Chuyên đề: Hệ phương trình cách nhìn mới

Chuyên đề: Hệ phương trình
	 Hiện tại đã có rất nhiều sách viết về hệ phương trình được bán trên các cửa hàng sách. Sách giáo khoa toán 10 và các sách luyện thi Đại học đều phân chia các dạng hệ phương trình tiêu biểu và cách giải tương ứng như hệ đối xứng loại 1, loại 2, hệ đẳng cấp Việc phân chia các dạng hệ phương trình như vậy là rất rõ ràng và mạch lạc và học sinh có thể tiếp thu không mấy khó khăn. Tuy nhiên, việc phân chia chi tiết và các ví dụ đều có tính khuôn mẫu như vậy có thể gây khó khăn cho học sinh nếu học sinh gặp một hệ phương trình dạng hơi lạ mà các sách ít đề cập tới.
	Trong bài viết này, dựa vào các ví dụ được trích dẫn trong cuốn sách trên, người viết đã sắp xếp lại một số phần cho hợp với thực tế giảng dạy hơn. Ngoài các ví dụ đã có trong cuốn sách, tác giả cũng bổ sung thêm một số ví dụ cần thiết. Kết hợp với tham khảo các sách tham khảo về hệ phương trình có bán đã xuất bản từ trước, chắc chắn các bạn học sinh sẽ có một cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về hệ phương trình.
	Trước hết, ta xuất phát từ khái niệm hệ phương trình: Hệ phương trình là một tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình của các ẩn. Chúng ta không xét các hệ gồm nhiều phương trình mà mỗi phương trình đều chỉ chứa một ẩn vì việc giải nó quá đơn giản.
	Muốn giải một hệ phương trình, chúng ta thường tìm cách đưa hệ ban đầu về những hệ đơn giản hơn. Để chuyển được hệ phương trình về dạng đơn giản hơn, ta cần phải khai thác tốt các thông tin từ các phương trình trong hệ. Sau đây là một số cách khai thác thông tin từ các phương trình trong hệ.
1. Khai thác thông tin từ một phương trình có sẵn trong hệ
1.1 Dạng đơn giản nhất là ta có thể thực hiện được các phép thế
	Có những hệ phương trình chứa một phương trình rất đơn giản mà từ phương trình đó ta có thể thực hiện các phép thế vào phương trình khác trong hệ. Một ví dụ điển hình về hệ dạng này là hệ chứa một phương trình bậc nhất.
Giải hệ phương trình: 
Lời giải: Đây chính là hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai như trong SGK. Ta có thể giải bằng cách rút x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai. 
	Cách giải sau đây là một cải tiến so với cách giải ban đầu:
	Ta có: 
Nhận xét:	Trong lời giải trên, thay vì chỉ đơn giản thay một ẩn theo ẩn kia, ta đã khéo léo thay cả một vế của phương trình vào phương trình còn lại. Việc tính toán nhờ đó gọn hơn và lời giải hay hơn.
	Kĩ thuật thay như trên không phải là quá mới mẻ. Ta có thể tìm thấy trong các bài toán giải hệ đối xứng loại 1. Xét ví dụ minh họa sau:
Giải hệ phương trình: 
Lời giải: 	Giải hệ này bằng cách chuyển về hệ của S và P là bài toán đơn giản. Cách viết sau đây thể hiện sự giống nhau trong hai ví dụ trên:
Ta có: 
	Bằng cách thay phương trình dưới vào phương trình trên ta có một phương trình của ẩn x.y.
	Việc thay thế một cách hợp lí có thể giảm nhẹ rất nhiều khối lượng các tính toán. Các bạn có thể thấy rõ điều này qua ví dụ sau:
Giải hệ: 
Lời giải: Ta có: 
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta cố gắng tìm các ghép nhóm tạo ra cụm để thực hiện phép thế.
	Một ví dụ khác của việc thực hiện phép thế là trong giải hệ đẳng cấp bậc hai:
Giải hệ: 
Lời giải: 
	Ta có:
 (do)
	Thay x từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được một phương trình trùng phương của ẩn y. Phần còn lại dành cho bạn đọc!
 Ví dụ sau đây có thể giải giống như các ví dụ phần trên. Các bạn hãy tự giải chúng !
Giải các hệ sau: 
a. b. 
1.2. Phân tích một phương trình thành các phương trình đơn giản hơn bằng cách phân tích thành nhân tử. 
Giải hệ: 
Lời giải: 
	Ta có: 
	Từ phương trình (*) ta có: 
	Kết hợp phương trình dưới ta có thể tìm ra các nghiệm của hệ đã cho.
Giải hệ: 
Lời giải: Bạn có thể nhận thấy: 
	Ta xét thêm một ví dụ không đơn giản sau:
Giải hệ: 
Lời giải: Đây là hệ gồm hai phương trình bậc hai của hai ẩn. Phương trình thứ hai đơn giản hơn phương trình thứ nhất. Tuy nhiên, khi khai thác phương trình thứ hai bạn khó có thể tìm ra một hướng thuận lợi để tiếp cận lời giải.
	Ta có: 
Nhận xét: Việc phân tích như trên có thể gây cho bạn một cảm giác khó hiểu: Làm thế nào để có thể nghĩ đến cách phân tích như vậy? Lời giải thích ở đây là: 	Ta coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai của một ẩn, chẳng hạn ẩn x, và coi ẩn còn lại như làm một tham số. Vận dụng công thức Viét ta có thể tính được ẩn này theo ẩn kia. Bạn hãy tự kiểm chứng điều nói trên.
	Trong trường hợp hệ có chứa một phương trình bậc hai của hai hoặc ba biến, bạn có thể coi nó như là phương trình bậc hai của một ẩn. Ngoài trường hợp rất thuận lợi như trong ví dụ trên, ta có thể tính được ẩn này theo ẩn kia, ta còn có thể thu được những thông tin khác có lợi cho việc giải hệ. Ta xét thêm hai trường hợp nữa của hệ chứa một phương trình bậc hai của nhiều ẩn trong mục 1.3 dưới đây.
1.3 Khai thác các thông tin từ một phương trình bậc hai của hai hay nhiều ẩn
Giải hệ: 
Lời giải: Hệ phương trình trên khá đặc biệt: Hệ có hai phương trình nhưng có tới ba ẩn (Số ẩn nhiều hơn số phương trình). Cách giải hệ này cũng phải đặc biệt.
Chú ý: 
	Như vậy, từ phương trình thứ nhất ta có thể tìm được hai ẩn. Và kết hợp với phương trình còn lại bạn sẽ tìm được ẩn z.
Nhận xét: Việc phân tích biểu thức thành tổng hai bình phương như trên không phải là dễ. Bạn có thể kiểm chứng điều này khi xét hệ sau:
 Giải hệ: 
	Có thể thấy rằng việc phân tích vế trái của phương trình (1) thành tổng của hai bình phương không phải là dễ vì biểu thức này chứa tới ba biến.Tuy nhiên, bạn có thể tìm ra nếu thật cố gắng!
Trở lại ví dụ 9, ta có thể giải phương trình thứ nhất theo cách như sau: Coi nó là một phương trình bậc hai của một ẩn và giải theo công thức Viét.
Lời giải 2: Coi (*) là phương trình bậc hai của ẩn x
	Ta có: 
	Biệt thức: .
	Phương trình bậc hai của ẩn x có nghiệm . Điều này chỉ xảy ra khi y = 0
	Thay trở lại phương trình (*) ta có 
Nhận xét: Lời giải như trên không có một chút gì khó hiểu. Bạn hãy thử vận dụng nó để giải quyết ví dụ 10.
Khai thác thông tin từ phương trình đẳng cấp với hai ẩn
	Phương trình đẳng cấp đối với hai ẩn là một loại phương trình quan trọng và hay gặp trong chương trình toán phổ thông. Với một phương trình đẳng cấp hai ẩn, ta có thể biểu diễn được ẩn này theo ẩn kia. Dưới đây là một số cách biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại trong các phương trình dạng này.
Cách 1:	 Phân tích thành nhân tử. 
	Xét ví dụ minh họa sau:
Cho phương trình: . Hãy biểu diễn ẩn x theo ẩn y.
Lời giải 1: 
Ta có 
Nhận xét: Đây là một phương trình đẳng cấp bậc hai của x và y. Bằng cách coi một ẩn như tham số ta có thể biểu diễn ẩn này theo ẩn kia.
Lời giải 2: Xét phương trình bậc hai ẩn x: 
	Có . 
	Vậy phương trình có hai nghiệm: 
Nhận xét:
 	- Bạn cũng có thể dự đoán nghiệm của phương trình trên bằng kĩ thuật như đoán nghiệm trong phương trình bậc cao chứa tham số.
	- Trong công thức nghiệm, bạn không phải băn khoăn về bước phá giá trị tuyệt đối vì hai nghiệm chỉ đổi chỗ cho nhau khi đổi dấu căn .
 Lời giải dưới đây rất phổ biến, dễ áp dụng và tỏ ra có hiệu quả ngay khi bạn phải giải quyết một phương trình đẳng cấp bậc cao. Hướng suy nghĩ là chuyển một phương trình đẳng cấp của hai ẩn về một phương trình của một ẩn.
Cách 2: 	 Chuyển về phương trình của một ẩn
	Ta xét lại phương trình trong ví dụ 11.
Trường hợp 1: y = 0. Thay vào phương trình ta có x = 0
Trường hợp 2: . 
	Chia cả hai vế của phương trình cho ta có: 
	Đây là một phương trình bậc hai của ẩn . Phương trình này có hai nghiệm là 1 và 4.
	Bằng một trong hai cách: phân tích thành nhân tử hoặc chuyển về phương trình của một ẩn mới, hãy biểu diễn ẩn x theo ẩn y từ phương trình sau:
Nhận xét: Trong quá trình giải toán, bạn có thể nhận thấy:
	Cách phân tích thành nhân tử có lời giải gọn, tự nhiên hơn. Tuy nhiên, khả năng vận dụng lại không rộng rãi bằng cách chuyển về phương trình của ẩn mới. Để thấy rõ hơn điều này, các bạn hãy xét ví dụ sau với cùng yêu cầu như hai ví dụ trên.
Biểu diễn x theo y: 
2. Phối hợp các phương trình trong hệ để tạo ra một phương trình hệ quả thuận lợi cho việc giải hệ ban đầu
	Gặp một hệ phương trình, chúng ta hãy cố gắng nhận xét kĩ từng phương trình trong hệ xem có phương trình nào có chứa sẵn thông tin thuận lợi cho quá trình giải hệ hay không (Các phương trình loại này đã được đề cập trong mục 1). Trong trường hợp không tìm ra ngay một phương trình như vậy, ta phải tiến hành một số biến đổi phù hợp để nhận được phương trình thuận lợi. Dưới đây là một số kĩ năng cần thiết khi biến đổi để tìm ra phương trình thuận lợi.
Kĩ năng 1: Làm giảm các đại lượng có mặt trong tất cả các phương trình của hệ
Giải hệ: 
Lời giải: 
	Ta có 
Việc giải hệ không còn khó!
Tương tự như vậy, ta có thể giải hệ sau:
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Bạn có thể thấy đại lượng có mặt trong cả hai phương trình là tích xy.
Ta có: . Dẫn đến . Đây là một phương trình thuận lợi cho việc giải hệ.
Nhận xét: Trong ví dụ trên. đại lượng chung là tích x.y đóng vai trò cầu nối để so sánh và 
	Trong một số ví dụ sau đây, đại lượng chung khó nhận thấy hơn.
Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Nhận thấy nếu x = 0 thì ta có y = 0. Dễ thấy (0; 0) là một nghiệm của hệ.
	Ta xét trường hợp . Chia cả hai vế của hai phương trình cho tích xy ta có:
Từ đây ta thu được ... 
Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Ta có 
Kĩ năng 2: Xây dựng phương trình, hệ phương trình của ẩn mới.
a. Xây dựng một phương trình của ẩn mới
	Bạn đọc chắc chắn đã quen với những thao tác biến đổi để đưa một hệ phương trình đối xứng loại I về một hệ phương trình mới của S và P. Tuy nhiên, trong một số bài toán, chúng ta có thể xây dựng được một phương trình của ẩn mới, thuân lợi cho quá trình giải hệ ban đầu. Việc xây dựng được một phương trình của ẩn mới sẽ làm cho quá trình giải hệ trở nên đơn giản hơn và lời giải gọn hơn, sáng tạo hơn.
	Trong phần dưới đây, chúng ta xét một số hệ phương trình mà từ đó ta xây dựng được một phương trình mới của ẩn phụ thuận lợi cho việc giải hệ ban đầu. 
Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: 
	Bằng cách nhân phương trình dưới với 2 sau đó cộng với phương trình trên ta thu được phương trình: 
	Đây là một phương trình của ẩn . Từ đây ta tìm được tổng và từ đó giải được hệ ban đầu.
	Hệ sau đây có cách giải tương tự:
Giải hệ: 
Hướng dẫn:
	 Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 và cộng với phương trình thứ nhất ta có phương trình: ...
	Dựa vào lời giải trên, bạn hãy tự giải hệ phương trình sau
Giải hệ phương trình: 
Nhận xét: 
	Ba hệ phương trình trong ba ví dụ nói trên đều là những hệ có tên gọi và cách giải đặc trưng tương ứng. Bạn hãy giải các hệ trên theo cách giải thông thường và so sánh với các cách giải trên để rút ra những kết luận thú vị!
	Hệ phương trình sau đây có cách giải đặc biệt hơn so với các hệ nói trên.
Giải hệ: 
Hướng dẫn: 
	Tacó: 
Nhận xét: Thông thường, để giảm bớt độ phức tạp của một hệ, ta thường thực hiện phép thay thế ẩn bởi số. Trong hệ trên ta đã làm ngược lại: thay số bởi ẩn. Các bạn có thể thấy trong trường hợp này phép thay thế như trên là rất hợp lí. 
b. Xây dựng hệ phương trình của các ẩn mới.
	Việc xây dựng được một phương trình của ẩn mới thuận lợi cho việc giải hệ ban đầu là rất tốt. Trong nhiều trường hợp, chỉ xây dựng một phương trình của ẩn phụ sẽ khó khăn. Khi đó, ta tìm cách xây dựng một hệ phương trình của các ẩn mới.
Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Đây là hệ đối xứng loại I. Hãy biến đổi thành hệ của S và P.
Giải hệ: 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Chuyển về hệ của và .
Cách 2: Xây dựng phương trình của ẩn 
	Bạn hãy so sánh hai cách giải trên để thấy ưu điểm của mỗi cách giải J
Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Chuyển về hệ của và .
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Hệ trên không đối xứng. Tuy nhiên, bạn vẫn có thể tạo ra một hệ đối xứng bằng cách biến đổi như sau:	 	
Chú ý là trong lời giải trên, hệ phương trình cuối là hệ phương trình hệ quả của hệ ban đầu.	
Nhận xét: Lời giải như trên không tối ưu. Bạn hãy khai thác phương trình thứ nhất để có các giải hay hơn!
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Đây là hệ đối xứng. Tuy nhiên, việc đưa về hệ của S và P không phải là cách duy nhất. Các bạn thấy ngay là có thể đưa về hệ của và .
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Chuyển về hệ của và 
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Hệ tương đương với 
Kết luận: Việc xây dựng phương trình, hệ phương trình của ẩn mới đều nhằm mục đích giải hệ ban đầu. 
 - Việc xây dựng một phương trình của một ẩn phụ tỏ ra gọn gàng, tinh tế hơn khi ta biến đổi hệ ban đầu thành hệ của các ẩn mới. Tuy nhiên, để có thể xây dựng được một phương trình như vậy thì người giải toán cần phải có những nhận xét nhanh nhạy về mối liên hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong hệ.
 - Việc biến đổi đưa về hệ phương trình của các ẩn mới cũng cần phải linh hoạt. Tìm ra những ẩn phụ hợp lí sao cho khối lượng các phép biến đổi giảm là yêu cầu dành cho các bạn thích tìm tòi, sáng tạo trong học Toán.
3. Xây dựng phương trình đẳng cấp.
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Từ hệ đã cho ta có
Một số hệ sau đây cũng có cách giải tương tự. 
Giải các hệ:
	a. 	b. 
	Các bạn hãy tự giải hai hệ trên J
4. Xây dựng các phương trình tích
	Biến đổi một phương trình thành các phương trình đơn giản hơn nhờ phép phân tích thành nhân tử đã được nói đến ở phần 1. Trong phần này ta xét một số ví dụ minh hoạ cho việc phối hợp các phương trình của hệ để tạo ra một phương trình tích. 
Giải hệ phương trình: 
Nhận xét: Vế phải của hai phương trình giống nhau. Trừ vế với vế hai phương trình ta thu được: 
Giải hệ: 
Hướng dẫn: phương trình tích ở đây là; 
Giải hệ; 
Hướng dẫn: phương trình tích ở đây là: 
3. Liên hệ giữa hai cách phân chia các loại hệ phương trình
	Trong phần này ta sẽ so sánh hai cách phân loại hệ phương trình: Cách phân chia phổ biến trong các sách tham khảo môn Toán hiện nay và cách phân chia theo định hướng tư duy giải quyết các hệ phương trình cụ thể.
A. Cách giải các loại hệ mẫu mực thông thường theo cách nhìn định hướng tư duy giải hệ
Hệ đối xứng loại I:
Giải hệ: 
Nhận xét: Hệ trên không chứa sẵn một nào thuận lợi cho việc giải hệ. Bạn cần thực hiện các biến đổi để làm xuất hiện một phương trình như vậy. Trình tự giải phổ biến trong trường hợp này là:
1. Chuyển về hệ của S và P
2. Giải hệ của S và P
3. Với S và P tìm được, thay trở lại tìm x và y.
	Tuy nhiên, nếu quen hơn với các thao tác biến đổi, ban có thể thực hiện như sau:
	Đến đây ta có thể thực hiện phép thế để tìm tích x.y. Sau đó có thể tìm được tổng và tìm được x và y.
	Như vậy, khi giải hệ đối xứng loại 1 ta vận dụng thao tác xây dựng phương trình của ẩn mới. Chú ý là ngoài cách xây dựng hệ của hai ẩn mới, ta có thể xây dựng một phương trình của ẩn mới như các ví dụ.
Hệ đối xứng loại II
Giải hệ: 
Lời giải: Trừ vế với vế hai phương trình trên ta có:
Vậy hoặc 
	Như vậy, ta đã vận dụng thao tác phối hợp hai phương trình để xây dựng một phương trình mới đơn giản hơn có dạng tích.
	Bạn nên nhớ tính chất nghiệm của phương trình đối xứng loại II: Nếu (x0,y0) là một nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ. Vì vậy, bao giờ ta cũng đi tìm nghiệm dạng (x0, x0) bằng thao tác trừ vế với vế hai phương trình và phân tích phương trình nhận được thành nhân tử với chú ý là phương trình tích bao giờ cũng chứa nhân tử x – y (hoặc y – x).
	Tuy nhiên, có những phương trình đối xứng loại II có cách giải độc đáo hơn như trong hai ví dụ sau đây:
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta thu được phương trình của ẩn mới : 
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Cả hai phương trình của hệ đều có thể phương trình thành nhân tử
Hệ phương trình đẳng cấp
	Đối với các hệ phương trình đẳng cấp, thao tác thường được vận dụng nhất là xây dựng phương trình đẳng cấp. Ta xét ví dụ sau:
Giải hệ: 
Hướng dẫn: Nhân hai vế của phương trình thứ hai với – 2 và cộng với phương trình thứ nhất ta thu được phương trình: 
	Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba của x và y. Bạn có thể biểu diễn x theo y bằng một trong hai cách: Phân tích thành nhân tử hoặc chuyển về phương trình của ẩn mới . Kết quả thu được: . Từ đây có thể giải được hệ đã cho.
Trong một số hệ không phải đẳng cấp nhưng có chứa sẵn một phương trình đẳng cấp, ta vẫn có thể khai thác thông tin từ phương trình đẳng cấp để giải hệ. Bạn hãy giải hệ sau theo hướng đó.
Giải hệ:
0	Xây dựng phương trình đẳng cấp không phải là cách duy nhất để giải hệ đẳng cấp. Với từng hệ phương trình cụ thể, ta có thể tìm ra cách giải hay hơn. Các bạn hãy tham khảo ví dụ sau: 
Giải hệ:
Hướng dẫn: Bằng cách cộng hai phương trình và chuyển vế, ta có phương trình của ẩn mới: 
	Các bạn cũng nên biết thêm cách giải của ví dụ sau đây. Trong ví dụ này ta vận dụng thao tác biểu diễn ẩn này theo ẩn kia và thế vào phương trình trong hệ: 
Giải hệ: (Thay phương trình này bằng phương trình khác có cách giải tương tự)
Hướng dẫn: Từ phương trình thứ hai ta thấy . Chia hai vế của phương trình này cho ta có; . Thay x vào phương trình thứ nhất ta được một phương trình trùng phương của y. Giải phương trình trùng phương tìm ra y và từ đó tìm x..
 Nhận xét: Đối với các hệ phương trình đẳng cấp bậc hai, việc thế ẩn này theo ẩn kia bao giờ cũng thực hiện được. Và cách giải này còn có những ưu điểm khác. Bạn có thể tìm hiểu thêm trong cuốn Các bài giảng luyện thi môn Toán, tập II. 
Kết luận: Việc xem xét lại cách giải của ba loại hệ phương trình mẫu mực theo các định hướng tư duy khi giải toán cho ta thấy một thực tế như sau: Những cách giải mẫu mực đều tương ứng với các định hướng tư duy vận dụng khi giải hệ phương trình. Đối với hệ phương trình cụ thể, dù là đã có cách giải mẫu mực, nếu biết xem xét thêm theo những định hướng tư duy khác, bạn có thể tìm thêm các cách giải mới. Đôi khi, cách giải mới tỏ ra hay hơn và ngắn gọn hơn. 
B. Vận dụng các định hướng tư duy trong giải hệ phương trình để giải quyết một số bài toán không mẫu mực. 
	Trong mục này, ta tổng kết một số vấn đề đã trình bày ở phần trên và đưa ra thêm một số cách đặt ẩn phụ khác.
Làm xuất hiện và sử dụng các đại lượng chung:
	Các đại lượng chung trong các phương trình của hệ có thể là một biểu thức chứa biến hoặc là một số cụ thể. Hướng sử dụng các đại lượng chung là: Dùng đại lượng chung như một tham số để kết nối các phần còn lại của các phương trình. Chúng ta có thể rút ra một phương trình đơn giản của x và y: một phương trình bậc nhất của x và y hoặc một phương trình tích. Các bạn hãy xem lại các ví dụ phía trên để kiểm chứng.
	Có thể đưa ra nhận xét như sau để giúp các bạn có sự định hướng ưu tiên khi tìm cách sử dụng đại lượng chung: khả năng phân tích thành phương trình tích khá dễ nhận ra ngay từ hệ ban đầu.
	Ta xét một ví dụ tiêu biểu, có thể sử dụng đại lượng chung theo cả hai hướng để bạn đọc tiện so sánh và rút ra kết luận.
Giải hệ: 
Nhận xét:
 Việc làm xuất hiện phương trình tích rất dễ nhận thấy nếu sử dụng đại lượng chung là tổng .
Ta có: 
 Ta tìm cách làm xuất hiện phương trình bậc nhất của x và y: Để nguyên như hệ ban đầu thì không sử dụng được. Ta thử chia các vế cho x, cho y hoặc cho tích xy. 
Ta thấy, nếu x = 0 thì y = 0. (0,0) là nghiệm của hệ.
Xét trường hợp . 
Ta có: 
Một số kĩ thuật đặt ẩn phụ (bổ sung sau)
Các bài tập luyện tập
	Trong các bài tập được đưa ra dưới đây, các bạn hãy vận dụng các kiến thức về hệ phương trình để giải quyết. Đối với các hệ phương trình mẫu mực các bạn có thể vận dụng các cách giải đặc trưng cho từng loại hệ. Tuy nhiên, trong từng hệ phương trình, chúng tôi mong muốn các bạn vận dụng cả các định hướng tư duy trong giải hệ phương trình để giải quyết. Tìm ra những cách giải hay. độc đáo cho từng hệ phương trình, đó là niềm vui thực sự dành cho những bạn yêu thích môn Toán. 
Giải các hệ phương trình:
	a. 	b. 	c. 
Giải hệ phương trình: 
	a. 	b. 
---------------------------------