Chuyên đề Phƣơng trình vô tỉ đưa về dạng tích kĩ năng tìm biểu thức liên hợp hoặc nhân tử của phương trình vô tỉ

 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
1 
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƢA VỀ DẠNG TÍCH 
KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ 
CỦA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 
BẢN CHÍNH THỨC 
Lƣu ý trƣớc khi sử dụng tài liệu 
+Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phƣơng trình không dùng Casio .Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy 
tính Casio có hƣớng dẫn sơ lƣợc, chuyên đề 4 và 5 là lí thuyết hƣớng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức 
liên hợp hoặc tìm nhân tử cần xuất hiện trong phƣơng trình của chuyên đề 2 và 3. Trong đó có chuyên đề phụ một cách 
tạo ra một phƣơng trình tích từ các biểu thức phù hợp 
+Do có nhiều phƣơng trình mới lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ôn tập cho các kì thi 
+Các PT trong bài viết có nghiệm là nghiệm của PT bậc 3,bậc 4 nên nó phức tạp hơn các dạng PT khác 
+Các phƣơng trình chƣa đƣợc sắp xếp thành hệ thống hợp lí và có thể có sai sót 
+Tài liệu cung cấp một số ý tƣởng để tạo ra các phƣơng trình vô tỷ đƣa về dạng tích 
Chuyên đề 1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ 
Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm được. Dù vất vả trong việc nhẩm và tính 
toán nhưng giúp chúng ta tiến bộ khi học môn Toán. 
A.Các Phƣơng trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio 
 Một số ví dụ ngoài cách nhân liên hợp có thể làm theo hướng đưa về tích hoặc tìm tổng và hiệu các căn 
rồi tìm từng căn theo x. 
Thí dụ 1 Giải phƣơng trình 
322122126 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0  
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 126 22  xxcbxax 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
2 
Do 3;1;0  là nghiệm PT nên ta có hệ 








739
3
1
caa
cba
c









1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
012221261 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Nâng cấp: Giải phƣơng trình 
23
32
122
1
126
1
)
2 




 xx
x
xxxxxx
a 
23
75
122
3
126
2
)
2 




 xx
x
xxxxxx
b 
PTcó 2 nghiệm
;0x 1x (lƣu ý coi 3 xt là nghiệm ngoại lai)
25
286
126)
2
2334
2



xx
xxxxx
xxc
Hƣớng dẫn. 
0)1261)(126126( 2222  xxxxxxxxpt
PTcó 4 nghiệm
 3
1
;3;1;0

 xxxx 
    9122126) 322322  xxxxxxxxd
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
    1332122126) 23322322  xxxxxxxxxxe
 PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
2
12
122
1
2
22
)
2
2
2






xx
xx
x
xx
x
f
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
3 
Hƣớng dẫn. 
2
)1(2
12
122
1
2
2
2
2






xx
x
xx
xx
xPT
2
1
122
1221
2
2
2
2






xx
x
xx
xxx
    0)1(1222)2(11221 222222  xxxxxxxxxxx
Nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Chú ý: biểu thức liên hợp cần tìm là 1222 22  xxxx 
 biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 12211 22  xxxx 
2
12
422
2
2
)
2
234
2




 xx
xxx
xx
x
h
Hƣớng dẫn. 
2
2
122
422
2
2
2
234






xx
x
xx
xxx
PT
Biến đổi tƣơng tự bài trƣớc và nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
3
1
62
126
)
2
2
2 


 xx
xx
xx
k
Hƣớng dẫn. 
    0)1(62311263 2222  xxxxxxxxPT
nhân liên hợp suy ra PTcó 2 nghiệm
3;1  xx 
4
4
126
13102
)
22
2





xx
x
xx
xx
p
Hƣớng dẫn. Nhận thấy 4x 
    0)4(621413102)4( 2222  xxxxxxxxxxPT
nhân liên hợp suy ra PTcó 2 nghiệm
3;1  xx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
4 
433
28
12126)
2
2
22



xx
xx
xxxxq
Hƣớng dẫn. 
433
)12126)(12126(2
12126
2
2222
22



xx
xxxxxxxx
xxxxPT







(*)4331221262
012126
222
22
xxxxxx
xxxx
PT
Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
PT đã cho có 4 nghiệm
4
1
;3;1;0  xxxx 
(*)3212623122) 22  xxxxxxxs
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;0 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là )(23122 2 baxxxx  
Do 1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ 





3
2
ba
b






2
1
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là )2(23122 2  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là )1(126 2  xxxx 
Do 0(*) VT suy ra 
2
3
x 
Xét
2
3
1

 x có:
xxx  126 2 xxxx  1224 22
124 2  xxxxx 
suy ra 1(*) VT 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
5 
Do 
2
3
1

 x suy ra 132(*)  xVP 
Vì vậy PT(*) có nghiệm 1x Khi đó 0)1(126 2  xxxx 
0)2(23122 2  xxxx
0
2
)1(126
1
)2(122
(*)
2222





MS
xxxx
MS
xxxx
PT
Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra 
PT đã cho có 2 nghiệm 1;0  xx 
1077
10212
1231262)
2
2
22



xx
xx
xxxxt
Hƣớng dẫn. 
1077
)1231262)(1231262(2
1231262
2
2222
22




xx
xxxxxxxx
xxxxPT







(*)10771261264
01231262
222
22
xxxxxx
xxxx
PT
Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
PT đã cho có 4 nghiệm
6
5
;3;1;0  xxxx 
*Một cách tạo ra phƣơng trình từ 2 biểu thức liên hợp 
Dạng PT:
 B
a
b
A
 hay
B
b
a
A
 
Cách giải. 
0)()(  bBaaAB
B
b
a
A
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
6 
Nhân liên hợp ta sẽ giải quyết đƣợc PT đã cho 
Thí dụ minh họa Giải phƣơng trình 
122
1
2
126
2
2
2
2





xx
xx
xx
xx
Hƣớng dẫn. 
    0)2(112622122126 222222  xxxxxxxxxxxxPT
Nhân liên hợp PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 2 Giải phƣơng trình 
5441221263 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0  
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 126 22  xxcbxax 
Do 3;1;0  là nghiệm PT nên ta có hệ 








739
3
1
caa
cba
c









1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 161 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
01222]1261[3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 3 Giải phƣơng trình 
53
1262
122
124 2
2
2
2 


 xx
xxx
xx
xx 
Hƣớng dẫn. 
Ta có xxxxxxxx 224)1(4126 22222  
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
7 
nên đkxđ: Rx 
 
53
1262
)2(126
124 2
2
2
2
2
2 


 xx
xxx
xxx
xxpt 
533124126 222  xxxxxx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0  
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 126 22  xxcbxax 
Do 3;1;0  là nghiệm PT nên ta có hệ 








739
3
1
caa
cba
c









1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
0]1222[21261 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 4 Giải phƣơng trình 
24
1261
15
122 2
2
2
2 

 xx
xxx
x
xx 
Hƣớng dẫn. 
 
24
1261
)1(126
.3122 2
2
2
2
2
2 


 xx
xxx
xxx
xxpt 
5441221263 222  xxxxxx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0  
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 126 22  xxcbxax 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
8 
Do 3;1;0  là nghiệm PT nên ta có hệ 








739
3
1
caa
cba
c









1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
01222]1261[3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 5 Giải phƣơng trình 
794
126
125
12
666 2
2
2
2
2






xx
xxx
xx
xxx
xx
Hƣớng dẫn. 
   
794
126
)(126
2122
)2(122
.3 2
2
2
2
2
2
2
2
2






 xx
xxx
xxx
xxx
xxx
pt 
5441221263 222  xxxxxx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0  
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 126 22  xxcbxax 
Do 3;1;0  là nghiệm PT nên ta có hệ 








739
3
1
caa
cba
c









1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 1261 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 1222 22  xxxx 
01222]1261[3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
9 
Thí dụ 6 Giải phƣơng trình
76391274852 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 485 22  xxcbxax 
Do 2;1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ 








539
1
2
caa
cba
c









2
2
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 48522 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 912732 22  xxxx 
0912732)48522(2 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Nâng cấp: Giải phƣơng trình 
23
52
29127
1
2485
1
)
2 




 xx
x
xxxxxx
a 
23
73
29127
2
2485
1
)
2 




 xx
x
xxxxxx
b 
PTcó 3 nghiệm
;0x 9;1  xx 
c)
 9127
32
22
485
2
2
2
2





xx
xx
xx
xx
Hƣớng dẫn. 
    0)22(329127224859127 222222  xxxxxxxxxxxxPT
Nhân liên hợp PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
10 
763
72013
91274852)
2
2
22



xx
xx
xxxxd
Hƣớng dẫn. 
763
)91279852)(91279852(
91274852
2
2222
22




xx
xxxxxxxx
xxxxPT







091274852
091274852
22
22
xxxx
xxxx
PT
PT đã cho có 4 nghiệm
13
7
;3;1;0  xxxx 
(*)3216912714485) 22  xxxxxxxe
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là )(14485 2 baxxxx  
Do 3;1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ 








43
1
1
ba
ba
b






2
1
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là )1(14485 2  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là )2(169127 2  xxxx 
ĐKXĐ: )1(014485
2  xxx và )2(0169127 2  xxx 
Có: 
11
3
)1(

 x 
29
94212
)2(

 x suy ra 
11
3
x 
Khi đó 0)1(14485 2  xxxx 
0)2(169127 2  xxxx
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
11 
0
2
)32(9127
1
)22(885
(*)
2222





MS
xxxx
MS
xxxx
PT
Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra 
PT đã cho có 2 nghiệm 3;1;0  xxx 
Thí dụ 7 Giải phƣơng trình
3
6104
912732
8
485
2
2
2
2 



xx
xxx
xx
xx 
Hƣớng dẫn. 
3
6104
)912732(3
)329127)(329127(
485
2
2
22
2 



xx
xxx
xxxxxx
xxpt 
3
6104
3
329127
485
22
2 


xxxxx
xx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 485 22  xxcbxax 
Do 2;1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ 








539
1
2
caa
cba
c









2
2
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 48522 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 912732 22  xxxx 
0912732)48522(3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 8 Giải phƣơng trình
3
944
912732
8
12485
312 2
2
2
2
2 





 xx
xxx
xx
xxx
xx
Hƣớng dẫn. 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
12 
3
944
)912732(3
)329127)(329127(
12485
)12485)(12485(
2
2
22
2
22








xx
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxx
pt
3
944
3
329127
12485
22
2 


xxxxx
xxx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;1;0 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 485 22  xxcbxax 
Do 2;1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ 








539
1
2
caa
cba
c









2
2
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 48522 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 912732 22  xxxx 
0912732)48522(3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 3 nghiệm
3;1;0  xxx 
Thí dụ 9 Giải phƣơng trình 
622810184614 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;2;1 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 4614 22  xxcbxax 
Do 2;1 là nghiệm PT nên ta có hệ 








824
4
2
caa
cba
cba









2
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 46142 22  xxxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
13 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 810184 22  xxxx 
081018446142 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 4 nghiệm
4;1;2  xxx 
Nâng cấp:
 81018
4
2
4614
2
2
2
2





xx
xx
xx
xx
    0)2(4810182461481018 222222  xxxxxxxxxxxxPT
PTcó 4 nghiệm
4;1;2  xxx 
Thí dụ 10 Giải phƣơng trình 
773
8101814
7182
46142 2
2
2
2 


 xx
xxx
xx
xx 
Hƣớng dẫn. 
773
8101814
)1481018)(1481018(
46142 2
2
22
2 


 xx
xxx
xxxxxx
xxPT 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;2;1 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 4614 22  xxcbxax 
Do 2;1 là nghiệm PT nên ta có hệ 








824
4
2
caa
cba
cba









2
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 46142 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 810184 22  xxxx 
0810184]46142[2 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 4 nghiệm
3;2;1  xxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
14 
Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 
10448101846143 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;2;1 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 4614 22  xxcbxax 
Do 2;1 là nghiệm PT nên ta có hệ 








824
4
2
caa
cba
cba









2
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 46142 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 810184 22  xxxx 
0810184]46142[3 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 4 nghiệm
4;1;2  xxx 
Thí dụ 12 Giải phƣơng trình 
723
1481018
1444
461413
5125 2
2
2
2
2






xx
xxx
xx
xxx
xx
Hƣớng dẫn. 
723
1481018
)1481018)(1481018(
.2
461413
)134614)(134614(
2
2
22
2
22







xx
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxx
PT
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;2;1 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 4614 22  xxcbxax 
Do 2;1 là nghiệm PT nên ta có hệ 








824
4
2
caa
cba
cba









2
1
1
c
b
a
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
15 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 46142 22  xxxx 
Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 810184 22  xxxx 
0]810184[246142 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 4 nghiệm
3;2;1  xxx 
Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 
742283213212811 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 3;2;1 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 212811 22  xxcbxax 
Do 2;1 là nghiệm PT nên ta có hệ 








1124
324
2
caa
cba
cba









3
2
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 21281132 22  xxxx 
 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 28321342 22  xxxx 
02832134221281132 2222  xxxxxxxxPT 
PTcó 4 nghiệm
3;2;1  xxx
Nâng cấp: Giải phƣơng trình 
127
72
2283213
1
2212811
1
)
2 




 xx
x
xxxxxx
a 
127
103
29127
2
2485
1
)
2 




 xx
x
xxxxxx
a 
PTcó 3 nghiệm
;1x 9;4  xx
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
16 
Thí dụ 14 Giải phƣơng trình 
5221314102322 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 2;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 23222 22  xxxx 
và 1314103 22  xxxx 
PTcó 3 nghiệm
2;1  xx 
Thí dụ 15 Giải phƣơng trình 
114413141032322 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 2;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 23222 22  xxxx 
và 1314103 22  xxxx 
PTcó 3 nghiệm
2;1  xx 
Thí dụ 16 Giải phƣơng trình 
7331314102324 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 2;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 23222 22  xxxx và 1314104 22  xxxx 
PTcó 3 nghiệm
2;1  xx 
Thí dụ 17 Giải phƣơng trình 
x
xx
xxxx
225
889664
2
22  
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
17 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 
2
1
;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 66412 22  xxxxx và 88913 22  xxxxx 
PTcó 3 nghiệm
 2
1
;1  xx 
Thí dụ 18 Giải phƣơng trình 
x
xx
xxxx
449
8896643
2
22  
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 
2
1
;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 66412 22  xxxxx và 88913 22  xxxxx 
PTcó 3 nghiệm
 2
1
;1  xx 
Thí dụ 19 Giải phƣơng trình 
x
xx
xxxx
337
8896642
2
22  
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 
2
1
;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 66412 22  xxxxx và 88913 22  xxxxx 
PTcó 3 nghiệm
 2
1
;1  xx 
Thí dụ 20 Giải phƣơng trình 
2
2
5889664 22 
x
xxxxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
18 
Hƣớng dẫn. 
x
xx
xxxxPT
225
889664
2
22  
Do 0225 2  xx nên 0x 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 
2
1
;1 
Biểu thức cần tìm là 2342 66412 xxxxx  
và 
2342 889123 xxxxx 
PTcó 2 nghiệm
;1x
2
1
x 
Thí dụ 21 Giải phƣơng trình 
3
3
78896642 22 
x
xxxxx 
Hƣớng dẫn. 
x
xx
xxxxPT
337
889664
2
22  
Do 0337 2  xx nên 0x 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 
2
1
;1 
Biểu thức cần tìm là 2342 66412 xxxxx  và 2342 889123 xxxxx  
PTcó 2 nghiệm
;1x
2
1
x 
225889664 2234234  xxxxxxxxPT
3378896642 2234234  xxxxxxxxPT
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
19 
Thí dụ 22 Giải phƣơng trình 
x
xx
xxxx
423
631054
2
22  
Hƣớng dẫn. 
Do 0423 2  xx nên 0x 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 2;1 
Biểu thức cần tìm là 2342 105422 xxxxx  và 2342 632 xxxxx 
PTcó 2 nghiệm
1x 2; x 
Thí dụ 23 Giải phƣơng trình 
x
xx
xxxx
845
6331054
2
22  
Hƣớng dẫn. 
Do 0423 2  xx nên 0x 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 2;1 
Biểu thức cần tìm là 2342 105422 xxxxx  và 2342 632 xxxxx 
PTcó 2 nghiệm
1x 2; x 
Thí dụ 24 Giải phƣơng trình 
132110241242 223434  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 
2
1
;0;2

 
423631054 2234234  xxxxxxxxPT
8456331054 2234234  xxxxxxxxPT
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
20 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 12412 342  xxxx và 
1102412 2342  xxxxx 
PTcó 3 nghiệm
 2
1
;0;2

 xxx 
Thí dụ 25 Giải phƣơng trình
62516491669 22424  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 2;1 
Biểu thức liên hợp cần tìm là xxxxx 692 242  và xxxxx 16491644 242  
PTcó 3 nghiệm
2;1  xx 
Thí dụ 26 Giải phƣơng trình 
12543216224214 22424  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2 
Biểu thức liên hợp cần tìm là xxxxx 2421442 242  và 
xxxxx 32162842 242  
PTcó 3 nghiệm
1;2  xx 
Thí dụ 27 Giải phƣơng trình 
432)25(2)8134( 222  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2  
Biểu thức liên hợp cần tìm là )8134(2 22  xxxxx và )25(222 22  xxxxx 
PTcó 4 nghiệm
1;2  xx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
21 
Thí dụ 28 Giải phƣơng trình 
31454 22334  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;1;0 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 42 342  xxxx và 1451 23  xxx 
PTcó 3 nghiệm
4;1;0  xxx 
Thí dụ 29 Giải phƣơng trình 
2)15(44 2334  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;1;0 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 42 342  xxxx và xxx 45 3  
PTcó 3 nghiệm
4;1;0  xxx 
Thí dụ 30 Giải phƣơng trình 
52)15(5144 2334  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 4;1;0 
Với 1x thì 01051415143  xx . 
Do đó nghiệm PT phải thỏa mãn 011  xx 
Biểu thức liên hợp cần tìm là 42 342  xxxx và 514)1(5 3  xxx 
PTcó 3 nghiệm
4;1;0  xxx 
Thí dụ 31 Giải phƣơng trình 
1)1)(42(1 2224  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
22 
1)1)(42(1)( 2224  xxxxxxxfPT 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1,0  
12
4242
143
1
2
)('
23
2
24
3






 x
xxx
xx
xx
xx
xf 
Ta có 0)1(' f nên PT có nghiệm bội 1x (tính 0)1('' f Pt có nghiệm kép 1x ) 
Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc) 
Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 1242  xxcbxax 
Lấy đạo hàm đƣợc biêu thức 
1
2
2)(
24
3



xx
xx
baxxP 
Do 0;1 là nghiệm PT nên ta có hệ (*)
1
1





c
cba









3
2
1
c
b
a
Do PT có nghiệm kép 1x nên nó là nghiệm của P(x) 
 suy ra (**)012  ba 
Từ (*) và (**) suy ra








1
1
1
c
b
a
Biểu thức liên hợp cần tìm là 11 242  xxxx 
Tƣơng tự 1)1)(42( 2  xx 
PTcó 2 nghiệm
1;0  xx 
Thí dụ 32 Giải phƣơng trình 
34216244)1( 232  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Nếu 1x thì 07162162 3  xx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
23 
Suy ra 011  xx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1,0  xx và dùng đạo hàm thấy 1x là nghiệm 
kép 
Biểu thức cần tìm là 44)1(222 22  xxxxx và 16212 3  xxx 
PTcó 2 nghiệm
1;0  xx 
Thí dụ 33 Giải phƣơng trình 
221621)1( 232  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Nếu 1x thì 07162162 3  xx 
Suy ra 011  xx 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1,0  xx 
và dùng đạo hàm thấy 1x là nghiệm kép 
Biểu thức cần tìm là 1)1(1 22  xxxxx và 16212 3  xxx 
PTcó 2 nghiệm
1;0  xx 
Thí dụ 34 Giải phƣơng trình 
23122131 222  xxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1,0  xx và đều là nghiệm kép 
Biểu thức cần tìm là 13112 22  xxxx và 1221 22  xxxx 
PTcó 2 nghiệm
1;0  xx 
Thí dụ 35 Giải phƣơng trình 
462369 2232  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
24 
ĐK :
3
2
x .Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 
3
2
;2,1  xxx 
Chú ý:Ta phải tinh ý khi thấy xuất hiện các biểu thức 46;23;69 23  xxxx để nhẩm 
nghiệm khó là 
3
2
x 
Biểu thức cần tìm là 6923 22  xxxxx và 23323 xxx  
PTcó 3 nghiệm
 3
2
;2,1  xxx 
Thí dụ 36 Giải phƣơng trình 
53292871212 23 24  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 1;2,1  xxx 
Biểu thức cần tìm là 121222 42  xxxx và 3 2 292873  xxx 
Chú ý
3 2 29287;3  xxx không đồng thời bằng 0. 
PTcó 3 nghiệm
1;2,1  xxx 
Thí dụ 37 Giải phƣơng trình 
23221212 23 24  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 1;2,1  xxx 
Biểu thức cần tìm là 121222 42  xxxx và 3 2 22  xxx 
Chú ý
3 2 22;  xxx không đồng thời bằng 0. 
PTcó 3 nghiệm
1;2,1  xxx 
Thí dụ 38 Giải phƣơng trình 
xxxxxx 361381212 23 24  
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
25 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 1;2,1  xxx 
Biểu thức cần tìm là 121222 42  xxxx và 3 2 61382  xxx 
Chú ý
3 2 6138;2  xxx không đồng thời bằng 0. 
PTcó 3 nghiệm
1;2,1  xxx 
PT có 3 nghiệm là 1;2,1  xxx 
Thí dụ 39 Giải phƣơng trình 
333101236 23 24  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 4,1  xx 
Với 1x là nghiệm bội(bài này nghiệm kép) 
Biểu thức cần tìm là 123622 42  xxxx và 3 2 3101  xxx 
PTcó 2 nghiệm
4,1  xx 
Thí dụ 40 Giải phƣơng trình 
323741054 23 22  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 2;2,1  xxx 
Biểu thức cần tìm là 105422 22  xxxxx và 3 2 3741  xxx 
Chú ý
3 2 374;1  xxx không đồng thời bằng 0. 
 Nghiệm của PT là 2;2,1  xxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
26 
PHẦN BỔ XUNG CÁCH TÌM NGHIỆM NGOẠI LAI KIỂU MỚI 
Thí dụ 41 Giải phƣơng trình 
  231826485 22  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. Điều kiện
3
1
x 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 3,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý  1826  xxx có nhân tử là x 
Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời   01826  xxx thấy thỏa mãn 
Các biểu thức cần tìm là 48522 22  xxxx và 262  xxxx 
và 1`82
2  xxxx 
 Lƣu ý:Chỉ cần tìm 261  xx và 1`82  xx có 2 nghiệm 3,1  xx 
Nghiệm của PT là 3,1  xx 
Thí dụ 42 Giải phƣơng trình 
  2428326485 222  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. Điều kiện
3
1
x 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 3,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý  28326 2  xxxx có nhân tử là x 
Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời   01826  xxx thấy thỏa mãn 
Các biểu thức cần tìm là 48522 22  xxxx 
 và 26
2  xxxx 
và 2832
22  xxxxx 
 Nghiệm của PT là 3,1  xx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
27 
Thí dụ 43 Giải phƣơng trình 
 xxxxxxx 23221)2(228125 222  
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 1,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý  xxxx 23221)2( 22  
có nhân tử là 2x 
Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời   023221)2( 22  xxxx 
thấy thỏa mãn 0228125 2  xxx 
Các biểu thức cần tìm là 812522 22  xxxx và xxx 2322
2  
 Nghiệm của PT là 1,1  xx 
Thí dụ 44 Giải phƣơng trình 
222)2(8125 222  xxxxx 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 1,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý 22 2)2( xx  
có nhân tử là 2x 
Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời 22 2)2( xx  
thấy thỏa mãn 228125 2  xxx 
Các biểu thức cần tìm là 812522 22  xxxx và xxx 2322
2  
 Nghiệm của PT là 1,1  xx 
Thí dụ 45 Giải phƣơng trình 
  22421826485 2322  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. Điều kiện
3
1
x 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
28 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 3,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý  1826  xxx có nhân tử là x 
Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời   01826  xxx thấy thỏa mãn 
Các biểu thức cần tìm là 48522 22  xxxx và 261  xx 
và 1`82  xx 
 Nghiệm của PT là 3,1  xx 
Thí dụ 46 Giải phƣơng trình 
  23891017485 23 23 22  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 3,1;0  xxx 
Các biểu thức cần tìm là 48522 22  xxxx và 3 2 171  xx 
và 
3 2 89102  xxx 
 Nghiệm của PT là 3,1;0  xxx 
Thí dụ 47 Giải phƣơng trình 
  1438158273011126 23 23 22  xxxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 1;3,0  xxx 
Các biểu thức cần tìm là 1261 22  xxxx (và 3 2 2730113  xxx 
và 
3 2 81582  xxx tìm với 2 nghiệm 1;3  xx ) 
 Nghiệm của PT là 1;3,0  xxx 
Thí dụ 48 Giải phƣơng trình 
  4431826)1(247 22  xxxxxxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
29 
Hƣớng dẫn. Điều kiện
3
1
x 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 3,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý  1826)1(  xxx có nhân tử là x+1 
Thay x=-1 vào PT với qui ƣớc tạm thời   01826)1(  xxx thấy thỏa mãn 
Các biểu thức cần tìm là 2471 22  xxxx và 26)1(122  xxxx 
và 1`8)1(23
2  xxxx 
 Lƣu ý:Có thể chỉ cần tìm 261  xx và 1`82  xx có 2 nghiệm 3,1  xx 
Nghiệm của PT là 3,1  xx 
Thí dụ 49 Giải phƣơng trình 
  34428326)1(247 222  xxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. Điều kiện
3
1
x 
Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là 3,1  xx 
Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý  28326)1( 2  xxxx 
có nhân tử là x+1 
Thay x=-1 vào PT với qui ƣớc tạm thời   01826)1(  xxx thấy thỏa mãn 
Các biểu thức cần tìm là 2471 22  xxxx và 26)1(122  xxxx 
và 283)1(132
22  xxxxx 
 Lƣu ý:Chỉ cần tìm 261  xx và 1`812  xx có 2 nghiệm 3,1  xx 
Nghiệm của PT là 3,1  xx 
Thí dụ 50 Giải phƣơng trình 
77110742)2( 2222  xxxxxxx 
 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 
30 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 2,0  xx 
Các biểu thức cần tìm là 422 2  xx và 11071 22  xxxx 
Nghiệm của PT là 2,0  xx 
Thí dụ 51 Giải phƣơng trình 
 3426212225 22222  xxxxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là 3;1,0  xxx 
Các biểu thức