Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 1 
CHUYÊN ĐỀ 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích 
hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. 
PHÖÔNG PHAÙP: 
Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O) 
Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan 
 (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát) 
Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo : 
 YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa 
ñoä). 
 Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , 
thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä 
 Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. 
 Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. 
Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn 
Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp: 
 Ñoä daøi ñoïan thaúng 
 Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng 
 Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng 
 Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng 
 Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng 
 Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
 Goùc giöõa hai maët phaúng 
 Theå tích khoái ña dieän 
 Dieän tích thieát dieän 
 Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc 
 Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích 
Boå sung kieán thöùc : 
1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S
'
 baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa 
goùc  giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu 
 cos.' SS  
2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A
'
, B
'
, C
'
 khaùc vôùi S 
 Ta luoân coù: 
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'''
.
'''. .. 
o Diện tích hình bình hành: , ( )ABCDS AB AD    
o Diện tích tam giác: 
1
, ( )
2
ABCS AB AC     ;  
22 2
. .ABCS AB AC AB AC   
o Thể tích khối hộp: ' ' ' '
'
.
, .AA ( )
ABCD ABC D
V AB AD   
o Thể tích tứ diện: 
1
, .AD ( )
6
ABCDV AB AC    
Ta thường gặp các dạng sau 
1. Hình chóp tam giác 
a. Dạng tam diện vuông 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 2 
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam 
giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích 
O.ABC nhỏ nhất. 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). 
d[M, (OAB)] = 3 zM = 3. 
Tương tự M(1; 2; 3). 
pt(ABC): 
x y z
1
a b c
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
 (1). 
O.ABC
1
V abc
6
 (2). 
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
1
abc 27
6
. 
(2) min
1 2 3 1
V 27
a b c 3
. 
Ví dụ: 
1) Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, 
AC = b, AB = c. 
 Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng :  2S abc a b c   
(Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái D – 2003) 
Giaûi 
Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), 
B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) 
           
    
 
     
     

2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c
2 2
ñpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc :
a b +b c 2ab c
b c +c a


     

  
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b
b. Dạng khác 
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA 
= 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. 
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] 
Hướng dẫn giải 
z 
y 
x 
A 
B 
C 
D 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 3 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 
 A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và 
H(1; 0; 0). 
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường 
thẳng SC tại K, dễ thấy 
[H, SB, C] = IH, IK (1). 
SB ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra: 
ptts SB: 
x 1 t
y 3 3t
z 4t
, SC: 
x 0
y 3 3t
z 4t
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. 
5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ; 
8 8 2 25 25
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
 =  
Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K. 
Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. 
Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). 
Hướng dẫn giải 
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O 
là trọng tâm ABC. Gọi I là trung điểm của BC, 
ta có: 
3 a 3
AI BC
2 2
a 3 a 3
OA , OI
3 6
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. 
Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta 
được: 
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), 
a 3
A ; 0; 0
3
a 3
I ; 0; 0
6
, 
a 3 a
B ; ; 0
6 2
, 
a 3 a
C ; ; 0
6 2
, 
a 3 a h
M ; ; 
12 4 2
và 
a 3 a h
N ; ; 
12 4 2
. 
2
(AMN)
ah 5a 3
n AM, AN ; 0; 
4 24
, 
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah; 0; 
6
2 2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16
. 
2. Hình chóp tứ giác 
a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục 
tọa độ như dạng tam diện vuông. 
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta 
chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 4 
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). 
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuông góc với đáy. 
Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: 
H(0; 0; 0), 
a a
A ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
3. Hình lăng trụ đứng 
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. 
Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD) 
Lêi gi¶i: Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz 
 sao cho O  A; B  Ox; D  Oy 
 vµ A'  Oz Gi¶ sö h×nh lËp phu¬ng 
 ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ 
A' 
D' 
C' 
C 
B 
A 
D 
B' 
I 
O 
I' 
Z 
Y 
X 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 5 
  A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña mÆt ph¼ng 
(A'BD): 
 x + y + z = a hay x + y + z –a = 0 
  Ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1) 
 VËy AC' vu«ng gãc (A'BC) 
2. Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) 
Lêi gi¶i: 
+ Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A  O 
D Ox; C  Oy vµ B  Oz 
 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) 
 Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ: 
 1
4 4 3
  
x y z
 3x + 3y + 4z – 12 = 0 
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ: 
Nhấn mạnh cho học sinh: 
II. Ph-¬ng ph¸p gi¶i: 
 §Ó gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph-¬ng ph¸p sö dông täa ®é §Ò c¸c trong 
kh«ng gian ta lµm nh- sau: 
* B-íc 1: ThiÕt lËp hÖ täa ®é thÝch hîp, tõ ®ã suy ra täa ®é c¸c ®iÓm cÇn thiÕt. 
* B-íc 2: ChuyÓn h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch: 
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh. 
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®iÒu kiÖn ®Ó suy ra kÕt qu¶ cÇn 
chøng minh. 
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t-îng cÇn t×m cùc trÞ. 
+ ThiÕt lËp biÓu thøc cho ®èi t-îng cÇn t×m quü tÝch 
III. LuyÖn tËp. 
z 
O 
B 
y 
C 
x 
D 
A 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 6 
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Òu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cña ABC. I lµ trung ®iÓm cña 
SO. 
1. MÆt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lÖ thÓ tÝch cña tø diÖn SBCM vµ tø diÖn SABC. 
2. H lµ ch©n ®-êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cña SAC. 
Lêi gi¶i: 
Chän hÖ trôc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é 
 AOx, S Oz, BC//Oy 
Täa ®é c¸c ®iÓm:
3
( ;0;0)
3
A ;
3 1
( ; ;0)
6 2
 B ;
3 1
( ; ;0)
6 2
C ;
6
(0;0 )
3
S ;
6
(0;0; )
6
I 
Ta có: (0;1;0)BC ;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
  IC ;
6 3
, ( ;0; )
6 6
    BC IC
 Phư¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (IBC) lµ: 
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
      x y z 
Hay: 
6
2 0
6
   z mà ta lại có: 
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
   SASA SA u 
Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: 
3
;
3
 x t 0; 2  y z t . 
+ Täa ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ: 
3
(1)
3
0 (2)
2 (3)
6
2 0(4)
6

 



 

   

x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: 
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
    x y z M ;
3 6
( ;0; ) 4
12 12
    SM SA SM 
 M n»m trªn ®o¹n SA vµ 
1
4

SM
SA
( ) 1
( ) 4
 
SBCM
SABC
V
V
. 
2. Do G lµ träng t©m cña ASC 
 SG ®i qua trung ®iÓm N cña AC 
 GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång ph¼ng (1) 
Ta l¹i cã täa ®é G 
3 1 6
( ; ; )
18 6 9
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
   GI 
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
   GI . 0 (2)   GI SB GI SB 
Tõ (1) vµ (2)   GI SB H 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 7 
Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trô ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt 
ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iÓm cña BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña 
diÖn tÝch MC1D. 
Lêi gi¶i: 
+ Chän hÖ trôc täa ®é Oxyz sao cho A  O; B  Oy; A1  Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) 
1
3
( ; ;2 )
2 2
a a
C a vµ D(0;a;a) 
Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t  [0;2a] 
Ta cã : 
1
1
1
,
2

   DC MS DC DM
Ta có: 
1
3
( ; ; )
2 2
(0; ; )
 
  
a a
DC a
DM a t a
,   DG DM ( 3 ; 3( ); 3)2

  
a
t a t a a 
2 2 2, ( 3 ) 3( ) 3
2
       
a
DG DM t a t a a 
1
2 2
2 2
4 12 15
2
1
. . 4 12 15
2 2

  
  DC M
a
t at a
a
S t at a
z 
x 
y 
I 
O 
B 
A 
C 
S 
M 
z 
x 
y 
I 
O 
H 
A 
C 
S 
G 
N 
z 
x C 
C1 
M 
A 
A1 B1 
B 
D 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 8 
Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña 
1DC M
S tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè 
XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 
f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) 
f'(t) = 8t – 12a 
3
'( ) 0
2
  
a
f t t 
Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cña
1
2 15
4
DC M
a
S khi t =0 hay M A 
Chú ý 
+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải 
bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. 
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy. 
+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC 
Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 
4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). 
Bài 2. Cho ABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với 
(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên 
EF. 
1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. 
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi 
H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), 
(OCA), (OAB). 
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. 
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần 
lượt là trung điểm BC, CA, AB. 
1. Tính góc giữa (OMN) và (OAB). 
2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANP . 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, 
0(ABC),(SBC) 60 . 
1. Tính độ dài SA. 
2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. 
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là 
đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao 
cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và 
khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy 
và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 
1. Tính diện tích MAB theo a. 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 9 
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH 
vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 
1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 
4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với 
đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 
1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 
2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 
Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( ) đi 
qua AB và vuông góc với SC. 
1. Tìm điều kiện của h theo a để ( ) cắt cạnh SC tại K. 
2. Tính diện tích ABK . 
3. Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó 
tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 
2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC 
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung 
điểm CD. 
1. Tính diện tích SBE. 
2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 
3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . 
1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 
1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 
2. Chứng minh BD song song với ( ) . 
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 
4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. 
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy 
và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 
1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 
2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 
4. Tìm điều kiện của a và b để 
3
cosCMN
3
. Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp 
S.BCNM. 
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H 
là trung điểm của AD. 
1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 
2. Mặt phẳng ( ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD. 
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO 2a 3 , AC = 
4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( ) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B', C', D' . 
1. Chứng minh B'C'D' đều. 
2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 10 
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên 
cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a). 
1. Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 
2. Cho 
a
m
3
, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 
3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG 
Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, 
BB’, CD, BC. 
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 
3. Tính diện tích tứ giác IKNM. 
Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị 
diện [B, A’C, D]. 
Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt 
hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. 
Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 
1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 
2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 
3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2). 
 a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). 
 b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB. 
Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa 
AM mAD, BN mBB' (0 m 1). Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 
3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp A'BD . 
4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm 
hình vuông ADD’A’. 
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. 
Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh 
a, 0BAD 60 . Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 
2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. 
MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOÏA 
Baøi 1: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA= 3a vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy 
 1) Tính khoûang caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). 
 2) Tính khoûang caùch töø taâm O hình vuoâng ABCD ñeán maët phaúng (SBC). 
 3) Tính khoaûng caùch töø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB ñeán maët phaúng (SAC). 
Baøi 2: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O caïnh baèng a, SO vuoâng goùc vôùi 
 ñaùy.Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm SA vaø BC. Bieát raèng goùc giöõa MN vaø (ABCD) baèng 60
0
 1) Tính MN vaø SO. 
 2) Tính goùc giöõa MN vaø maët phaúng (SBD) . 
Baøi 3: Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng 
 SH  (ABCD) vôùi SH=a 
 1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD). 
 2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). 
Baøi 4: Cho goùc tam dieän Oxyz, treân Ox, Oy, Oz laáy caùc ñieåm A,B,C 
 1) Haõy tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 11 
 2) Giaû söû A coá ñònh coøn B, C thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn OA=OB+OC . Haõy xaùc ñònh vò 
Baøi 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng 
 goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho 
2
6a
SD  , CMR hai maët phaúng (SAB) vaø 
 (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau. 
Baøi 9: Cho töù dieän SABC coù SC=CA=AB= 2a , )(ABCSC  , ABC vuoâng taïi A, caùc ñieåm M 
 thuoäc SA vaø N thuoäc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a) 
 1) Tính ñoä daøi ñoaïn MN. Tìm giaù trò cuûa t ñeå MN ngaén nhaát. 
 2) Khi ñoaïn MN ngaén nhaát, chöùng minh MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. 
Baøi 10: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi coù AC=4, BD=2 vaø taâm O.SO=1 vuoâng goùc 
 vôùi ñaùy. Tìm ñieåm M thuoäc ñoaïn SO caùch ñeàu hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD). 
Baøi 11: Cho hình laäp phöông ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
 caïnh baèng a. Goïi M,N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc 
 caïnh AD,CD. Laáy 
'BBP sao cho BP=3PB
'
. Tính dieän tích thieát dieän do (MNP) caét hình laäp 
 phöông . 
Baøi 12: Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
 coù AB=a, AD=2a, AA
'
=a 
 1) Tính theo a khoaûng caùch giöõa AD
'
 vaø B
'
C. 
 2) Goïi M laø ñieåm chia ñoïan AD theo tyû soá 3
MD
AM
. Haõy tính khoaûng caùch töø M ñeán maët 
 phaúng (AB
'
C). 
 3) Tính theå tích töù dieän AB
'
D
'
C. 
Baøi 13: Cho hình laäp phöông ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
 caïnh baèng a..Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa BC vaø DD
'
 1) CMR )( '' BDAAC  . 
 2) CMR )//( 'BDAMN . 
 3) Tính khoaûng caùch giöõa BD naø MN theo a 
Baøi 14: Cho laêng truï ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
 coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O caïnh baèng a, goùc A=60
0
 . B
'
O 
 vuoâng goùc vôùi ñaùy ABCD, cho BB
'
=a 
 1) Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy. 
 2) Tính khoaûng caùch töø B, B
'
 ñeán maët phaúng (ACD
'
). 
Baøi 15: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng 
 goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y 
 1) Tính theå tích hình choùp ABCMN. 
 2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=90
0
 laø 2xy=a
2
 . 
Baøi 16: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4 2 
 Caïnh beân SC (ABC) vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB 
 1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN 
 2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN. 
Baøi 17: Cho hình laäp phöông ABCD.A
'
B
'
C
'
D
'
 coù caïnh baèng 1 
 1) Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BB
'
 .Chöùng minh raèng 
'
A C MN . 
 Tính ñoä daøi ñoïan MN 
 2) Goïi P laø taâm cuûa maët CDD
'
C
'
 . Tính dieän tích MNP . 
Baøi 18: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a vaø caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi 
 maët phaúng ñaùy (ABC) . Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (SBC) theo a, bieát raèng 
 SA=
a 6
2
Baøi 20: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
 (ABCD) vaø SA=a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa caïnh CD . Tính theo a khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán 
 ñöôøng thaúng BE. 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 12 
Baøi 21: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB=AC=a vaø goùc 
 BAC = 120
0
, caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh raèng tam giaùc AB'I vuoâng 
 ôû A. Tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I). 
Một số bài thi đại học 
Baøi 1 :(ÑH:Khoái A :2002). Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC ñænh S , coù ñoä daøi caïnh ñaùy baèng a . 
Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB vaø SC .Tính theo a dieän tích tam giaùc AMN bieát maët phaúng 
AMN vuoâng goùc vôùi maët phaúng SBC . 
Baøi 2: (ÑH:Khoái B :2002). Cho hình laäp phöông ABCD.A1B1C1D1 coù caïnh baèng a . 
a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa A1B vaø B1D . 
b) Goïi M,N,P theo thöù töï laø trung ñieåm caùc caïnh BB1,CD,A1D1.Tính goùc giöõa MP vaø C1N. 
* Ñaùp Soá : a) (ÑS:
6
a
) ; b) (ÑS: 
10
30
 ) . 
Baøi 3: (ÑH:Khoái D :2002) Cho hình töù dieän ABCD coù caïnh AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
(ABC),AC=AD=4cm ,AB=3cm, BC=5cm . Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD) . 
. 
Baøi 4: (ÑH:Khoái B :2003). Cho hình laêng truï ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a 
, 
0BAD 60 .Goïi M laø trung ñieåm caïnh AA’ vaø N laø trung ñieåm caïnh CC’ . Chöùng minh raèng boán ñieåm 
B’, M , D , N cuøng thuoäc moät maët phaúng .Haõy tính ñoä daøi caïnh AA’ theo a ñeå töù giaùc B’MDN laø hình 
vuoâng . 
Baøi 5: (ÑH:Khoái A :2004). Trong khoâng gian 0xyz cho hình choùp S.ABCD ñaùy ABCD laø hình thoi AC 
caét BD taïi goác toaï ñoä O . Bieát A(2;0;0) , B(0;1;0) , S(0;0;2 2 ) . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC . 
a) Tính goùc vaø khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng SA,BM . 
b) Giaû söû maët phaúng (ABM ) caét ñöôøng thaúng SD taïi N . Tính theå tích khoái choùp S.ABMN 
Baøi 6: (ÑH:Khoái B :2004). Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a , goùc giöõa caïnh beân 
vaø maët ñaùy baèng 
0; (0 90 )   . Tính tang cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) theo  
Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø  . 
Baøi 7: (ÑH:Khoái D :2004). Trong khoâng gian 0xyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 . Bieát A(a;0;0) , 
B(-a;0;0) , C(0;1;0) , B1( -a;0;b) vôùi a>0 ; b>0 . 
a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a vaø b . 
b) Cho a , b thay ñoåi nhöng luoân thoaû maõn a+b=4 .Tìm a , b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C 
vaø AC1 lôùn nhaát . 
Baøi 8: (ÑH:Khoái B :2005). Trong khoâng gian 0xyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 . 
Bieát A(0;-3;0) , B(4;0;0) , C(0;3;0) , B1( 4;0;4) . 
a) Tìm toaï ñoä caùc ñænh A1 vaø C1 . Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi 
maët phaúng (BCC1B1) . 
b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1.Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A,M va øsong song vôùi 
BC1.Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N.Tính ñoä daøi ñoaïn MN. 
Baøi 9: (ÑH:Khoái A :2006). Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä 0xyz , cho hình laäp phöông 
ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0;0;0), B(1;0;0) , D(0;1;0) , A’(0;0;1) . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 
AB vaø CD . 
a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN . 
b) Vieát phöông trình mp chöùa A’C vaø taïo vôùi maët phaúng 0xy moät goùc  ,bieát
1
cos
6
  . 
Baøi 10: (ÑH:Khoái B :2006). Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB=a , 
AD= a 2 , SA=a vaø SA (ABCD) . Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC ; I laø giao ñieåm cuûa 
BM vaø AC .Chöùng minh raèng mp(SAC) vuoâng goùc vôùi mp(SMB) . Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB . 
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 13 
Baøi 11: (ÑHSP TP:HCM : 2002) . Cho hình laäp phöông ABCD.A1B1C1D1, caïnh baèng a Goïi M,N Theo 
thöù töï laø trung ñieåm caùc caïnh AD,CD .Laáy ñieåm P thuoäc BB1 sao cho BP=3PB1 .Tính dieän tích thieát dieän 
do mp (MNP) caét hình laäp phöông . 
(ÑS:
16
67 2a
S  ) . 
Baøi 11:Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A1B1C1D1 .coù AB=a,AD=2a,AA1=a. 
a) Tính khoaûng caùch giöõa AD1vaø B1C theo a . 
b) Goïi M laø ñieåm chia ñoaïn AD theo tyû soá 3
MD
AM
 .Haõy tính d(M; (AB1C) ) 
c) Tính theå tích töù dieän AB1D1C . 
* ÑS : a) a ; b) 
2
a
 ; c) V=
3
2 3a
Baøi 13: (ÑHBK HN Khoái D:2001) . Trong mp(P) cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a , treân caùc ñöôøng thaúng 
vuoâng goùc vôùi mp(P) taïi B vaø C laàn löôït laáy caùc ñieåm D,E naèm veà cuøng phía vôùi (P) sao cho BD=
2
3a
 , 
CE= 3a . 
a)Tính ñoä daøi caùc caïnh AD,AE ,DE . 
b) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoai tieáp töù dieän ABCE . 
* ÑS : a) AD=
2
7a
, AE=2a , DE=
2
7a
 ; b) O(
a a 3 a 3 a 39
, , ) ; R
2 6 2 6
 
Baøi 14: (ÑHNT TP:HCM :2001) .Cho hình laäp phöông ABCD.A1B1C1D1 caïnh baèng a .Goïi M,N laø trung 
ñieåm BC vaø DD1. 
a) CMR: MN// (A1BD). 
b) Tính khoaûng caùch giöõa BD vaø MN theo a . (ÑS:
6
3a
 ). 
Bài 15 : Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AB a , 3AD a . Mặt 
bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SD tạo 
với đáy góc 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và 
BD. 
4 93
31
a
Bài 16 : Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình thoi cạnha , BAD 060 , G là trọng tâm của tam 
giác ABD và ( )SG ABCD , 
6
3
a
SG . GọiM là trung điểm củaCD . Tính thể tích khối chóp 
.S ABMD và khoảng cách giữaAB vàSM theoa . 
2
( , )
2
a
d AB SM 
Bài 18 : ) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật có 2 ;AB a AD a  . Tam giác 
SAB vuông tại S có 3SB a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Tính thể 
tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. 
a 3
d(AC,SD) = IJ=
10
Bài 19 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng 
đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 600. . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. 
 b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
7
42
))(,(
a
AHSBCAd  
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Đào Chí Thanh 0985 852 684 
 14 
Bài 20 Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 
3
2
a
SD  . Hình chiếu H của đỉnh S lên 
(ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối 
chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . ( ( , )
3
a
d HK SD  ) 
Bài 21: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , đường thẳng SA vuông góc với mặt 
phẳng  ABC . Biết , 3AB a BC a  và 3SA a . Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ 
điểm A đến mặt phẳng ( )SBC theo a . 
3 10
( , ( ))
10

a
d A SBC 
Bài 22 : Cho hình chóp .S ABC có ABC là tam giác vuông tại B,  3AB a , 
0
60ACB , hình chiếu 
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết 
 3SE a . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
  
78
, 3
9
a
d C SAB GH 
Bài 23: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc với đáy