Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 1 
 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG 
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x y1 : 7 17 0- + = , 
d x y2 : 5 0+ - = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d1 2, một tam 
giác cân tại giao điểm của d d1 2, . 
 · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: 
x y x y x y ( )
x y ( )
1
2 2 2 2 2
7 17 5 3 13 0
3 4 01 ( 7) 1 1
D
D
- + + - é + - =
= Û ê - - =ë+ - +
 Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1D hoặc 2D . 
 KL: x y3 3 0+ - = và x y3 1 0- + = 
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y1 : 2 5 0- + = . 
d x y2 : 3 6 – 7 0+ = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng 
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường 
thẳng d1, d2. 
 · d1 VTCP a1 (2; 1)= -
r ; d2 VTCP a2 (3;6)=
r 
 Ta có: a a1 2. 2.3 1.6 0= - =
uur uur
 nên d d1 2^ và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường 
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x B y Ax By A B: ( 2) ( 1) 0 2 0- + + = Û + - + = 
 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 
A B A BA AB B
B AA B
0 2 2
2 2 2 2
2 3cos45 3 8 3 0
32 ( 1)
- é =Û = Û - - = Û ê = -ë+ + -
 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y: 3 5 0+ - = 
 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x y: 3 5 0- - = 
 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d x y: 3 5 0+ - = ; d x y: 3 5 0- - = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = , P(0;1) . ĐS: x y3 3 0+ - = ; x y3 1 0- + = . 
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 5 0+ + = , d x y2 : 3 1 0+ + = và điểm 
I(1; 2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho 
AB 2 2= . 
 · Giả sử A a a d B b b d1 2( ; 3 5) ; ( ; 3 1)- - Î - - Î ; IA a a IB b b( 1; 3 3); ( 1; 3 1)= - - - = - - +
uur uur
 I, A, B thẳng hàng b k aIB kIA
b k a
1 ( 1)
3 1 ( 3 3)
ì - = -Þ = Û í- + = - -î
uur uur
 · Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả). 
 · Nếu a 1¹ thì bb a a b
a
13 1 ( 3 3) 3 2
1
-
- + = - - Û = -
-
 AB b a a b t t
22 2 2( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8é ù= - + - + = Û + + =ë û (với t a b= - ). 
 t t t t2 25 12 4 0 2;
5
Û + + = Û = - = - 
 + Với t a b b a2 2 0, 2= - Þ - = - Þ = = - x y: 1 0Þ D + + = 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 + Với t a b b a2 2 4 2,
5 5 5 5
- -
= Þ - = Þ = = x y: 7 9 0Þ D - - = 
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 1 0+ + = , 
d x y2 : 2 – –1 0= . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương 
ứng tại A và B sao cho MA MB2 0+ =
uuur uuur r
. 
 · Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1). 
 Từ điều kiện MA MB2 0+ =
uuur uuur r
 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) 
đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 1 0, : –2 2 0+ + = + = lần lượt tại A, B sao cho 
MB = 3MA. 
 · A d A a a MA a a
B d B b b MB b b
1
2
( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 )
( ) (2 2; ) (2 3; )
ìì Î ïì - - = - - -Û Þí í íÎ - = -î ïî î
uuur
uuur . 
 Từ A, B, M thẳng hàng và MB MA3= Þ MB MA3=
uuur uuur
 (1) hoặc MB MA3= -
uuur uuur
 (2) 
 (1) Þ A d x y
B
2 1; ( ) : 5 1 03 3
( 4; 1)
ì æ ö
- -ï ç ÷ Þ - - =í è ø
ï - -î
 hoặc (2) Þ ( )A d x y
B
0; 1 ( ) : 1 0
(4;3)
ì - Þ - - =í
î
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) 
đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 3 5 0, : 4 0- - = + - = lần lượt tại A, B sao cho 
MA MB2 –3 0= . 
 · Giả sử A a a d1( ;3 5)- Î , B b b d2( ;4 )- Î . 
 Vì A, B, M thẳng hàng và MA MB2 3= nên MA MB
MA MB
2 3 (1)
2 3 (2)
é =
ê
= -ë
uuur uuur
uuur uuur 
 + a b a A B
a b b
5 5 52( 1) 3( 1)(1) ; , (2;2)22(3 6) 3(3 ) 2 22
ì æ öïì - = - =Û Û Þí í ç ÷- = -î è øï =î
. Suy ra d x y: 0- = . 
 + a b a A B
a b b
2( 1) 3( 1) 1(2) (1; 2), (1;3)
2(3 6) 3(3 ) 1
ì ì- = - - =Û Û Þ -í í- = - - =î î
. Suy ra d x: 1 0- = . 
 Vậy có d x y: 0- = hoặc d x: 1 0- = . 
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi 
qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA OB( 3 )+ nhỏ nhất. 
 · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y
a b
1+ = (a,b>0) 
 M(3; 1) Î d 
Cô si
ab
a b a b
3 1 3 11 2 . 12
-
= + ³ Þ ³ . 
 Mà OA OB a b ab3 3 2 3 12+ = + ³ = 
a b aOA OB
b
a b
min
3 6( 3 ) 12 3 1 1 2
2
ì =ï ì =Þ + = Û Ûí í == = îïî
 Phương trình đường thẳng d là: x y x y1 3 6 0
6 2
+ = Û + - = 
VI
ET
M
TH
S.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 3 
 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) 
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất. 
 · x y2 6 0+ - = 
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) 
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho 
OA OB2 2
9 4
+ nhỏ nhất. 
 · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên 
A a B b( ;0); (0; ) với a b. 0¹ Þ Phương trình của (d) có dạng x y
a b
1+ = . 
 Vì (d) qua M nên 
a b
1 2 1+ = . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : 
a b a b a b
2 2
2 2
1 2 1 3 2 1 9 41 . 1. 1
3 9
æ ö æ ö æ öæ ö
= + = + £ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è ø è øè ø
 Û 
a b2 2
9 4 9
10
+ ³ Û 
OA OB2 2
9 4 9
10
+ ³ . 
 Dấu bằng xảy ra khi 
a b
1 3 2: 1:
3
= và 
a b
1 2 1+ = Û a b 2010,
9
= = Þ d x y: 2 9 20 0+ - = . 
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) 
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). 
 · x y x y3 6 0; 2 0+ - = - - = 
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo 
với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4= . 
 · Gọi A a B b a b( ;0), (0; ) ( , 0)¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x yd
a b
: 1+ = . 
 Theo giả thiết, ta có: a b
ab
2 1 1
8
ì
+ =ï
í
ï =î
 Û b a ab
ab
2
8
ì + =
í =î
. 
 · Khi ab 8= thì b a2 8+ = . Nên: b a d x y12; 4 : 2 4 0= = Þ + - = . 
 · Khi ab 8= - thì b a2 8+ = - . Ta có: b b b2 4 4 0 2 2 2+ - = Û = - ± . 
 + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - + Þ - + + - = 
 + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - - Þ + + - + = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) M S(8;6), 12= . ĐS: d x y: 3 2 12 0- - = ; d x y: 3 8 24 0- + = 
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 
x y2 – 3 0+ = . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 
1
10
= . 
 · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ + = Û ax by a b–2 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ 
 Ta có: a b
a b2 2
2 1cos
105( )
a -= =
+
Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. 
 Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x y: 2 3 4 0+ + = . 
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 045 . 
 · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ - = Û ax by a b–(2 ) 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ . 
 Ta có: a b
a b
0
2 2
2 3cos45
13.
+
=
+
 Û a ab b2 25 24 5 0- - = Û a b
a b
5
5
é =
ê = -ë
 + Với a b5= . Chọn a b5, 1= = Þ Phương trình x y: 5 11 0D + - = . 
 + Với a b5 = - . Chọn a b1, 5= = - Þ Phương trình x y: 5 3 0D - + = . 
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 2 0- - = và điểm I(1;1) . 
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng 
d một góc bằng 045 . 
 · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c 0+ + = a b2 2( 0)+ ¹ . 
 Vì ·d 0( , ) 45D = nên 
a b
a b2 2
2 1
2. 5
-
=
+
 a b
b a
3
3
é =Û ê = -ë
 · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I( ; ) 10D =
c4
10
10
+
Û = c
c
6
14
é =Û ê = -ë
 · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I( ; ) 10D =
c2
10
10
- +
Û = c
c
8
12
é = -Û ê =ë
 Vậy các đường thẳng cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . 
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có 
phương trình lần lượt là x y3 2 0+ + = và x y3 4 0- + = . Gọi A là giao điểm của d1và d2 . 
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B , C 
( B vàC khác A ) sao cho 
AB AC2 2
1 1
+ đạt giá trị nhỏ nhất. 
 · A d d A1 2 ( 1;1)= Ç Þ - . Ta có d d1 2^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu 
vuông góc của A trên D . ta có: 
AB AC AH AM2 2 2 2
1 1 1 1
+ = ³ (không đổi) 
 Þ
AB AC2 2
1 1
+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
AM2
1 khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M 
và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x y 2 0+ - = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với M(1; 2)- , d x y1 : 3 5 0+ + = , d x y2 : 3 5 0- + = . ĐS: x y: 1 0D + + = . 
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ) : –3 – 4 0= và đường 
tròn C x y y2 2( ) : – 4 0+ = . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm 
A(3; 1). 
 · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) 
 N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b b 60;
5
= = 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 5 
 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M N38 6 8 4; , ;
5 5 5 5
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: x y2 3 4 0+ + = . Tìm 
điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 045 . 
 · D có PTTS: x t
y t
1 3
2 2
ì = -
í = - +î
 và VTCP u ( 3;2)= -r . Giả sử B t t(1 3 ; 2 2 ) D- - + Î . 
 AB 0( , ) 45D = Þ AB u 1cos( ; )
2
=
uuur r
 AB u
AB u
. 1
. 2
Û =
uuur r
r 
t
t t
t
2
15
13169 156 45 0
3
13
é
=ê
Û - - = Û ê
ê = -
ë
 . 
Vậy các điểm cần tìm là: B B1 2
32 4 22 32; , ;
13 13 13 13
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 3 6 0- - = và điểm N(3;4) . 
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích 
bằng 15
2
. 
 · Ta có ON (3;4)=
uuur
, ON = 5, PT đường thẳng ON: x y4 3 0- = . Giả sử M m m d(3 6; )+ Î . 
 Khi đó ta có ONMONM
S
S d M ON ON d M ON
ON
21 ( , ). ( , ) 3
2
D
D = Û = = 
 Û m m m m m4.(3 6) 3 133 9 24 15 1;
5 3
+ - -
= Û + = Û = - = 
 + Với m M1 (3; 1)= - Þ - + Với m M13 137;
3 3
æ ö- -
= Þ -ç ÷
è ø
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x y: 2 2 0- + = . Tìm 
trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . 
 · Giả sử B b b C c c d(2 2; ), (2 2; )- - Î . 
 Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û dAB u. 0=
uuur r Û B 2 6;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
 Þ AB 2 5
5
= Þ BC 5
5
= 
 BC c c21 125 300 180
5
= - + = 5
5
 Û 
c C
c C
1 (0;1)
7 4 7;
5 5 5
é = Þ
ê æ ö
ê = Þ ç ÷
è øë
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 0+ - = , d x y2 : 9 0+ - = và 
điểm A(1;4) . Tìm điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
 · Gọi B b b d C c c d1 2( ;3 ) , ( ;9 )- Î - Î Þ AB b b( 1; 1 )= - - -
uuur
, AC c c( 1;5 )= - -
uuur
. 
 DABC vuông cân tại A Û AB AC
AB AC
. 0ì =í =î
uuur uuur
 Û b c b c
b b c c2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0
( 1) ( 1) ( 1) (5 )
ì - - - + - =
í - + + = - + -î
 (*) 
 Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
 (*) Û 
b cb
c
cb b c c
c
2
2 2 2 2
2
( 1)(5 )1 (1)
1
(5 )( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2)
( 1)
ì + -
- =ï -ï
í -ï + + + = - + -
ï -î
 Từ (2) Û b c2 2( 1) ( 1)+ = - Û b c
b c
2é = -
ê = -ë
. 
 + Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c b4, 2= = Þ B C(2;1), (4;5) . 
 + Với b c= - , thay vào (1) ta được c b2, 2= = - Þ B C( 2;5), (2;7)- . 
 Vậy: B C(2;1), (4;5) hoặc B C( 2;5), (2;7)- . 
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có 
phương trình: d m x m y m1 : ( –1) ( –2) 2 – 0+ + = ; d m x m y m2 : (2 – ) ( –1) 3 – 5 0+ + = . Chứng 
minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất. 
 · Xét Hệ PT: m x m y m
m x m y m
( 1) ( 2) 2
(2 ) ( 1) 3 5
ì - + - = -
í - + - = - +î
. 
 Ta có m mD m m
m m
2
3 11 2 2 0,
2 1 2 2
æ ö- -= = - + > "ç ÷- - è ø
 Þ d d1 2, luôn cắt nhau. Ta có: A d B d d d1 2 1 2(0;1) , (2; 1) ,Î - Î ^ Þ D APB vuông tại P Þ P 
nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: PA PB PA PB AB2 2 2 2( ) 2( ) 2 16+ £ + = = 
 Þ PA PB 4+ £ . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »AB 
 Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= . Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc 
m 2= . 
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x y–2 –2 0= và hai điểm A( 1;2)- , 
B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA MB2 22 + có giá trị nhỏ nhất. 
 · Giả sử M M t t AM t t BM t t(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)D+ Î Þ = + - = - -
uuur uuur
 Ta có: AM BM t t f t2 2 22 15 4 43 ( )+ = + + = Þ f t f 2min ( )
15
æ ö
= -ç ÷
è ø
 Þ M 26 2;
15 15
æ ö
-ç ÷
è ø
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 3 0- + = và 2 điểm A B(1;0), (2;1) . 
Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất. 
 · Ta có: A A B Bx y x y(2 3).(2 3) 30 0- + - + = > Þ A, B nằm cùng phía đối với d. 
 Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x y: 5 7 0¢ + - = . 
 Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B¢ ¢+ = + ³ . 
 Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. 
 Khi đó: M 8 17;
11 11
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 7 
 TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN 
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 
x y2 – – 5 0= và đường tròn (C’): x y x2 2 20 50 0+ - + = . Hãy viết phương trình đường tròn 
(C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). 
 · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x y x y2 2 4 8 10 0+ - - + = 
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
, A(2; –3), 
B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d x y: 3 – –8 0= . Viết phương trình 
đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. 
 · Tìm được C (1; 1)1 - , C2( 2; 10)- - . 
 + Với C1(1; 1)- Þ (C): 
2 2x y x y11 11 16 0 
3 3 3
+ - + + = 
 + Với C2( 2; 10)- - Þ (C): 
2 2x y x y91 91 416 0 
3 3 3
+ - + + = 
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 3 0+ - = , 
d x y2 : 3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và 
tiếp xúc với d2 và d3. 
 · Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1. 
 Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û 
t t t t3 4(3 2 ) 5
5
4 3(3 2 ) 2
5
+ - +
=
+ - +
 Û tt
2
4
é
êë
=
=
 Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49
25
( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9( 4) ( 5)
25
- + + = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với d x y1 : –6 –10 0= , d x y2 : 3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 5 0- - = . 
 ĐS: x y2 2( 10) 49- + = hoặc x y
2 2 2
10 70 7
43 43 43
æ ö æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
. 
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x y3 8 0+ + = , 
x y' :3 4 10 0D - + = và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường 
thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. 
 · Giả sử tâm I t t( 3 8; )- - Î D.. Ta có: d I IA( , )D¢ = 
 Û 
t t
t t2 2
2 2
3( 3 8) 4 10
( 3 8 2) ( 1)
3 4
- - - +
= - - + + -
+
 Û t 3= - Þ I R(1; 3), 5- = 
 PT đường tròn cần tìm: x y2 2( 1) ( 3) 25- + + = . 
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0D - + = và 
x y' : 3 4 31 0D - - = . Lập phương trình đường tròn C( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm 
có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.D Tìm tọa độ tiếp điểm của C( ) và 'D . 
 · Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn (C). C( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C( ) tiếp 
xúc với D¢ nên 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 
aa b a bd I d I a a
IM u a b a b
54 34 3 3 3 4 31( , ) ( , ') 4 3 3 6 85
45 5(3;4) 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54D
D D ìì -- + - -ì = ï ï - + = -=Û Ûí í í^ =î ï ï- + - = + =î î
uuur r 
a a a b
a a bb
25 150 4 6 85 10; 654 3 190; 156
4
ì - = -ï é = =Û Û-í ê = - == ëïî
 Vậy: C x y2 2( ) : ( 10) ( 6) 25- + - = tiếp xúc với 'D tại N(13;2) 
 hoặc C x y2 2( ) : ( 190) ( 156) 60025+ + - = tiếp xúc với 'D tại N( 43; 40)- - 
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp 
xúc với các trục toạ độ. 
 · Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a
x a y a a b
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
é - + + =
ê
- + - =êë
 a) Þ a a1; 5= = b) Þ vô nghiệm. 
 Kết luận: x y2 2( 1) ( 1) 1- + + = và x y2 2( 5) ( 5) 25- + + = . 
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ) : 2 4 0- - = . Lập phương 
trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). 
 · Gọi I m m d( ;2 4) ( )- Î là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m 42 4 4,
3
= - Û = = . 
 · m 4
3
= thì phương trình đường tròn là: x y
2 2
4 4 16
3 3 9
æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
 · m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2( 4) ( 4) 16- + - = . 
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): 
x y3 – 4 8 0+ = . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). 
 · Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB 
 d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)=
uuur
Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) 
 Ta có IA = d(I,D) a a a211 8 5 5 10 10Û - = - + Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û 
a
a
3
31
2
é =
ê
=ê
ë
 · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 
 · Với a = 31
2
 Þ I 31; 27
2
æ ö
-ç ÷
è ø
, R = 65
2
 Þ (C): x y
2
231 4225( 27)
2 4
æ ö
- + + =ç ÷
è ø
Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và x y: 3 5 0D + - = . Lập 
phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10
5
 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . 
 · Tâm I Î d Þ I a a( 2 3; )- + . (C) tiếp xúc với D nên: 
 d I R( , )D =
a 2 2 10
510
-
Û = a
a
6
2
é =Û ê = -ë
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 9 
 Þ (C): x y2 2 8( 9) ( 6)
5
+ + - = hoặc (C): x y2 2 8( 7) ( 2)
5
- + + = . 
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 4 3 4 0+ + - = . Tia Oy 
cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại 
A. 
 · (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). 
 PT đường thẳng IA : x t
y t
2 3
2 2
ì =í = +î
, I IA'Î Þ I t t(2 3 ;2 2)¢ + . 
 AI I A t I12 '( 3;3)
2
¢= Û = Þ
uur uur
 Þ (C¢): x y2 2( 3) ( 3) 4- + - = 
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y2 2 – 4 –5 0+ = . Hãy viết 
phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2;
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
 · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M 
 Þ I¢ 8 6;
5 5
æ ö-
ç ÷
è ø
 Þ (C¢): x y
2 2
8 6 9
5 5
æ ö æ ö
- + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 4 2 0+ - + + = . Viết 
phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho 
AB 3= . 
 · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3= . PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0- - = . AB 3= . 
 Gọi H x y( ; ) là trung điểm của AB. Ta có: 
H IM
IH R AH2 2 3
2
ì Îï
í = - =ïî
 Û 
x y
x y2 2
3 4 11 0
9( 1) ( 2)
4
ì - - =ï
í - + + =ïî
 Û 
x y
x y
1 29;
5 10
11 11;
5 10
é
= - = -ê
ê
ê = = -
ë
 Þ H 1 29;
5 10
æ ö
- -ç ÷
è ø
 hoặc H 11 11;
5 10
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 · Với H 1 29;
5 10
æ ö
- -ç ÷
è ø
. Ta có R MH AH2 2 2 43¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2( 5) ( 1) 43- + - = . 
 · Với H 11 11;
5 10
æ ö
-ç ÷
è ø
. Ta có R MH AH2 2 2 13¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2( 5) ( 1) 13- + - = . 
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 4- + - = và điểm 
K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao 
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). 
 · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2= . IABSD lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2= . 
 Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT. 
 + T1( ) có bán kính R R1 2= = Þ T x y
2 2
1( ) : ( 3) ( 4) 4- + - = 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 10 
 + T2( ) có bán kính R
2 2
2 (3 2) ( 2) 2 5= + = Þ T x y
2 2
1( ) : ( 3) ( 4) 20- + - = . 
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
với các đỉnh: A(–2;3), B C1 ;0 , (2;0)
4
æ ö
ç ÷
è ø
. 
 · Điểm D(d;0) d1 2
4
æ ö
< <ç ÷
è ø
thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A 
 khi và chỉ khi 
( )
( )
dDB AB d d d
DC AC d
2
2
22
91 3
44 4 1 6 3 1.
2 4 3
æ ö
+ -ç ÷- è ø= Û = Þ - = - Þ =
-
+ -
 Phương trình AD: x y x y2 3 1 0
3 3
+ -
= Û + - =
-
; AC: x y x y2 3 3 4 6 0
4 3
+ -
= Û + - =
-
 Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b1- và bán kính 
cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: 
( )b b
b b b
2 2
3 1 4 6
3 5
3 4
- + -
= Û - =
+
 Þ 
b b b
b b b
43 5
3
13 5
2
é
- = Þ = -ê
ê
ê - = - Þ =
ë
 Rõ ràng chỉ có giá trị b 1
2
= là hợp lý. 
 Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y
2 2
1 1 1
2 2 4
æ ö æ ö
- + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x y4 3 12 0- - = và (d2): 
x y4 3 12 0+ - = . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên 
(d1), (d2) và trục Oy. 
 · Gọi A d d B d Oy C d Oy1 2 1 2, ,= Ç = Ç = Ç Þ A B C(3;0), (0; 4), (0;4)- Þ DABC cân đỉnh A 
và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC 
 Þ I R4 4;0 ,
3 3
æ ö
=ç ÷
è ø
. 
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có 
phương trình: (C1): x y2 2( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2( 5) ( 4) 32+ + - = . Viết phương trình 
đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). 
 · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I a a d( ; –1)Î . 
 (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II R R II R R II R II R1 1 2 2 1 1 2 2, – –= + = + Þ = 
 Û a a a a2 2 2 2( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 
 Þ Phương trình (C): x y2 2( 1) 2+ + = . 
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), 
M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 
DABC. 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 11 
 · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. 
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x y x2 2: 2 0+ + = . Viết phương trình tiếp 
tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . 
 · C x y I R2 2( ) : ( 1) 1 ( 1;0); 1+ + = Þ - = . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là 3± . 
 Þ PT (D) có dạng x y b1 : 3 0D - + = hoặc x y b2 : 3 0D + + = 
 + x y b1 : 3 0D - + = tiếp xúc (C) d I R1( , )DÛ = 
b b3 1 2 3
2
-
Û = Û = ± + . 
 Kết luận: x y1( ) : 3 2 3 0D - ± + = 
 + x y b2( ) : 3 0D + + = tiếp xúc (C) d I R2( , )DÛ =
b b3 1 2 3
2
-
Û = Û = ± + . 
 Kết luận: x y2( ) : 3 2 3 0D + ± + = . 
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 6 2 5 0+ - - + = và 
đường thẳng (d): x y3 3 0+ - = . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp 
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 045 . 
 · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (D): ax by c c0 ( 0)+ + = ¹ . 
 Từ: 
d I
d
( , ) 5
2cos( , )
2
D
D
ì =ï
í
=ïî
 Þ a b c
a b c
2, 1, 10
1, 2, 10
é = = - = -
ê = = = -ë
 Þ x y
x y
: 2 10 0
: 2 10 0
D
D
é - - =
ê + - =ë
. 
Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C x y2 2( ) : ( 1) ( 1) 10- + - = và đường thẳng 
d x y: 2 2 0- - = . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C( ) , biết tiếp tuyến tạo với 
đường thẳng d một góc 045 . 
 · (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10= . Gọi n a b( ; )=r là VTPT của tiếp tuyến D a b2 2( 0)+ ¹ , 
 Vì ·d 0( , ) 45D = nên 
a b
a b2 2
2 1
2. 5
-
=
+
 a b
b a
3
3
é =Û ê = -ë
 · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I R( ; )D =
c4
10
10
+
Û = c
c
6
14
é =Û ê = -ë
 · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I R( ; )D =
c2
10
10
- +
Û = c
c
8
12
é = -Û ê =ë
 Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . 
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 
(C1): x y x y2 2 – 2 –2 –2 0+ = , (C2): x y x y2 2 –8 – 2 16 0+ + = . 
 · (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1) , bán kính R2 = 1. 
 Ta có: I I R R1 2 1 23= = + Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) 
 Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. 
 * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: y ax b ax y b( ) : ( ) : 0D D= + Û - + = ta có: 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 
Trang 12 
a b
a ad I R a b hay
d I R a b
b b
a b
2 2
1 1
2 2
2 2
1
2 22
( ; ) 4 4
( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2
1
4 4
D
D
ì + - ì ì=ï = = -ï ïì = ï ï ï+Û Ûí í í í= + - - +î ï ï ï= ==ï ï ïî î+î
 Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: x y x y x1 2 3
2 4 7 2 2 4 7 2( ) : 3, ( ) : , ( )
4 4 4 4
D D D
+ -
= = - + = + 
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x y2 2( 2) ( 3) 2- + - = và 
(C’): x y2 2( 1) ( 2) 8- + - = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’). 
 · (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2= ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R ' 2 2= . 
 Ta có: II R R' 2 ¢= = - Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4). 
 Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua 
điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)¢ = - -
uur
 Þ PTTT: x y 7 0+ - = 
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 21( ) : 2 3 0+ - - = và 
C x y x y2 22( ) : 8 8 28 0+ - - + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) . 
 · C1( ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 2= ; C2( ) có tâm I2(4;4) , bán kính R2 2= . 
 Ta có: I I R R1 2 1 25 4= > = + Þ C C1 2( ),( ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp: 
 + Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ = . 
 Khi đó: d I d d I d c c1 2( , ) ( , ) 4= Û = + Û c 2= - Þ d x: 2 0- = . 
 + Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d y ax b: = + . 
 Khi đó: d I d
d I d d I d
1
1 2
( , ) 2
( , ) ( , )
ì =
í =î
 Û 
b
a
b a b
a a
2
2 2
1 2
1
1 4 4
1 1
ì - +
=ï
ï +í - + - +ï =
ï + +î
 Û 
a b
a b
a b
3 7;
4 2
3 3;
4 2
7 37;
24 12
é
= =ê
ê
ê = = -
ê
ê = - =êë
 Þ d x y: 3 4 14 0- + = hoặc d x y: 3 4 6 0- - = hoặc d x y: 7 24 74 0+ - = . 
 Vậy: d x: 2 0- = ; d x y: 3 4 14 0- + = ; d x y: 3 4 6 0- - = ; d x y: 7 24 74 0+ - = . 
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 21( ) : 4 5 0+ - - = và 
C x y x y2 22( ) : 6 8 16 0+ - + + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) . 
 · C1( ) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 3= ; C2( ) có tâm I2(3; 4)- , bán kính R2 3= . 
 Giả sử tiếp tuyến chung D của C C1 2( ), ( ) có phương trình: ax by c a b
2 20 ( 0)+ + = + ¹ . 
 D là tiếp tuyến chung của C C1 2( ), ( ) Û 
d I R
d I R
1 1
2 2
( , )
( , )
D
D
ì =
í =î
 Û b c a b
a b c a b
2 2
2 2
2 3 (1)
3 4 3 (2)
ìï + = +
í
- + = +ïî
 Từ (1) và (2) suy ra a b2= hoặc a bc 3 2
2
- +
= . 
 + TH1: Với a b2= . Chọn b 1= Þ a c2, 2 3 5= = - ± Þ x y: 2 2 3 5 0D + - ± = 
VI
ET
M
AT
HS
.N
ET
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 13 
 + TH2: Với a bc 3 2
2
- +
= . Thay vào (1) ta được: 
a
a b a b
a b
2 2
0
2 2 4
3
é =
ê- = + Û
= -ê
ë
. 
 Þ y: 2 0D + = hoặc x y: 4 3 9 0D - - = . 
Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 4 3 4 0+ + - = . Tia Oy cắt (C) tại điểm 
A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại 
A. 
 · (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R 4= . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) . Gọi J là tâm của (T). 
 Phương trình IA: x t
y t
2 3
2 2
ì =í = +î
. Giả sử J t t IA(2 3 ;2 2) ( )+ Î . 
 (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI JA t J12 ( 3;3)
2
= Þ = Þ
uur uur
. 
 Vậy: T x y2 2( ) : ( 3) ( 3) 4- + - = . 
Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 1+ = và phương trình: 
x y m x my2 2 – 2( 1) 4 – 5 0+ + + = (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của 
đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). 
 · (Cm) có tâm I m m( 1; 2 )+ - , bán kính R m m2 2' ( 1) 4 5= + + + , 
 (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI m m2 2( 1) 4= + + , ta có OI < R¢ 
 Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m m
31;
5
= - = . 
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x y2 21
1( ) : ( 1)
2
- + = và 
C x y2 22( ) : ( 2) ( 2) 4- + - = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với C1( ) và cắt C2( ) 
tại hai điểm M N, sao cho MN 2 2= . 
 · C1( ) có tâm I1(1;0) , bán kính R1
1
2
= ; C2( ) có tâm I1(2;2) , bán kính R2 2= . Gọi H là 
trung điểm của MN Þ MNd I d I H R
2
2
2 2 2( , ) 22
æ ö
= = - =ç ÷
è ø
 Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c a b2 20 ( 0)+ + = + ¹ . 
 Ta có: 
d I d
d I d
1
2
1( , )
2
( , ) 2
ì
=ï
í
ï =î
 Û a c a b
a b c a b
2 2
2 2
2
2 2 2
ìï + = +
í
+ + = +ïî
. Giải hệ tìm được a, b, c. 
 Vậy: d x y d x y: 2 0; : 7 6 0+ - = + - = ; d