Chuyên đề: Phương pháp về tọa độ trong mặt phẳng

Chuyờn đề: Phương phỏp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 1. Tọa độ điểm, phép tính véc tơ
I. Tóm tắt lí thuyết
Ngoài các kiến thức quen thuộc, cần chú ý các hệ quả sau:
1. M là trung điểm của AB, thì:
2. G là trọng tâm , thì:
3. Cho 	
	* cùng phương () Û tồn tại 
 	 hoặc cùng phương Û 
* cùng phương thì A, B, C thẳng hàng
* 
* , ()
II. Các ví dụ dụ tiêu biểu
Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có và giao của hai đường chéo thuộc Ox. Tìm toạ độ C, D?
Hướng dẫn:
Gọi I là tâm hình thoi. Giả sử 
Ta có: nên Û có nghiệm và .
* Với hay . Do C, D đối xứng với A và B qua I suy ra
 .
* Với hay 
Vậy có 2 kết quả của C, D.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có . Tìm sao cho ABDC là hình thang có đáy AB?
Hướng dẫn:
Ta có ;	, giả sử suy ra 
Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD nên cùng phương
Do đó: . Vậy 
Ví dụ 3: a) Cho . Tìm sao cho vuông tại M.
b) có . Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài của góc A.
c) có và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox. Tìm C và G?
Hướng dẫn:
a) , giả sử ;
 vuông tại M Û .Vậy có 2 điểm M là
Chú ý: Có thể dùng Pitago trong tam giác vuông.
b) I - chân phân giác trong
Ta có . Theo tính chất ta có hay .
Do I là phân giác trong nên 
Chứng minh tương tự suy ra chân phân giác ngoài là .
c) Gọi . Theo công thức tính toạ độ trọng tâm	 suy ra: 
	Vậy 
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0). CMR: ABCD là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn: 
Ta có: ,	
. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
Cách khác: I(x;y) cách đều A, B, C, D
Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm được 
Vậy I(3;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
III. Bài tập luyện tập
1) (ĐH, CĐ khối D - 2004). Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho có A(-1;0) B(4;0) C(0;m) . Tìm toạ độ trọng tâm G theo m. Tìm m để vuông tại G.
	 Đáp số: 
2) Cho A(-3;2) B(4;3). Tìm C thuộc Ox sao cho vuông tại C.
3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để cùng cân tại M.
4) Cho A(6;6) 
	a) Tìm sao cho nhận I là trọng tâm
	b) Tính 
5) (ĐH, CĐ khối B - 2003). Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho tam giác ABC có AB = AC, góc A = 900. M(1;-1) là trung điểm BC và là trọng tâm . Tìm A, B, C?
	 Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau)
6) Trên hệ Đề các Oxy cho A(3;1). Tìm B, C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất?
7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2) . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB?
	 Đáp số: Tâm ; Trực tâm 
8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3). Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành?
9) có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0). Gọi G là trọng tâm , với M là trung điểm AB.
a) Tìm G
b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) CMR: 
	 Đáp số: a) b) 
10) Tam giác ABC có A(2;5) B(4;-3) C(-1;6)
a) Tìm I sao cho 
b) Tìm D sao cho 
c) CMR: A, I, D thẳng hàng?
d) Gọi E - trung điểm AB, N là điểm sao cho 
 Tìm k để AD, EN, BC đồng quy.
e) Tìm quỹ tích M sao cho 
 Đáp số: a) I(8;-8) b) D(14;-21)	 d) 	
	 e) Quỹ tích M là đường tròn tâm I(8;-8) bán kính 
11) với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5). Tìm quỹ tích M trong các trường hợp sau:
	a) 
	b)
	 Đáp số: a) Quỹ tích M là đường tròn tâm 
	 b) Quỹ tích M là đường tròn tâm J(8;13) và 
12) Tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0) C(7;0) và bán kính đường tròn nội tiếp . Tìm tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết 
	 Đáp số: , 
Chủ đề 2: Phương trỡnh đường thẳng
I-Lý Thuyểt
A-Phương trỡnh đường thẳng 
1.Nếu đường thẳng (d) biết Phương trỡnh tổng quỏt của (d) là : 
2. Nếu đường thẳng (d) biết Phương trỡnh tham số của (d) là : 
3.Nếu đường thẳng (d) cú phương trỡnh tổng quỏt: ax+by+c=0 thỡ (d) cú một vtpt là và mọi nghiệm của phương trỡnh là tọa độ của điểm thuộc (d).
4.Nếu (d) cú phương trỡnh tham số thỡ (d) cú một vtcp và ứng với mỗi giỏ trị của t cho ta tọa độ một điểm thuộc (d).
5.Nếu là một vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) thỡ là một vtpt (hoặc vtcp)của đường thẳng (d).
6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0
 - Nếu (d1)//(d) thỡ phương trỡnh (d1)cú dạng :ax+by+m=0
 - Nếu (d2)(d) thỡ phương trỡnh (d2)cú dạng :-bx+ay+n=0
7.Phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) cú dạng
8.Phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) cú dạng:
Nếu =0 thỡ (d) cú phương trỡnh : =0
Nếu =0 thỡ (d) cú phương trỡnh :=0
9.Nếu đường thẳng (d)cú phương trỡnh tham số với thỡ ta cú phương trỡnh chớnh tắc của (d) là :
B-Vị trớ tương đối của hai đường thẳng :
 Cho (d1):
 (d2): 
Để xột vị trớ tương đối giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) ta lập hệ 
Hệ (I) vụ nghiệm (d1)// (d2)
Hệ (I) cú nghiệm duy nhất (x0;y0) (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
Hệ (I) vụ số nghiệm (d1) trựng (d2)
C-Gúc giữa hai đường thẳng :
 Gúc giữa hai đường thẳng luụn bằng hoặc kề bự với gúc giữa hai vtpt (hoặc gúc giữa hai vtcp).
 Suy ra:
 Nếu (d1):
 (d2): thỡ ( là gúc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2))
D-Khoảng cỏch từ một điểm tới một đường thẳng 
Cho (d): và điểm .Khi đú khoảng cỏch từ điểm M tới đường thẳng (d):
Lưu ý:
Cho (d): và hai điểm ,.Đặt t = 
Nếu t < 0 thỡ M,N nằm về hai phớa của (d).
Nếu t>0 thỡ M,N nằm cựng một phớa với (d).
II- Bài tập:
Dạng 1:viết phương trỡnh của đường thẳng 
Bài 1:Viết phương trỡnh tổng quỏt,phương trỡnh tham số ,phương trỡnh chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng (d) trong cỏc trường hợp sau:
(d) cú vtpt =(2;-3) và đi qua điểm M(1;2).
(d) đi qua điểm A(3;2) và vuụng gúc với (d1):2x-y-1=0
(d) đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4).
 Giải :
Ta cú :
(d):phương trỡnh tổng quỏt của (d): 2(x-1)-3(y-2)=0
 ↔ (d): 2x-3y+4=0
+) (d) cú vtpt suy ra (d) cú vtcp là phương trỡnh tham số của (d) là: 
+) phương trỡnh chớnh tắc của (d) là: 
Do (d)(d1):2x-y-1=0 nờn (d) cú dạng : x+2y+m=0
Vỡ A(3;2)(d) nờn ta cú :3+2.2+m=0↔m=-7
Vậy phương trỡnh tổng quỏt của (d) là :x+2y-7=0
+) Phương trỡnh tham số của (d): Đặt y=t suy ra x=7-2t
Vậy phương trỡnh tham số của (d):
+)Phương trỡnh chớnh tắc của (d): 
Cỏch 1:Do (d) đi qua A và B nờn (d): phương trỡnh tham số của (d) là 
 +) Phương trỡnh tổng quỏt của (d):Khử tham số t ở p tham số ta được: x-y+1=0
Cỏch 2: Phương trỡnh tổng quỏt của (d):
Từ đú suy ra phương trỡnh tham số của (d): 
Bài 2:Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết trung điểm cỏc cạnh là M(2;1),N(5;3),P(3;-4).
Giải:
Giả sử M,N,P theo thứ tự lần lượt là trung điểm cỏc cạnh BC,AC,AB.
Ta cú:
+) phương trỡnh BC được xỏc định bởi 
+) phương trỡnh AC được xỏc định bởi 
+) phương trỡnh AB được xỏc định bởi 
Kết luận: Võỵ phương trỡnh ba cạnh tam giỏc là: (AB):2x-3y-18=0
 (BC):7x-2y-12=0
 (AC):5x+y-28=0
Bài 3:lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC nếu biết B(-4;-5) và phương trỡnh hai đường cao của tam giỏc là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0
Giải:
Nhận xột:B(-4;-5) khụng thuộc vào cỏc đường cao.giả sử cỏc đường cú phương trỡnh :5x+3y-4 =0 là đường cao xuất phỏt từ A.
+) phương trỡnh cạnh AB:
Vỡ (AB)(d2):3x+8y+13=0 phương trỡnh (AB) cú dạng:8x-3y+c=0
Mặt khỏc: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nờn :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17
Vậy phương trỡnh (AB): 8x-3y+17=0
+) phương trỡnh cạnh BC:
Vỡ (BC)(d1):5x+3y-4=0 phương trỡnh (BC) cú dạng:3x-5y+m=0
Mặt khỏc: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nờn :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13
Vậy phương trỡnh (BC): 3x-5y-13=0
+) phương trỡnh cạnh AC:
Điểm nờn tọa độ A (-1;3)
Điểm nờn tọa độ C (1;-2)
Suy ra :phương trỡnh cạnh AC là 
Kết luận : phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC:
(AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0
Dạng 2:xột tương giao của hai đường thẳng 
Bài 1:xột vị trớ tương đối của cỏc cặp đường thẳng sau:
 a) (d1): x+2y+1=0 và (d2): x+4y+3=0 
b) (d1):x+y+1=0 và (d2): 
c) (d1): và (d2): 
Giải:
xột hệ .Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(1;-1)
phương trỡnh tổng quỏt của (d2)là :x+y=0
 Xột hệ :.Hệ vụ ngiệm .Suy ra (d1)//(d2).
phương trỡnh tổng quỏt của(d1):x-2y+4=0
 (d2):x-y=0
Xột hệ .Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(4;4)
Bài 2: a) Biện luận theo m vị trớ tương đối của (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0
Cho hai đường thẳng (d1): và (d2):
Tỡm điều kiện của m,n,p,q để (d1)và(d2):
 +) cắt nhau
 +) song song
 +) trựng nhau
+) Vuụng gúc với nhau
Giải
xột hệ (I).Ta cú 
TH1:Nếu .Hệ phương trỡnh (I)cú nghiệm duy nhất nờn (d1) cắt (d2) tại A(-m-1;)
TH2:Nếu D=0↔
 Với m=1 ta cú Dx=Dy=0↔ hệ cú vụ số nghiệm↔(d1)trựng(d2)
Với m=-1 ta cú Dx=2↔hệ vụ nghiệm↔(d1)//(d2).
b)xột hệ phương trỡnh 
Ta cú : 
(d1) cắt (d2)
(d1)//(d2) 
(d1) trựng (d2) 
Ta cú (d1)cú vtcp và (d2)cú vtcp là .
Khi đú 
Dạng 3:Một số bài toỏn về gúc và khoảng cỏch
Bài1:Tớnh gúc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) trong cỏc trường hợp sau
x+2y+1=0 và x+4y+3=0
 và x+2y+7=0
 và 
Giải :
Ta cú: (d1) cú vtpt và (d2) cú vtcp là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Ta cú: (d1) cú vtpt và (d2) cú vtpt là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Ta cú: (d1) cú vtcp và (d2) cú vtpt là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Bài 2:Viết phương trỡnh đường thẳng (d) trong cỏc trường hớp sau
(d) đi qua M(1;1) và tạo một gúc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0
(d) đi qua M(1;1) và tạo một gúc 450 với đường thẳng (d2):
Giải:
Gọi là vtcp của (d1) và là vtcp của (d).
Theo giả thiết:gúc giữa (d) và (d1) là 300 nờn ta cú 
Giải phương trỡnh trờn bằng cỏch đặt a=kb ta được 
Với đường thẳng (d) cú vtcp cú tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đú:
 (d):
Tương tự với 
Gọi là vtcp của (d1) và là vtcp của (d).
Theo giả thiết:gúc giữa (d) và (d1) là 450 nờn ta cú 
Với a=0 đường thẳng (d) cú vtcp cú tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đú:
 (d):
Tương tự với b=0
Bài 3:Tớnh khoảng cỏch từ M tới đường thẳng (d) biết 
M(1;1) và đường thẳng (d):x-y-2=0
M(2;1) và đường thẳng (d):
Giải:
Ta cú
ta cú:phương trỡnh tổng quỏt của (d):x-2y+8=0
Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1).Lập phương trỡnh đường thẳng qua P sao cho khoảng cỏch từ Q tới đường thẳng đú bằng 3.
Giải:
Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng thỏa món đề bài .
Điểm P(2;5) thuộc (d) nờn ta cú:2a+5b+c=0
Khoảng cỏch từ Q(5;1) tới (d) bằng 3 nờn :
Từ đú ta cú hệ vậy ta được hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0
Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d1)và (d2) lần lượt tại A và B sao cho PA=PB.Viết phương trỡnh của (d)
Giải
Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Khi đú ta cú :A thuộc (d1) nờn 2xA-yA-2=0
 B thuộc (d2) nờn xB+yB+3=0
PA=PB 
Từ cỏc phương trỡnh ta được 
Vậy phương trỡnh đường thẳng (d):
Bài 6:Cho tam giỏc ABC với A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A.
Giải:
Đường thẳng AB và AC cú phương trỡnh là lượt là:
 4x-3y+2=0 và y-3=0
Cỏc đường phõn giỏc trong và ngoài của gúc A là:
 4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0
Do hai điểm B,C nằm cựng phớa với đường phõn giỏc ngoài và nằm khỏc phớa với đường phõn giỏc trong của gúc A nờn ta chỉ cần xột vị trớ của B,C với một trong hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ B,C vào ta được: 4+8-13=-1<0 và -16+6-13=-23<0 suy ra B,C cựng phớa với đường thẳng :4x+2y-13=0
Vậy đường phõn giỏc trong của gúc A là :4x-8y+17=0
Bài 7:Cho hai đường thẳng :
 (d1):x+2y-3=0
 (d2):3x-y+2=0
Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua P(3;1) và cắt d1;d2 tại A;B sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1) và (d2) một tam giỏc cõn cúc cạnh đỏy là AB.
Hướng dẫn:
Cỏch 1:Viết phương trỡnh hai đường phõn giỏc của (d1)và (d2).Khi đú (d) vuụng gúc với cỏc đường phõn giỏc này
Cỏch 2: Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Dựa vào giả thiết:A thuộc (d1),B thuộc (d2),ba điểm A,B,P thẳng hàng ta tỡm được tọa độ A,B
Dạng 4:Tỡm điểm liờn quan tới đường thẳng 
Lưu ý:- Tỡm hỡnh chiếu H của M trờn đường thẳng (d)
 Ta là theo cỏc bước:-Viết phương trỡnh Mx vuụng gúc với (d)
 - H là giao của Mx và (d)
 - Tỡm điểm N đối xứng với M qua (d)
 Ta làm theo cỏc bước: -Tỡm tọa độ hỡnh chiếu H của M trờn (d)
 - H là trung điểm MN
 - Cho hai điểm A;B và đường thẳng (d).Tỡm trờn (d) điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất:
Ta xột hai trường hợp:
TH1:A,B khỏc phớa thỡ P chớnh là giao điểm của AB và (d)
TH2:Nếu A,B cựng phớa với (d):- Ta tỡm điểm A1 đối xứng với A qua (d).
 - Khi đú:PA+PB=PA1+PB
Bài 1:Cho đường thẳng (d):x+2y+1=0 và điểm M(1;2)
Tỡm tọa độ :
Hỡnh chiếu của M trờn (d)
Điểm N đối xứng với M qua (d).
Giải:
phương trỡnh đường thẳng Mx vuụng gúc với (d):2x-y+c=0
 M(1;2) thuộc Mx nờn :2-2+c=0↔c=0
Suy ra phương trỡnh Mx:2x-y=0.Gọi H là hỡnh chiếu của M trờn (d).khi đú H là giao điểm của Mx và (d) suy ra tọa đọ của H là nghiệm của hệ
 .vậy H(;) 
N đối xứng với M qua (d) suy ra H là trung điểm của MN
Bài 2:Tỡm trờn trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cỏch từ P tới cỏc đểm A(1;2) và B(3;4) la nhỏ nhất.
Giải:
Nhận xột:A.B cựng phớa với 0x.
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua 0x suy ra A1(1;-2)
Phương trỡnh A1B:
Gọi P0 là giao điểm của A1B và 0x suy ra P0(5/3;0)
Ta cú :PA+PB>=A1B
Vậy PA+PB nhỏ nhất khi A1,P,B thẳng hàng↔P trựng P0
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy cho hai điểm A(-1;3) và B(1;1) và đường thẳng (d):y=2x.Tỡm trờn (d)điểm C sao cho:
Tam giỏc ABC là một tam giỏc đều
Tam giỏc ABC là một tam giỏc cõn
Giải
C thuộc (d) nờn ta cú C(x0;2x0)
 Tam giỏc ABC đều (vụ nghiệm)
Vậy khụng tồn tại điểm C thuộc (d) sao cho tam giỏc ABC đều
C thuộc (d) nờn ta cú C(x0;2x0)
Ta cú: Tam giỏc ABC cõn 
Vậy cú 5 điểm thuộc (d) để tam giỏc ABC là một tam giỏc cõn
Bài tập tự làm
1 – Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(2;1), N(5;3), P(3;-4).
a/ Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác.
b/ Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh tam giác.
2: a- Viết phương trình đường thẳng đi qua (3 ; -4) và song song với đường thẳng:
x + 4y – 2 = 0.
 b- Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường thẳng: 3x – 5y + 2 =0 và 5x – 2y + 4 = 0 đồng thời song song với đường thẳng: 2x – y + 4 = 0
3: Lập phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác, biết trung điểm các cạnh là: M(-1 ; -1), N(1 ; 9), P(9 ; 1).
4 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(-4 ; -5) và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y – 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 
5: Tam giác ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao xuất phát từ đỉnh A và B lần lượt có phương trình là: 4x – 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0.
Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba?
6: Xác định a để các đường thẳng sau đồng quy:
 2x – y + 3 = 0 , x + y + 3 = 0 , ax + y – 3 = 0 .
7: Cho điểm P(3 ; 0) và hai đường thẳng: 
 d1: 2x – y – 2 = 0 , d2: x + y + 3 = 0
Gọi d là đường thẳng đi qua P cắt d1, d2 lần lượt tại A;B . Viết phương trình của d biết rằng PA = PB.
8: Cho ABC ,biết trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M1(2;1), M2(5;3), 
M3(3;-4).
1/ Lập phương trình các cạnh của tam giác?
2/ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác?
9: Cho ABC có A(1;3), trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0, CN: y – 1 =0 .Tìm toạ độ các đỉnh của ABC?
10: Trong mặt phẳng Oxy cho I(3;2), đường thẳng d đi qua I, cắt Ox, Oy tại M và N (sao cho I trong M,N ). Xác định đường thẳng d để nhỏ nhất.
11 – Cho hai điểm A(1; 6), B(-3; -4), hãy tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng
 (d): 2x- y- 1= 0 sao cho MA + MB bé nhất.
12 - Cho hai điểm A(4; 1), B(0; 4). Tìm trên đường thẳng (d): 3x – y – 1 = 0 một điểm M sao cho lớn nhất?
13 – Tính diện tích tam giác ABC có A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5).
14 – Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(7; -2) cách điểm N(4;-6) một khoảng bằng 5 ?
15 – Tam giác có diện tích S = 3, hai đỉnh A(3; 1), B(1; -3), trọng tâm tam giác nằm trên trục Ox . Tìm toạ độ đỉnh C ?
16 - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1), tạo với đường thẳng 
 2x + 3y + 4 = 0 một góc .
17 – Lập phương trình các cạnh của một tam giác nếu biệt một đỉnh A(1; 3), và hai trung tuyến lần lượt có phương trình là: x- 2y+ 1= 0, y- 1 =0.
18 – Một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm của một cạnh và phương trình của hai cạnh kia là: x+ 2y- 2= 0; 2x+ 6y+ 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.
19 - Cho ABC , biết A(3; -3), đường phân giác trong BE: x + 2y – 1 =0, 
 CF: x – 3y – 6 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC?
20 - Cho ABC , biết A(7; 9), trung tuyến CM: 3x + y – 15 = 0, phân giác trong BD: x + 7y – 20 = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
21 – Lập phương trình đường thẳng () đi qua M(1;2) cach đều hai điểm A(2; 7), B(5; -5).
22 – Cho điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng (): x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm M() để: 
 a/ nhỏ nhất?
 b/ MA2 + MB2 nhỏ nhất ?
23 – Cho A(2; 1) và đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 =0
a/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ABC vuông cân tại A .
b/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ABC là tam giác đều.
24 – Cho hình vuông ABCD có A-4; 5), một đường chéo nằm trên đường thẳng (d): 7x – y + 8 = 0 . Lập phương trình các cạnh và đường chéo còn lại .
25 – Lập phương trình đường thẳng () đi qua P(2; -1) sao cho nó cùng với đường thẳng (d1): 2x –y +5 =0, (d2): 3x +6y – 1= 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).
26 – Cho đường thẳng (d1): x – y =0, (d2): 2x + y – 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A (d1), C (d2); B,D Ox .
27 – Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(1/2; 0), AB: x -2y +2 = 0, AB = 2 AD. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm .
Chủ đề 3:Đường trũn
A-lý thuyết
1.Cho đường trũn (C) cú phương trỡnh đường trũn (C) là :
2.Cho phương trỡnh :(1). Với điều kiện thỡ (1) là phương trỡnh của ột đường trũn tõm I(a;b) bỏn kớnh R=
3.Để viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn (C) ta xột hai khả năng
Khả năng 1: Biết tiếp điểm.Khi đú tiếp tuyến là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuụnng gúc với đường thẳng nối tõm và tiếp điểm.
Khả năng 2: khụng biết tiếp điểm.Ta thường sử dụng điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xỳc với đường trũn (C) là :Khoảng cỏch từ tõm tới (d) bằng bỏn kớnh.
B-Bài tập:
Dạng 1:lập phương trỡnh đường trũn.
Bài 1:Lập phương trỡnh đương trũn (C) biết:
 (C) cú tõm I(2;-4) và đi qua điểm A(1;3)
(C) cú tõm I(-2;2) và tiếp xỳc với đường thẳng (d):x+2y+1=0
Giải:
Bỏn kớnh của (C) là IA=.Vậy phương trỡnh (C):
 (x-2)2+(y+4)2=50
 c) Do (C) tiếp xỳc với (d) nờn ta cú: bỏn kớnh của (C) bằng khoảng cỏch từ I tới (d).Suy ra:
 R=
Vậy phương trỡnh (C) là: 
Bài 2: lập phương trỡnh đường trũn (C),biết :
(C) đi qua ba điểm A(1;4),B(-4;0),C(-2;-2)
(C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và cú tõm nằm trờn đường thẳng (d): x+y+2=0
Giải:
Giả sử phương trỡnh (C): điều kiện 
Ta cú :Điểm A(1;4) thuộc (C) nờn 1+16-2a-8b+c=0 (1)
 Điểm B(-4;0) thuộc (C) nờn 16+8a+c=0 (2)
 Điểm C(-2;-2) thuộc (C) nờn 4+4+4a+4b+c=0 (3)
Từ (1);(2);(3) ta cú hệ.Giải hệ này ta được a=1/2;b=1/2;c=-20
Vậy phương trỡnh (C):x2+y2-x-y-20=0
Giả sử phương trỡnh (C): điều kiện 
Ta cú : Tõm I(a;b) thuộc (d):x+y+2=0 nờn :a+b+2=0
 A(0;1) thuộc (C) nờn ta cú :1-2b+c=0
 B(1;0) thuộc (C) nờn ta cú:1-2a+c=0
Giải hệ ta được: a=-1;b=-1;c=-3
Vậy phương trỡnh của (C):x2+y2+2x+2y-3=0
Bài 3:Lập phương trỡnh đường trũn (C) biết (C) đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xỳc với hai trục 0x,0y
Giải
Gọi I(a;b) là tõm của (C).Vỡ (C) tiếp xỳc với hai trục tọa độ nờn ta cú : 
TH1:a=b.Khi đú (C) cú dạng :(x-a)2+(y-a)2=a2
A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1-a)2=a2↔vụ nghiệm
TH2:a=-b.Khi đú (C) cú dạng (x-a)2+(y+a)2=a2
A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1+a)2=a2↔a=1 hoặc a=5
Với a=1 phương trỡnh (C): (x-1)2+(y+1)2=1
Với a=5 phương trỡnh (C): (x-5)2+(y+5)2=25
Bài 4:Viết phương trỡnh đường trũn (C) nội tiếp tam giỏc OAB với O:gốc tọa độ,A(4;0),B(0;3)
Giải
Cỏch 1: Nhận xột (C) tiếp xỳc với hai trục 0x và 0y nờn ta cú :Gọi I(a;b) là tõm của (C) thỡ a=b=r.
Mặt khỏc SOAB=p.r=(1/2).OA.OB=6
 p=6 Suy ra r=1
Vậy phương trỡnh (C):(x-1)2+(y-1)2=1
Cỏch 2: Gọi I(a;b) là tõm của (C).
Ta cú I thuộc cỏc đường phõn giỏc trong của gúc AOB và BAO
Phõn giỏc trong của AOB là :x-y=0
Phương trỡnh của AB là
Suy ra phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc BAO là :3x+9y-12=0
Tọa độ của I là nghiệm của hệ tạo bởi hai đường phõn giỏc nờn I(1;1)
Bỏn kớnh r=kc(I,OA)=1.Vậy phương trỡnh (C): (x-1)2+(y-1)2=1
Bài 5: Lập phương trỡnh đường trũn (C) ngoại tiếp tam giỏc ABC cú ba cạnh nằm trờn ba đường thẳng 5y=x;y=x+2,y=8-x
Hướng dẫn:
Tỡm tọa độ ba đỉnh và viết phương trỡnh đường trũn qua 3 điểm
Dạng 2:Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn
Bài 1:Cho đường trũn (C): (x-5)2+(y+5)2=25
Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết:
Tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2).
Tiếp tuyến tại điểm M(5;0)
Giải:
Ta cú (C):Tõm I(5;-5),bỏn kớnh R=5
Phương trỡnh đường thẳng qua điểm M(1;2) cú dạng:
 a(x-1)+b(y-2)=0 (d)
Để (d) là tiếp tuyến của (C)
Giải phương trỡnh trờn bằng cỏch đặt a=kb.Ta cú: 
Ứng với ta cú phương trỡnh tiếp tuyến của (C):
Với ta cú phương trỡnh tiếp tuyến của (C): 
Tiếp tuyến tại điểm M(5;0):Ta cú :tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua M và cú vtpt là nờn phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M(5;0)là:
 0(x-5)+5(y-0)=0↔y=0
Bài 2: Cho đường trũn (C): 
Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) trong cỏc trường hợp sau:
Tiếp tuyến song song với (d):x-y=0
Tiếp tuyến vuụng gúc với (d1):3x-4y=0
Giải:
Ta cú : (C) cú tõm I(1;3) bỏn kớnh R=1;
Tiếp tuyến của (C) song song với (d):x-y=0 nờn tiếp tuyến cú dạng:
 x-y+c=0 ()
Vỡ là tiờp tuyến của (C) 
Vậy ta cú hai tiếp tuyến : và 
Tiếp tuyến của (C) vuụng gúc với (d1):3x-4y=0 nờn tiếp tuyến cú dạng:4x+3y+c=0 (d2)
 Vỡ (d2) là tiếp tuyến của (C) 
Vậy ta cú hai tiếp tuyến : 4x+3y-8=0 và 4x+3y-18=0
Lưu ý :Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn:
 B1:xột tiếp tuyến vuụng gúc với 0x : x=a+R và x=a-R.Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thỏa món điều kiện đầu bài
 B2:Xột tiếp tuyến khụng vuụng gúc với 0x cú dạng: y=kx+m
Để tỡm k và m: Ta giải hệ lập được từ điều kiện tiếp xỳc
Chỳ ý: Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau:cú 4 tiếp tuyến chung
Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài:cú 3 tiếp tuyến chung
Nếu (C1) và (C2) cắt nhau:cú 2 tiếp tuyến chung
Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc trong:cú 1 tiếp tuyến chung
Nếu (C1) và (C2) lồng nhau:khụng cú tiếp tuyến chung
Bài 3: Cho hai đường trũn (C1): và 
 (C2): 
Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn
Giải:
Ta cú : (C1): cú tõm I1(5;-12),bỏn kớnh R1=15
 (C2): cú tõm I2(1;2),bỏn kớnh R2=5
Vỡ :I1I2=<R1+R2=20 nờn ta cú (C1) và (C2) cắt nhau
* Xột tiếp tuyến vuụng gúc với 0x : 
Tiếp tuyến vuụng gúc với 0x của (C1):x=515
Tiếp tuyến vuụng gúc với 0x của (C2):x=15
Vậy (C1) và (C2) khụng cú tiếp tuyến chung vuụng gúc 0x
* Xột tiếp tuyến chung khụng vuụng gúc với 0x:Giả sử phương trỡnh tiếp tuyến chung là :y=kx+m↔kx-y+m=0(d)
- (d) tiếp xỳc với (C1)↔kc(I1,(d))=R1↔(5k+12+m)2=225(1+k2)
- (d) tiếp xỳc với (C2)↔kc(I2,(d))=R2↔(k-2+m)2=25(1+k2)
Giải hệ ta được: 
Vậy ta cú hai tiếp tuyến chung
Chủ đề 4. ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng 
vào bài toán đại số
I. ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm
 GTLN, GTNN
A. Các công thức về độ dài đoạn thẳng kết hợp bất đẳng thức về độ dài véc tơ
1. Cho 3 điểm A, B, C:
	 (Đẳng thức xảy ra khi B nằm giữa A và C)
	 (Đẳng thức xảy ra khi B nằm ngoài khoảng A và C)
2. 	. Đẳng thức xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng.
	. Đẳng thức xảy ra khi hai véc tơ ngược hướng.
 thì: 
B. Một số ví dụ tiêu biểu
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Hướng dẫn: 	
Trong hệ toạ độ Oxy vuông góc lấy : 
áp dụng tính chất ta có :
	 hay 
Vậy Miny = 5 Û cùng hướng => 
Ví dụ 2: CMR: 
Hướng dẫn:
Trong hệ Oxy vuông góc lấy A(a;b) B(c;d)
áp dụng tính chất ta có: 
	hay 
Ví dụ 3: (ĐH, CĐ khối A - 2003)
	Cho x, y, z dương và 
CMR: 
Hướng dẫn: Trong hệ Đề Các Oxy, xét 
Theo tính chất ta có: 
hay (1)
Ta có: 
 	 (2)
Dễ dàng chứng minh được và do 
nên từ (2) suy ra 
Thay vào (1) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi . Khi đó 
Vậy đẳng thức xảy ra khi 
C. Bài tập luyện tập
1) CMR: 
2) CMR: 
	 Gợi ý: và 
3) CMR: 
	 Gợi ý: Vận dụng với 
4) CMR: với .
5) Tìm GTNN: 
	 Gợi ý: Vận dụng với 
6) (ĐH, CĐ khối B - 2006): Cho x, y là số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức
	 Gợi ý: . Ta có 
	 => 
 Khảo sát h/s: suy ra 
 khi và .
II. Sử dụng phương trình đường thẳng, đường tròn giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số
A. Phương pháp chung và các ví dụ tiêu biểu
Phương pháp chung: Sử dụng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và tính chất của đường tròn (hình tròn) trong mặt phẳng toạ độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình. Từ đó dẫn tới kết quả.
1. Xét sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn để giải toán
Ví dụ 1: Tìm a để hệ có nghiệm: 
Giải:
+ Nếu , hệ vô nghiệm
+ Nếu , thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi và đường tròn tâm O(0;0), . Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi (H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng ).
Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
Giải:
Hệ Û 
+ Với hay , hệ vô nghiệm
+ Với hay 
(1) biểu diễn hình tròn tâm trên hệ toạ độ Oxy
(2) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng . Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tiếp xúc đường tròn , khi đó: .
2. Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn để giải toán
Ví dụ 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Hướng dẫn:
Hệ Û 
Rõ ràng (1) và (2) là phương trình đường tròn lần lượt có tâm và 
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 đường tròn tiếp xúc trong hoặc ngoài
 hoặc suy ra 
B. Bài tập luyện tập
1) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 	Đáp số: 
2) Cho hệ 
	Tìm m để hệ nghiệm đúng với .	Đáp số: 
3) Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt: 	Đáp số: 
4) Tìm m để hệ có nghiệm: 	Đáp số: 
5) Tìm m để hệ có nghiệm: 	Đáp số: 
6) Giải và biện luận: 
7) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: 
	 Hướng dẫn: Đặt đưa về hệ: 
8) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: 
 Đáp số: 
9) Tìm b sao cho với mỗi giá trị bất kì của a, hệ có 2 nghiệm phân biệt: 
 Hướng dẫn: (2) luôn đi qua M(-b;0). Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi 
 ((1) có tâm I và bán kính R)
10) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
 Hướng dẫn: Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 đường tròn 
 tiếp xúc ngoài nhau. Kết quả: 
11) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm: 	Đáp số: m = 0
Chủ đề 5: ba đường Cônic
A. Đường elip
1. Tóm tắt lí thuyết
* Định nghĩa: 
* Phương trình chính tắc (E): với 
 Trục lớn: độ dài 2a, trục bé độ dài 2b
 Tiêu điểm: 
 Tâm sai: 
 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: 
 Bán kính qua tiêu của điểm :
 Đường chuẩn 
* Phương trình dạng tham số của (E): với 
2. Các dạng toán tiêu biểu
Loại 1: Phương trình elip, các yếu tố liên quan của elip
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip biết:
a) Trục lớn có độ dài 8, trục nhỏ có độ dài 6
b) Độ dài trục lớn là 26, tâm sai 
c) Đi qua 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 
a) Ta có a = 4, b = 3. Phương trình là 
b) Ta có 	Phương trình elip: 
c) Ta có 	Phương trình elip là: 
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc elip trong các trường hợp sau:
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn 6, và elip đi qua 
b) , ở đây elip qua 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn là 6 hay ta có: 
 (E) qua ta có: => 2 elip: và 
b) 
Loại 2: Các bài toán liên quan tính chất elip
Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THPT - 2004)
Cho phương trình (E): có 2 tiêu điểm . A, B là 2 điểm thuộc (E) sao 
 cho . Tính 
Ví dụ 4: (ĐH, CĐ khối D - 2005)
Cho (E): và . Tìm toạ độ A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox và là tam giác đều.
Hướng dẫn:
Giả sử và giả sử 
Khi đó . Rõ ràng cân tại C nên đều khi và chỉ khi 
 suy ra: 
Mặt khác do nên .
Từ đó suy ra: . 	Vậy 
Ví dụ 5: Cho 2 elip (E1): 
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip trên.
Hướng dẫn: 
Giao điểm của 2 elip có toạ độ thoả mãn 
Giải hệ tìm được . Vậy là phương trình cần tìm
Ví dụ 6. Cho phương trình (E): và cắt (E) tại B, C. Tìm sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất?
Hướng dẫn:
Gọi toạ độ A theo tham số là với 
Diện tích tam giác ABC lớn nhất Û lớn nhất
 Max
3. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho . Viết phương trình chính tắc của elip qua A, B
Bài 2: Cho (E) đi qua và tâm sai 
a) Lập phương trình chính tắc (E)
b) Tìm sao cho 
	 Đáp số: 	a) 
	 b) 
Bài 3: (ĐH, CĐ khối A - 2008)
	Lập phương trình chính tắc (E) biết rằng (E) có tâm sai là và hình chữ nhật cơ sở 
 có chu vi bằng 20?
	 Đáp số: 
Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm di động với . Xét quỹ tích M thoả mãn: .
	 Đáp số: Quỹ tích M là 
Bài 5: Lập phương trình chính tắc (E) có độ dài trục lớn bằng và 2 đỉnh trên trục nhỏ cùng với 2 tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn?
	 Đáp số: 
Bài 6: Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông?
b) Khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng 2 lần tiêu cự?
	 Đáp số: a) 
Bài 7: (CĐ Tài chính kế toán - 2006)
Trong Oxy vuông góc cho (E): và các tiêu điểm F1, F2 (F1 có hoành độ âm). Tìm sao cho 
	 Đáp số: hoặc 
Bài 8: Cho (E): và 
a) CMR: (d) cắt (E) tại A, B trong đó . Tìm độ dài AB
b) Tìm sao cho tam giác ABC cân tại A
	 Đáp số: a) A(5;0) 
	 b) 
Bài 9: Phương trình chính tắc (E) đi qua A(0;3) và có 2 tiêu điểm F1(-4;0) . Tìm sao cho MF2 = 2MF1.
	 Đáp số: Có 2 điểm 
Bài 10: (E) có phương trình: và M(1;1)
	Viết phương trình (d) qua M và cắt (E) tại A, B phân biệt sao cho M là trung điểm của AB?
	 Đáp số: (d)	
Bài 11: Cho (E): và C(2;0)
	Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua Ox và tam giác CAB vuông?
Bài 12: Cho (E): 	
	CMR: Khi M chạy trên (E) thì tâm đường tròn nội tiếp chạy trên một elip.
	 Đáp số: Tâm thuộc 
Bài 13: Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn và. Tìm Ot chuyển động quanh O cắt và tương tứng tại P và Q. Đường (d) qua P song song Oy cắt đường thẳng (d') qua Q song song Ox tại M. CMR: M nằm trên (E). Viết phương trình (E)?
	 Đáp số: 
B. Đường Hypebol
1. Lý thuyết cơ bản
* Định nghĩa: 
* Phương trình chính tắc (E): với 
 Trục thực: độ dài 2a, trục ảo độ dài 2b
 Tiêu điểm 
 Tâm sai 
 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: 
 Phương trình hai đường tiệm cận ;
 Đường chuẩn 
 Bán kính qua tiêu của điểm :
2. Các dạng toán tiêu biểu
Loại 1: Phương trình (H), các yếu tố liên quan
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc (H) thoả mãn một trong các trường hợp sau:
a) Có độ dài tiêu cự là 10, một đường tiệm cận có phương trình 3x - 4y = 0
b) Đi qua và 
Hướng dẫn:
a) Ta có: 	Từ đó: 
b) Tam giác F