Chuyên đề Kĩ thuật “đánh cả cụm” khi dùng casio giải phương trình vô tỉ

 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
1 
KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO 
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
 (dành cho bạn đọc muốn thử sức với một số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp 
và thử sức giải phƣơng trình bậc 3) 
Bài viết này xin đƣợc giới thiệu các phƣơng trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên 
hợp có dạng k xPcbxax )(2  ,với a,b,c là các số nguyên 
Sau đây là các thí dụ đơn giản của dạng này 
(phƣơng pháp tìm biểu thức nêu ở 2 chuyên đề ở phần sau các thí dụ) 
Thí dụ 1 Giải phƣơng trình 
534122127105 232  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 7105232 22  xxxx và 1221232 32  xxx
PTcó 2 nghiệm
 2
31
x
Thí dụ 2 Giải phƣơng trình 
224738773 2232  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 773122 22  xxxx và 72812 232  xxxx
PTcó 2 nghiệm
 4
171
x
Thí dụ 3 Giải phƣơng trình 
2362316645518 222  xxxxxx 
Biểu thức cần tìm là 551812 22  xxxx và 231664124 22  xxxx
PTcó 4 nghiệm ;
4
171
x
4
333
x
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
2 
Thí dụ 4 Giải phƣơng trình 
3369323261114 222  xxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 6111422 22  xxxx và 93232124 22  xxxx 
PTcó 4 nghiệm ;
4
171
x
 2
1
;1

 xx 
Thí dụ 5 Giải phƣơng trình 
2361736245108 222  xxxxxx 
Biểu thức cần tìm là 510812 22  xxxx và 173624124 22  xxxx 
PTcó 2 nghiệm
4
171
x 
Thí dụ 6 Giải phƣơng trình 
246)17218)(1(5108 222  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 510812 22  xxxx và )17218)(1(134 22  xxxxx 
PTcó 2 nghiệm
4
171
x 
Thí dụ 7 Giải phƣơng trình 
34620443785108 2232  xxxxxxx 
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 510812 22  xxxx 
và 2044378234
232  xxxxx 
PTcó 2 nghiệm
4
171
x 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
3 
Thí dụ 8 Giải phƣơng trình
Hƣớng dẫn.
Biểu thức cần tìm là 12)13(12 2  xxxx và 262142 232  xxxx 
PT đã cho có 2 nghiệm: 1x ; 
6
781235978123595 33 
x 
Thí dụ 9 Giải phƣơng trình 
1
14
2621412)13(
2
23



xx
xxxxx
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 12)13(12 2  xxxx và 262142 232  xxxx 
PT đã cho có 2 nghiệm: 1x ; 
6
781235978123595 33 
x 
Thí dụ 10 Giải phƣơng trình 
1
32
2413)1(
2
23



xx
xxxxx
Hƣớng dẫn. 
Biểu thức cần tìm là 13)1(22  xxxx và 241 232  xxxx 
PT đã cho có 2 nghiệm: 1x ; 
3
33
18
6332763327 
x 
Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 
1
44
410413)2(
2
23



xx
xxxxx
Hƣớng dẫn. 
1
14
2621412)13(
2
23



xx
xxxxx
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
4 
Biểu thức cần tìm là 13)2(32 2  xxxx và 410412 232  xxxx 
PT đã cho có 2 nghiệm: 1x ; 
12
)24918281(5)24918281(55 33 
x 
Thí dụ 12 Giải hệ phƣơng trình 






22232
222
98824343)2(
42
yxxxxxx
xyyx
Hƣớng dẫn.
Phƣơng trình thứ nhất của hệ tƣơng đƣơng với 2x hoặc 222  yx 
Với x=2 các bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ này 
Với 222  yx thay vào PT thứ 2 của hệ ta đƣợc 
 (*)298824343)2( 2232  xxxxxxx 
Biểu thức cần tìm là 43)2(23 22  xxxx và 88242 232  xxxx
PT(*) có 2 nghiệm: 2x ; 
3
4
311833
4
311833
1 33




x
Đến đây các bạn tự giải tiếp 
Thí dụ 13 Giải hệ phƣơng trình 











53341162133
0
22
2
1
22222
24
2
2
yxxxxy
yy
y
x
x
Hƣớng dẫn.
Sử dụng Hàm đặc trƣng có 
Phƣơng trình thứ nhất của hệ tƣơng đƣơng 222  yx 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
5 
Với 222  yx thay vào PT thứ 2 của hệ ta đƣợc 
 (*)113341162133)2( 222  xxxxxx 
Biểu thức cần tìm là 133)2(632 22  xxxx và 411625 22  xxx 
PT(*) có 2 nghiệm: 2x ; 
3
15732157322 33 
x
Đến đây các bạn tự giải tiếp 
Thí dụ 14 Giải hệ phƣơng trình 






153367104133
02
2222
222
xxxxxy
yxxyx
Hƣớng dẫn.
Phƣơng trình thứ nhất của hệ tƣơng đƣơng với 1x hoặc 222  yx 
Với x=1 các bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ này 
Với 222  yx thay vào PT thứ 2 của hệ ta đƣợc 
 (*)153367104133)2( 222  xxxxxx 
Biểu thức cần tìm là 133)2(732 22  xxxx và 671048 22  xxx
PT(*) có 2 nghiệm: 1x ; 
3
6819176819171 33 
x
Đến đây các bạn tự giải tiếp 
Sử dụng lí thuyết của 2 chuyên đề dƣới đây có thể tìm ra các biểu 
thức cần xuất hiện 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
6 
Chuyên đề 1 
PHƢƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN 
TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƢƠNG 
TRÌNH VÔ TỈ 
Một kĩ năng rất hữu ích có thể giúp ta giải đƣợc một phƣơng trình vô tỉ là kĩ năng tìm 
nhân tử chung hoặc tìm biểu thức trong nhân liên hợp. Đôi khi việc tìm ra các biểu thức đó 
là rất khó khăn nếu ta không có máy tính cầm tay trợ giúp. Bài viết này xin đƣợc giới thiệu 
kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung hoặc biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp 
có dạng k xPcbxax )(2  ,với a,b,c là các số nguyên. Sau đây là các thí dụ 
Thí dụ 1 Giải phƣơng trình 
2
63214
10633
22
346



xxx
xxxx
Lời giải 
Phƣơng trình(PT) đã cho tƣơng đƣơng với PT:
)1(0634126833 22346  xxxxxxx
Ta tìm nghiệm của PT(1) bằng máy tính CASIO fx-570VN PLUS nhƣ sau: 
Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 
Ấn nút sang trái để quay lại PT(1) 
Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 =, máy cho ta nghiệm 546818277,2X
Bấm SHIFT STO A (lƣu nghiệm vừa tìm vào A) 
Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng 6322  xxcbxax 
chứa 2 nghiệm vừa tìm. 
Nghiệm X=2 suy ra 0224  cba 224  bac
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
7 
Nhân tử của PT(1) trở thành: 63224 22  xxbabxax
632)2()2)(2( 2  xxxbxxa 
Xét 0632)2()2)(2( 2  xxxbxxa 
suy ra )2(
2
2632



 xa
x
xx
b (2) 
Vì A là nghiệm của PT(2) nên 
ta tìm a,b là số nguyên bằng cách bấm máy tính nhƣ sau: 
MODE 7 máy hiện f(X)= ,ta nhập XA
A
AA
)2(
2
2632



 bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta thấy khi X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên 
Nhƣ vậy a=1,b=0,c= 2 
Nên nhân tử cần tìm là 632 22  xxx 
Suy ra PT xuất hiện )632(4 22  xxx 
Biểu thức còn lại là 461233 2346  xxxxx 
Biểu thức này chứa nhân tử cần tìm nên nó chứa nhân tử sau:
235)63()2( 24222  xxxxxx 
Thật vậy,sử dụng kĩ năng chia đa thức ta đƣợc 
461233 2346  xxxxx )2)(235( 224  xxxx 
Do đó
0)632(4)2)(235()1( 22224  xxxxxxxPT 
0)632(4)2)(632)(632( 2222222  xxxxxxxxxx
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
8 
  063)2()632( 22422  xxxxxxx







)4(063)2(
)3(263
224
22
xxxx
xxx
Dễ thấy PT(4) vô nghiệm 







4463
02
)3(
242
2
xxxx
x
PT







0)12)(2(
02
23
2
xxxx
x
Giải tiếp ta đƣợc nghiệm 2x và
3
2
29961
2
29961
2 33




x 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: 2x ; 
3
2
29961
2
29961
2 33




x 
Thí dụ 2 Giải phƣơng trình 
1
398)2(3
622
232
234



xxx
xxxx
Lời giải 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 
)1(0398)2(3622 232234  xxxxxxx
Nhập biểu thức vế trái của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm 25992105,2X 
Bấm SHIFT STO A 
Nhập biểu thức 4)(:)1( AXVT  rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm 0 = , chờ gần 6 phút máy hiện Can’t Solve 
Khi này ta sẽ chuyển sang hƣớng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT bằng cách đổi dấu trƣớc căn PT đã 
cho.Dẫn tới tìm nghiệm của PT sau: 
)2(0398)2(3622 232234  xxxxxxx 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
9 
Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(2) nhƣ sau: 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= 
Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm -9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Khi này xem bảng ta thấy 1`X thì F(X)=0 
Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1 
Giả sử nhân tử của PT(1) có dạng 398 232  xxcbxax 
Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: 0398 232  xxcbxax 
suy ra 02  cba 2 bac
Nhân tử của PT(*) trở thành: 3982 232  xxbabxax
3982)1()1)(1( 23  xxxbxxa 
Xét 03982)1()1)(1( 23  xxxbxxa 
suy ra Zxa
x
xx
b 


 )1(
1
2398 23
Ta tìm a,b bằng cách bấm máy tính nhƣ sau: 
MODE 7 máy hiện f(X)= ,ta nhập XA
A
AA
)1(
1
2398 23



 bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm -9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta thấy khi X=1 thì F(X)=3 là số nguyên 
Nhƣ vậy a=1,b=3,c=0.Ta đƣợc nhân tử là 3983 232  xxxx 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
10 
Mà 32)398()3( 342322  xxxxxx 
PT(1) trở thành:
 0)6983)(2(32
232234  xxxxxxx 
0)398232)(6983( 232232  xxxxxxxx 








)4(063
8
7
)
4
3
(2
)3(3398
22
223
xxx
xxxx
Dễ thấy PT(4) vô nghiệm 
 






02)1()1(
03
)3(
3
2
xx
xx
PT 3 21 x . 
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 3 21x 
Thí dụ 3 Giải phƣơng trình 
1
41744361
2352
234
2



xxxx
xxx
Lời giải 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 
)1(0141744362352 2342  xxxxxxx
Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) của PT(1) nhƣ sau: 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= 
Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm -9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0 
 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi X=? ta bấm 0 =, máy cho ta nghiệm 629960524,0X
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
11 
Làm tƣơng tự các thí dụ trên ta đƣợc: )1(
1
2235 2



 xa
x
xx
b và 
)1(
1
24174436 234



 xa
x
xxxx
b
Nên )12(235 22  xxxx và 4174436134
2342  xxxxxx 
là các biểu thức cần xuất hiện trong phƣơng trình 
PT(1) trở thành: 0)4174436134()12235(2 234222  xxxxxxxxxx 
   
0
4174436134
4174436134
12235
12235
2
2342
23422
22
222







xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
  0]
4174436134
5
12235
2
[144
234222
34 






xxxxxxxxxx
xxx
0144 34  xxx 0)14)(1( 3  xx








3
4
1
1
x
x
Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn. 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm 1x ; 3
4
1
x 
Thí dụ 4 Giải phƣơng trình 
1
111216685
3274142
2342
2334



xxxxxx
xxxxx
Lời giải 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 
)1(065211121663274 23423423  xxxxxxxxxxx 
Bấm máy tính nhƣ các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có 
Tìm và lƣu các nghiệm ta đƣợc ít nhất 3 nghiệm là 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
12 
732050808,2A ; 414213562,1B ; 732050807,0C 
Chú ý: Nếu máy hiện Continue:[=] thì ta bấm = ,đợi một lúc ta đƣợc nghiệm
Giả sử biểu thức thứ nhất có dạng 3274 232  xxxcbxax 
Do A,B,C là nghiệm của biểu thức nên ta có 
3274 232  AAAcbAaA 
3274 232  BBBcbBaB 
3274 232  CCCcbCaC 
Bấm MODE 5 rồi bấm 2 để giải hệ 3 ẩn a,b,c gồm 3 PT trên.Ta đƣợc a=1;b=1;c=1 
Nhƣ vậy biểu thức thứ nhất cần tìm là 32741 232  xxxxx 
Tƣơng tự biểu thức thứ hai cần tìm là 111216612 2342  xxxxx 
04442111216612
32741)1(
2342342
232


xxxxxxxxx
xxxxxPT
)2(0)()4442( 234  xPxxxx với 
01
111216612
3
32741
1
)(
2342232





xxxxxxxxxx
xP
Suy ra 04442)2( 234  xxxxPT 0)2)(22( 22  xxx







2
31
x
x
Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn 
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm 31x ; 2x
Chú ý: Do 2CA ; 2AC nên PT có nhân tử là 222  xx 
Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c hoặc nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đƣa về tìm các biểu thức dạng
)()( 2 rqxpxxPnk  ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dƣơng ta tìm đƣợc hoặc ta thử 
chọn. Vấn đề nữa đặt ra là liệu có phƣơng trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp hơn chẳng 
hạn nhƣ )()( 23 dcxbxaxxPk  .Hãy làm bài tập dƣới đây các bạn sẽ rõ 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
13 
Bài tập
Giải phƣơng trình
1
21642
2134
)1
23
24



xxx
xxx
3
33
69337
)2
2
2334



xx
xxxx
1
1434)1(
8532
)3
22
234



xxxx
xxxx
1
23
4234423
)4
2
2234



xx
xxxxx
1
11314732
22324412163
)5
24
234



xxx
xxxxx
1
325121
1412822
)6
24
3 456



xxx
xxxx
1
27342
15323
)7
234
3 56



xxxx
xxxx
1
32262120
3627462
)8
232
2334



xxxxx
xxxxx
1
61252)2(3
3410642
)9
3 2342
2423



xxxxx
xxxxxx
2
58374
2
5
203092031218
)10
232
232



xxxxx
xxxx
1
6583
734475)2(
)11
2345
23453



xxxxx
xxxxxxx
1
21141126142
5271521387
)12
23424
2343



xxxxxx
xxxxxx
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
14 
1
6635)112536(14
45443)112928(
)13
22
22



xxxxxx
xxxxxxx
5451219192044
3459131921)14
2345678
23456


xxxxxxxx
xxxxxx
Chuyên đề 2 
PHƢƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI 
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
Điều kiện sử dụng phƣơng pháp: Bấm máy tính tìm đƣợc ít nhất 2 nghiệm A,B phân biệt 
Nếu PT có chứa )(xP thì giả sử biểu thức cần xuất hiện có dạng: )(
2 xPcbxax  ,trong đó 
a,b,c là các số nguyên .Do A,B là nghiệm của biểu thức nên 
(*)0)(2  APcbAaA 
0)(2  BPcbBaB
Chú ý: Nếu B là nghiệm ngoại lai ta có 0)(2  BPcbBaB (các bạn tự xử lí TH này) 
Trừ vế với vế ta đƣợc: 
)()()())(( BPAPBAbBABAa  
Suy ra aBA
BA
BPAP
b )(
)()(



 
Trƣờng hợp 1: 0 BA thì 
BA
BPAP
b



)()(
Nhập biểu thức
 BA
BPAP

 )()(
 bấm = máy hiện giá trị của b cần tìm
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
15 
Từ (*) suy ra bAaAAPc  2)( 
Ta tìm a,c bằng máy tính nhƣ sau: 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập bAXAAP  2)( bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta chỉ lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên 
Suy ra a=X,c=F(X) 
Trƣờng hợp 2: 0 BA 
Do aBA
BA
BPAP
b )(
)()(



 nên ta tìm a,b bằng máy tính nhƣ sau: 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức XBA
BA
BPAP
)(
)()(



 bấm =
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên 
Từ đó suy ra a=X,b=F(X) 
Từ PT(*) ta tìm bAaAAPc  2)(
Nhập biểu thức
 bAaAAP  2)( bấm = máy hiện giá trị của c cần tìm 
Sau đây là các thí dụ. 
Thí dụ 1 Giải phƣơng trình 
1
10123
82266
24
23466



xxx
xxxxxx
Lời giải 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
16 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 
)1(010123)( 246  xxxxxP 
Với 82266)( 2346  xxxxxxP 
Nhập biểu thức vế trái(VT) của PT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm 25992105,2X 
Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lƣu VT(1) 
Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lƣu nghiệm vào A 
Bấm nút mũi tên đi lên để về VT(1) rồi bấm SHIFT SOLVE 
Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm 25992105,2X 
Bấm SHIFT STO B 
Bấm máy A+B máy hiện 0 suy ra
BA
BPAP
b



)()(
Nhập biểu thức
 BA
BPAP

 )()(
 bấm = máy hiện -1. Vậy b=-1 
Do b= -1 nên AaAAPc )1()( 2  AaAAP  2)( 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập AXAAP  2)( bấm = 
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta thấy khi X=3 thì F(X)=1 nguyên 
Suy ra a=3,c=1 
Biểu thức cần tìm là: )13(82266 22346  xxxxxxx 
PT(1) trở thành 0993)13()(
2462  xxxxxxP 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
17 
0993
13)(
)13()( 246
2
22



 xxx
xxxP
xxxP
0993
13)(
993 246
2
246



 xxx
xxxP
xxx
0)993](1
13)(
1
[ 246
2


 xxx
xxxP
0993 246  xxx 
0)33()3( 2223  xxx 0)333)(333( 2323  xxxxxx 
   02)1`(2)1( 33  xx







2)1(
2)1(
3
3
x
x
)21( 3 x 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm )21( 3x 
Thí dụ 2 Giải phƣơng trình 
1
712102
12574244
23462
23462



xxxxxx
xxxxxxx
Lời giải 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 
)1(43)()( 2  xxxQxP
Với 712102)( 2346  xxxxxxP 
 125742)(
2346  xxxxxxQ 
Tìm và lƣu các nghiệm nhƣ thí dụ 1 ta đƣợc 2 nghiệm là 
793700526,0A ; 25992105,1B 
Ta có 04662205239,0  BA 
Có
aBA
BA
BPAP
b )(
)()(



 nên ta tìm a,b nhƣ sau: 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
18 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập XBA
BA
BPAP
)(
)()(



 bấm =
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 khi X=1 
Suy ra a=1,b= -2. Khi này AAAPc 2)( 2  
Nhập biểu thức
 AAAP 2)(
2  bấm = máy hiện số 3 
Ta đƣợc c=3 
Biểu thức cần tìm là )32()( 2  xxxP
Tƣơng tự biểu thức nữa cần tìm là )12()( 2  xxxQ 
PT(1) trở thành 0)12()()32()( 22  xxxQxxxP 
0
12)(
)12()(
32)(
)32()(
2
22
2
22







xxxQ
xxxQ
xxxP
xxxP
0
12)(
232
32)(
232
2
36
2
36







xxxQ
xx
xxxP
xx
0]
12)(
1
32)(
1
)[12)(2(
22
33 




xxxQxxxP
xx
0)12)(2( 33  xx








3
3
2
1
2
x
x
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm
3 2x ; 3
2
1
x
Vấn đề đặt ra là liệu với một biểu thức )(xP có khi nào có nhiều lựa chọn biểu thức 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
19 
dạng )(2 xPcbxax  hay không.Ví dụ sau sẽ làm sáng tỏ điều này 
Thí dụ 3 Giải phƣơng trình 
1
65112642412
322
2323
234



xxxxx
xxxx
Lời giải 
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT:
)1(0)()(322 234  xQxPxxxx 
Với 642412)( 23  xxxxP và 65112)( 23  xxxQ 
Tìm và lƣu các nghiệm ta đƣợc 2 nghiệm là 
449489743,3A ; 449489743,1B 
Bấm máy tính có 02  BA ; 5AB 
(Theo Định lí Vi-ét thì PT sẽ có nhân tử là 522  xx ) 
Có
aBA
BA
BPAP
b )(
)()(



 nên ta tìm a,b nhƣ sau: 
Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập biểu thức XBA
BA
BPAP
)(
)()(



 bấm =
Máy hiện Start? Ta bấm 9 = 
Máy hiện End? Ta bấm 9 = 
Máy hiện Step? Ta bấm 1 = 
Quan sát bảng ta thấy tất cả các giá trị F(X) đều nguyên. Vì thế ta chọn 1 cặp là 
X=2;F(X)= 1. Suy ra a=2,b=1 AAAPc  22)(
Nhập biểu thức
 AAAP 
22)(
bấm = máy hiện số 1.Ta đƣợc c=1
Suy ra )(12
2 xPxx 
là biểu thức cần tìm 
Tƣơng tự ta chọn đƣợc )(13 2 xQxx  là biểu thức cần tìm 
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
20 
Phƣơng trình(1) tƣơng đƣơng với PT:
05242)(13)(12 23422  xxxxxQxxxPxx 
0)1)(52()(13)(12 2222  xxxxQxxxPxx 
01
)(13
19
)(12
14
)52( 2
2
2
2
2
2 














 x
xQxx
x
xPxx
x
xx 
0522  xx 61 x 
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm 61x 
Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn )(632 xPxx  ; )(13 2 xQxx  ta cũng giải 
đƣợc PT theo cách nhân liên hợp 
Chú ý: 
+Việc chọn biểu thức trong thí dụ 3 là tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng đƣợc cách nhân 
liên hợp. Xin dành cho mọi ngƣời tìm hiểu điều này. 
+ Một số phƣơng trình ta có thể tìm biểu thức phức tạp hơn chẳng hạn 
)()( 23 dcxbxaxxP  và có thể giải quyết theo cách bài viết đã nêu khi điều kiện về 
nghiệm của PT ta tìm đƣợc nhiều hơn(kể cả nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) 
Bài tập Giải phƣơng trình 
1
998
194243
)1
24
233



xxx
xxxx
3
23462
236
3
47129
5599
)2 x
xxxxx
xxx



1
16264103
21241844
)3
2324
233



xxxxx
xxxxx
1
21264916205
69166374
)4
232
2324



xxxxx
xxxxx
1
15211441
5126454
)5
2362
2362



xxxxx
xxxxxx
 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 
21 
1
20254
1788334
)6
2462
2462



xxxxx
xxxxxx
1
8232741
14482
)7
2346
246



xxxxx
xxxx
1
52541`
888433
)8
246
2462



xxxx
xxxxxx
3
2346
2456
3884335
282243
)9 x
xxxxx
xxxxx



1
1525441
16124633
)10
2458
24582



xxxxx
xxxxxxx
3
23457
3457
2
15231874
1641862
)11 x
xxxxxx
xxxxx



1
821422196
111918156
)12
234568
24567



xxxxxxx
xxxxxx