Chuyền đề môn Hình học Lớp 3

 CHUYỀN ĐỀ HÌNH HỌC
I. Bài toán về nhận dạng các hình hình học.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy. Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?
A
B
C
D
E
M
N
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Cách 1. (Phương pháp liệt kê)
Có 5 tam giác chung cạnh AB là ABD, ABE, ABM, ABN, ABC.
- Có 4 tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC.
- Có 3 tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC.
- Có 2 tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC.
- Có 1 tam giác chung cạnh AN là: ANC.
 (Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa).
 Vậy số tam giác ta đếm được trên hình vẽ là:
 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác).
Cách 2. (Phương pháp lắp ghép)
- Có 5 tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5).
- Có 4 tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5).
- Có 3 tam giác ghép 3 là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5).
- Có 2 tam giác ghép 4 là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5).
- Có 1 tam gíac ghép 5 là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).
Vậy số tam giác đếm được là:
 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)
Cách 3:
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
 Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là:
 6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
 Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
 Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là:
 6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
 Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Cách 4. (Phương pháp quy nạp)
Ta nhận xét:
A
B
C
D
(1)
(2)
* Nếu trên cạnh BC, lấy 1 điểm và nối với điểm A thì ta đếm được:
- Có 2 tam giác đơn là: (1), (2).
- Có 1 tam giác ghép đôi là: (1) + (2).
 Tổng số tam giác đếm được là:
 2 + 1 = 3 (tam giác)
A
B
C
D
E
(1)
(2)
(3)
* Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được:
- Có 3 tam giác đơn là: (1), (2), (3).
- Có 2 tam giác ghép đôi là: (1) +(2), (2) +(3).
- Có 1 tam giác ghép 3 là: (1) + (2) + (3).
 Tổng số tam giác đếm được là:
 3 + 2 + 1 = 6 (tam giác) 
Vậy quy luật ở đây là: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là:
 1 + 2 + 3 ++ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác)
 Áp dụng:
 Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm được là:
 (4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác)
Ví dụ 2. Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 6 đoạn thẳng? 
Ta nhận xét: 
 - Nếu có 3 điểm thì khi nối chúng lại ta được 3 đoạn thẳng.
 - Nếu có 4 điểm thì khi nối chúng lại ta được:
 4 x (4 – 1) : 2 = 6 (đoạn thẳng)
 Vậy để nối lại được 6 đoạn thẳng ta cần ít nhất 4 điểm.
II. Các bài toán về cắt và ghép hình
Loại 1. Các bài toán về cắt hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích của hình cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu.
 Ta thường gặp ở hai dạng sau:
 + Dạng 1: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
 + Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Dạng 1: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
A
B
I
C
Ví dụ: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối AI rồi dùng kéo cắt theo chiều mũi tên. Ta có: SABI = SAIC (vì chung đường cao hạ từ A và đáy BI = CD).
Tương tự, ta có 2 cách sau:
A
B
C
M
A
B
C
N
Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Ví dụ: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa có diện tích bằng nhau.
Lấy điểm M bất kì trên cạnh đáy BC. Chia đoạn AM thành 4 phần bằng nhau rồi cắt theo các đường nối từ B và C đến các điểm chia như hình vẽ.
A
B
C
M
 Bài toán có vô số cách giải.
Loại 2. Các bài toán về ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích các hình đem ghép bằng diện tích của hình ghép được. Vì vậy, dựa vào tổng diện tích các hình đem ghép, ta sẽ xác định được kích thước của hình cần ghép.
Ví dụ: 
2cm
3cm
2cm
2cm
1cm
1cm
 Cho 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, 2 mảnh gỗ hình vuông lớn và 5 mảnh gỗ hình vuông nhỏ có kích thước như hình vẽ. Hãy ghép 9 mảnh gỗ nói trên để được một hình vuông.
Tổng diện tích của 9 mảnh gỗ là:
2 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 5 = 25 (cm ).
Vậy cạnh của hình vuông ghép được là 5cm.
Dưới đây là một số cách giải:
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình
Ví dụ 1. Cho 2 mảnh bìa hình vuông. Hãy cắt 2 mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình vuông.
Trước hết ta xét trường hợp 2 hình vuông có kích thước bằng nhau.
Cách 1:
Cách 2:
Trường hợp 2 hình vuông có kích thước khác nhau:
Ví dụ 2. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 mảnh nhỏ để ghép lại ta được 1 hình tam giác.
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
 Ta có các cách chia sau: