Xét 
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Xem bảng biến thiên ta có , vậy được thoả mãn 
Cách giải1( phương pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải) 
Cách giải2: Phương pháp hàm số
Tương tự câu Yêu cầu bài toán trở thành : 
Tương tự như câu ta có .
Bài tập tương tự: Xác định để bất phương trình :
, 
Đáp số: hoặc 
Ví dụ 3: Tìm 
Cách giải:
Gọi .
 ta có không trái dấu với nhau.
Chú ý: Trong quy ước mẫu thức bằng thì tử thức cũng bằng 
Bài tập áp dụng: Tìm để 
Giải:
Ta có 
Bởi thế và là tương đương.
Vậy 
Ví dụ 4: Cho 
Tìm a để 
Giải:
Viết lại 
Gọi 
Ta thấy 
Đáp số: 
Bài tập tương tự: Tìm để 
Hướng dẫn:
Viết lại 
Yêu cầu bài toán