Chuyên đề : Hệ phương trình và phương pháp hàm số

 CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Dạng 1 : Hàm đặc trưng xuất hiện ngay trong hệ 
Chú ý : Đối với những loại hệ có hàm đặc trung được nhận dạng ngay trong hệ chư phải biến đổi thì cần chú ý 
điều kiện của ẩn để giải 
Ví dụ : Giải hệ phương trình 
 
 
3 3
4 4
3x 3 ; 1
1; 2
x y y
x y
  
 
Giải : (1)    f x f y  xét hàm số đặc trưng   3 3af a a  
Từ phương trình (2) ta suy ra được x;y    1;1 ; 1;1a    
Khi đó    3' 3a 3 0; 1;1f a a      , điều đó chứng tỏ f(a) luôn nghịch biến trên khoảng xác định của nó . Từ 
(1) ta suy ra được x=y thay vào 2 ta giải được nghiệm của hệ là 
4 4 4 4
1 1 1 1
; & ;
2 2 2 2
    
   
   
Bài 1 : Giải hệ phương trình sau 
 
 
3 3
8 8
5x 5 ; 1
1; 2
x y y
x y
  
 
Đs : 
8 8 8 8
1 1 1 1
; & ;
2 2 2 2
    
   
   
Bài 2 : Ngoại thương 2000 
 
 
3 3
6 6
3x 3 ; 1
1; 2
x y y
x y
  
 
ĐS :
6 6 6 6
1 1 1 1
; & ;
2 2 2 2
    
   
   
Bài 4 : Giải hệ phương trình sau : 
 
 
3 3
2 2
; 1
1; 2
x y y x
x xy y
  
  
Đs : (2;2) ; (-2;-2) 
Bài 5 : Giải hệ phương trình sau  22 1
2
; (1)
log 3log 2 0; 2
x yx y e e
x y
  
   Đs : (2;2) ; (4;4) 
Bài 6 : Giải hệ phương trình sau : 
 
 
3 3
8 4
5x 5 ; 1
1; 2
x y y
x y
  
 
 Đs : x=y= 4
1 5
2
 
 
Bài 7 : Giải hệ phương trình sau : 
2 2
ln
2
x x y yxe e
y
x xy y
  
  
 Đs :  2; 2 
Bài 8 ; Giải hệ phương trình sau : 
   
2 2
ln 1 ln 1 0
2x 5x 0
x y x y
y y
     
  
Hướng dẫn : Xét hàm số đặc trưng : f(a) =ln(1+a) –a : Đ S : (0;0 ) 
Bài 9 : Giải hệ phương trình sau : 
3
2 2
log log 4 1
2
x ye e x y
x
y
  
 
 : 
Hướng dẫn : Xét hàm số đặc trưng : f(a) = ae a ; Đs : 
7 7
1 1
;
4 4
 
 
 
Bài 10 : Giải hệ phương trình sau 
3 3
2
1 1
2
x x y y
x y xy x y
    
   
Hướng dẫn : xét hàm số đặc trưng f(a) = 3 1a a  Đs : (1;1) 
Bài 11 : Giải hệ phương trình sau : 
1 1
1
7 6x 7 6
7 5 5
x y
x
y
y
 

  
 
Hướng dẫn : Xét hàm số đặc trưng : f(a) = 17 6aa  : Đs : (1;1) 
Bài 12 : Giải hệ phương trình sau : 
 2 1
1
x y x y
x y
e e x
e x y
 

  
  
Hướng dẫn : đặt u=x+y và v=x-y : xét hàm số đặc trưng   af a e a  Đ/s (0;0) 
Dạng 2 : Biến đổi để đưa về hàm số đặc trưng 
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau 
 
 
3 3 2
5 3
2 3 4 ; 1
1 0; 2
x x y y y
x y
    
  
Bài làm : (1) 
   
   
33 1 1
1
x x y y
f x f y
     
  
Xét hàm số đặc trưng :    3 2' 3a 1 0f a a a f a      ; phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=y+1thay 
vào (2) ta được 
 
 
35
4 2
1 1 0
3x 3 0
x x
x x x
   
    
 x=0 và  4 2 3x 3 0x x   
2
4 3 3 0
2 4
x x
 
     
 
 từ x=0 ta suy ra được y=-1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0;-1) 
Bài 13 : Giải hệ phương trình sau : Yên Lạc –Vĩnh phúc -2015 
 
 
3 2 3 2
2
3x 2 3 ; 1
3 2 8 ; 2
x y y
x y y
   
  
Hướng dẫn : (1)    1 3f x f y    ; sử dụng hàm số đặc trưng   3 3af a a  
Đs : (3;1) 
Bài 14 : Giải hệ phương trình sau : 
 
   
3 2 3 2
2
3x 2 3 2; 1
2 1
log log 2011 ; 2
1 2
y x
x y y
x y
x
y x
    
   
     
   
Hướng dẫn :(1) biến đổi thành hai hàm có dạng f(x) =f(y) ; Đs : (2011; 2010) 
Bài 15 :Giải hệ phương trình : ( Phan Đình Phùng –Ha Nội -2015) 
     
 
2 2
2 2
2x 2 1 1 1; 1
2 9x 7 7 2x ; 2
x x y y
x y y y y
      
       
Phân tích và hướng giải : Ta nhận thấy (1) có sự độc lập giữa 2 ẩn x và y . Trong khi đó phương trình (2) là phức 
tạp trong hướng giải quyết . Điều này có nghĩa ta nên đi biến đổi (1) . Khi đó ta nhân hai vế với liên hợp ẩn y . 
biến đổi (1) về dạng    2 22x 2 1 ( ) 1x x y y         
Sử dụng hàm số đặc trưng   2 1f a a a   
Đs : (5;-6) 
Bài 16 : Giải hệ phương trình 
 
 
3 3 2
2 2 2
2 3x 3 ; 1
1 3 2 2 0; 2
x y y
x x y y
   
     
Hướng dẫn :    1f x f y  xét hàm số đặc trưng   3 3af a a  
Đs : (0;1) 
Bài 17 : Lý tự trọng Khánh hòa 2015 
Giải hệ phương trình 
 3 2 3
3 2
6x 13x 10; 1
2x 5 3 3x 10 6
x y y
y x y x y
    
        
Biến đổi (1) , sử dụng hàm số đặc trưng để x-2=y . Đs ( 2;0) 
Bài 18 : Sở Giáo dục Quảng Nam -2015 
Giải phương trình  3 22x 9x 6x 1 2 6x 1 2 6x 1 8 0        
Phân tích hướng giải : Với 1 bài toán có cấu trúc phức tạp chắc chắn ta không nên nghĩ đến việc biến đổi tương 
đương mà nên thông qua một ẩn phụ 
Đặt y 6x 1  chuyển về hệ đặc trưng giải hệ để dẫn đến y=x+1 
Đs : 2 2x   
Bài 19 : chuyên Vĩnh Phúc 2015 
   
3 3 2 2
2 3 2
8x 8 3x 3
5x 5 10 7 2 6 2 13x 6x 32
x y y y
y y y x x
    
         
Hướng dẫn : Xét hàm số đặc trưng   3 5af a a  Đs (2;2) 
Bài 20 : Giải hệ phương trình 
 
 
3 3 2
2 2 2
12x 6x 16 0; 1
4x 2 4 5 4 2 0; 2
x y
x y y
    
     
Hướng dẫn : Biến đổi (1) về hàm số đặc trưng    
33 12x 2 12 2x y y     
Đs : (0;2) 
Bài 21 :Giải hệ phương trình 
   
 
2 2
2
2 4x 7 3 2 0; 1
1 1; 2
x x y y x y
x y x y
        
    
Hướng dẫn : Biến đổi (1) để đưa về hàm số đặc trưng 
 2 ( )f x f y   với hàm số đặc trưng có dạng   2 3f a a a a   
Đs: Hệ vô nghiệm 
Bài 22 : Triệu Sơn Thanh Hóa -2015 
 
 
3
2
2 2x 1 3 1 ; 1
2 1 2 ; 2
y y x x
y y x
    
   
 Biến đổi (1) về hàm số đặc trưng có dạng   32af a a  Đs : (1;0) 
Bài 23 : Hàn Thuyên Bắc Ninh 2015 : 
   
   
3
2 2 4
2 1 3 ; 1
2 1; 2
x x y y
x y x y
   
   
 ĐS :  41 2 2; 8 
Bài 24 : Yên Mỹ 2015 : Giải hệ phương trình 
 3 2
2 2
4 1 2 3
2 4 1 1
x y x y
y y x x
  
    
 Đs 
1
1;
2
 
 
 
Bài 25 :Giải hệ phương trình : 
     
 2
53 5x 10 5 48 9 ; 1
2x 6 2x 11 2x+66; 2
x y y
y x y
    
       
Hướng dẫn : Đưa về hàm số đặc trưng   35a 3af a   
Bài 26 : Gang Thép thái Nguyên 2015 : Giải hệ phương trình 
 
 
3 33 3 2 4 2 3
34 3 2
2 2 1
1 1 1
x y y x x y y x x
x x x x y
      
     
Hướng dẫn biến đổi về phương trình 3 1x x y y   Đs : (0;1) và (1;2 ) 
Bài 27 : Nguyễn Thị Minh Khai -2015 . Giải hệ phương trình sau 
 
     
3 2 3
3
3 2
3x 6x 4 3 ; 1
3 7 1 1 ; 2
x y y
x y x
    
   
Hướng dẫn : Biến đổi phương trình (1) để xét hàm đặc trưng   3 3af a a  Đs : (0;1 ) 
Bài 28 : Giải hệ phương trình sau 
 
 
3
2
2 2x 1 3 1 ; 1
1 2x 2x 1; 2
y x x y
y y x
    
   
Hướng dẫn : Đối với hệ này , ta biến đổi (1) về hệ có cùng cấu trúc thì đơn giản . Thường thì ta biến đổi tìm mối 
quan hệ của 2 ẩn và thế vào phương trình còn lại. Nếu phương trình sau khi biến đổi dùng máy tính kiểm tra , là 
nghiệm đẹp thì ok nhưng với bài nghiệm xấu như trong trường hợp bài này ta cần sử dụng phương pháp lượng 
giác hóa . Dấu hiệu là phương trình không cùngbậc , cùng 1 loaị căn và nghiệm không đẹp phương trình có chứa 
21 x đặt x=cost ;  0;t  . ĐS  
3 3
; cos ; 2 sin
10 20
x y
  
  
 
Bài 29 : Nam Định 2015 : Giải hệ phương trình sau 
   
 
3
2
2x 2 2x 1 3 ; 1
5 5x 6 ; 2
y y
y xy y
   
   
 ĐS :    ; 2 2;1 2x y    
Bài 30 : Chuyên Vĩnh Phúc -2015 
3 3 2
2
6x 3 3x 4
6 19 2 3x 4 3 5 14
x y y
x y y
    
     
Hướng dẫn : xét hàm số đặc trưng   3 3af a a  Đs :(0;-1) ; (-1;-2 ) 
 Bài 31 : Giải hệ phương trình 
 
 
1
1; 1
1 1 1
1 4 2 2; 2
yx
x y
x y
x y

   
  
   
Hướng dẫn : Xét hàm số đặc trưng  
1 1
a
f a a
a
 
 
Đs :  
1 1
; ;
2 2
x y
 
  
 
Bài 32 : Giải hệ phương trình sau 
   
 3
3 2 2 2 1 0; 1
2 2 2 5; 2
x x y y
x y
    
   
Phân tích : Biến đổi (1) về hàm số đặc trưng . Thay vào (2) . Chú ý . kết quả khi thay sẽ có dạng 
3 5 2 2 2 5y y    . Đây là loại phương trình có 2 căn thức không đồng dạng . Và phương pháp chủ đạo là đặt 
mỗi căn thức một ẩn khác nhau để chuyển về hệ 
Bài 33 : Giải hệ phương trình 
    
 
2 2
6 3
4 1 2; 1
27x 8 2; 2
x x y y
x y
    
  
Đs :  
1 13 1 13
; ;
6 12
x y
   
   
 
Bài 34 : Giải hệ phương trình : 
    
 
2 21 1 1; 1
6x 2x 1 4x 6x 1; 2
x x y y
x y y
    
    
Hướng dẫn : Đưa (1) về dạng đặc trưng cơ bản , thế vào (2 ) theo ẩn x 
Đặt ẩn phụ 22x 6x 1;u v x    
Bài 35: Giải hệ phương trình 
   
 
3
2 3 2
8x 3 2x 1 4 0; 1
4x 8x 2 2 3 0; 2
y y
y y y
    
     
Hướng dẫn : chuyển phương trình ban đầu về hàm đặc trưng thế vào (2 ) . Phần lớn học sinh khi thế vào (2) thấy 
phương trình bậc 4 sẽ thấy nản . Nhưng chịu khó phân tích đa thức thành nhân tử sẽ ra kết quả 
Bài 36 : Khối A -2010 : Giải hệ phương trình 
   2
2 2
4x 1 3 5 2 0
4x 2 3 4x 7
x y y
y
    
   
Hướng dẫn : Có những bài toán sau khi thế vào phương trình còn lại , nhẩm nghiệm và chứng minh đơn điệu để 
chứng tỏ rằng đó là nghiệm duy nhất 
ĐS : (1/2;2) 
Bài 37 : Giải hệ phương trình : 
3 3 3
2 2
3x 3 4 0
2 4 3 3 2 3x 2 0
x y y
x y y
    
      
Đs : (0;1) 
Bài 38 : Giải hệ phương trình 
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2x 2 5 2 0; 1
1 2x 2x 1 ; 2
x y y y
y x y y x x y y y
    
         
Hướng dẫn : Biến đổi (2) về hàm đặc trưng 
      
2 22 22 1 1y y y x y x y x y           
ĐS: (x;y)=(4;2) 
Bài 39 : Giải hệ phương trình 
    
 
2
2 2
2
5
9
2 6 ln ; 1
9
3x 1 0; 2
y y
x y x xy y
x x
x y y
  
     
   
  
Phân tích và hướng giải : Diều rõ ràng trong hệ là phương trình (2) khó tìm ra hàm số đặc trưng , điều đó có nghĩa 
việc tìm ra hàm số đặc trưng sẽ dành cho phương trình (1) 
   3 21 2x 6ln 9x x x      3 22 6 ln 9y y y y     
Từ đó ta xét hàm số đặc trưng f(a)  3 22 6 ln 9a a a a     . Sau khi tìm được mối liên hệ giữa x và y ở (1) 
thay vào (2) . Khi thấy mũ lên cao đừng vội nản , vì sẽ phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nghiệm . Có kiên 
trì thì luôn thành công mà 
Đs : (1;0) và (2;1 ) 
Bài 40 : Khối A-2012 : Giải hệ phương trình 
 
 
3 2 3 2
2 2
3x 9x 22 3 9 ; 1
1
; 2
2
x y y y
x y x y
     
   
Hướng dẫn : Biến đổi hàm số đặc trưng về dạng   3 12af a a  
Chú ý : Từ (2) biến đổi về tổng hai bình phương như bài 1 để khảng định được tính đơn điệu của hàm số đặc 
trưng 
Đs :  
3 1 1 3
; ; & ;
2 2 2 2
x y
    
    
   
Dạng 3 : Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phương trình 
Bài 41 : Giải hệ phương trình : 
 
 
2
2
3 2 3 ; 1
3 2 3 ; 2
x x y
y y x
   
   
Phân tích và hướng giải 
Để ý rằng hai phương trình trong hệ có ẩn đối xứng nhau . Nếu trừ theo vế của (1) cho (2) ta sẽ được hàm số đặc 
trưng 
 Bài 42 : Giải hệ phương trình  23 2 3 5 3; 1x x y      
  23 2 3 5 3; 2y y x      
Hướng dẫn cách giải giống bài 41 
Bài 43 : Giải hệ phương trình : 
 
 
2 2
2 2
2x 2 2 2 1; 1
2 2x 2 0; 2
x x y y y
x y y
      
    
Phân tích và hướng giải : biến đổi về hàm số đặc trưng   4 2f a a a a   
Bài 44 : Giải hệ phương trình : 
 
 
3 3 2
2 2
3x 17x 27 3x 13 ; 1
6 5x 10 0; 2
y y x y
x y xy y
     
     
Phân tích và hướng giải : Thoạt nhìn pt (1 ) của hệ thì hệ có dạng hàm số bậc 3 quen thuộc . nhưng có điều sự có 
mặt 3xy làm mất sự đội lập giữa hai ẩn x và y 
Mặt khác ta nhận thấy pt (2) có mặt xy . Vậy một gợi ý là muốn làm mất sự có mặt của ẩn xy ở (1) thì ta nhân 2 
vế của (2) với 3 rồi thực hiện phép trừ theo vế của 2 phương trình trong hệ cho thích hợp để chuyển về hàm đặc 
trưng 
Đs : (2;3) và (2/3 ;5/3 ) 
Bài 45 : Giải hệ phương trình : 
 
 
5 4 10 6
2
; 1
4x 5 8 6; 2
x xy y y
y
  
   
Phân tích và hướng giải : Đây là 1 hệ trông có vẻ khác hơi nhiều so với các bài trên . Mặc dù hàm đặc trưng 
không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức 
( dạng phương trình đẳng cấp ) Chú ý vế trái của (1) có dạng đẳng cấp bậc 5 . chia cả 2 vế của (1) cho 5y 
 Khi đó  
5
51
x x
y y
y y
 
    
 
Khi đó xét hàm số đặc trưng f(a)= 5a a 
Đs : (1;1) và (1;-1) 
Bài 46 : Giải hệ phương trình : 
 
     
2 3 6 4
2
2x 2 ; 1
2 1 1 ; 2
y y x x
x y x
  
   
Hướng dẫn : Cách làm tương tự bài 45 
Bài 47 : Giải hệ phương trình sau : 
   
   
3
3
2 3 8; 1
2 6; 2
x y
x y
 
 
Hướng dẫn chia (2) cho x , chia (1) cho 3x sau đó chuyển về hàm số đặc trưng 
Đs : (x;y) =(1;2) (-4;-1/2) 
Bài 48 : Giải hệ phương trình sau : 
    
   
2x 4 6x 3 ; 1
3x 1 4 2x 1 1 3 ; 2
x y y y
y y
     
     
Phân tích và hướng dẫn : Do ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để 
tìm hàm số đặc trưng khá khó khăn . Tuy nhiên ta nhận thấy pt (1) có dạng tam thức bậc 2 đối với ẩn x hoặc ẩn y . 
Ta phân tích đa thức thành nhân tử (1) về dạng (x+y+1)(2x-y+4)=0 . Khi đó việc giải hệ trở nên đơn giản hơn . 
Các em tự làm tiếp 
Bài 49 : Giải hệ phương trình sau : 
     
   
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6; 1
2 2 4 1 1; 2
x y x x
x y y x x
   
    
Phân tích : Chia 2 vế của (2) cho 2x ta sẽ tìm ra được hàm số đặc trưng ngay 
Bài 50 : Giải hệ phương trình 
    
 
2 2 2 2 3
2
1 3x 2 4 1 1 8x ; 1
2 0; 2
x y y y
x y x
     
  
Phân tích hướng giải : Ta nhận thấy (2) qua trơ trọi nên sẽ xử lí sau . Ta tìm cách cô lập các ẩn với nhau đặt lên 
hàng đầu , cố gắng chmia để cô lập các em nhé :D