Chuyên đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (3 tiết)

CHUYÊN ĐỀ
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 TIẾT)
(Thực hiện từ tiết 32 đến tiết 34)
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức: 
Biết được:
- Định nghĩa và điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; 
- Khái niệm phép chiếu vuông góc; 
- Khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.
2. Kí năng: 
- Biết cách chứng minh: một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng. 
- Xác định được véctơ pháp tuyến của một mặt phẳng.
- Xác định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác.
- Bước đầu vận dụng được định lí ba đường vuông góc.
- Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
 	 3. Tư duy, thái độ: 
- Có khả năng hợp tác trao đổi trong học tập; bảo vệ kết quả đúng, liên hệ thực tế với bài học,
- Cẩn thận trong tính toán và trình bày. Qua chuyên đề học sinh biết thêm được toán học có ứng dụng trong thực tiễn.
4. Năng lực cần hướng tới:
 	 Năng lực chung:
- Năng lực giải quyết vấn đề, năng lực vẽ hình biểu diễn trong không gian, chứng minh tính chất hình học không gian và hình học phẳng.
- Đề xuất được các giải pháp giải quyết các vấn đề đặt ra.
 	 Năng lực chuyên biệt:
- Có khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập cơ bản, nâng cao, các bài khó
 đòi hỏi nhiều khả năng tính toán và chứng minh tính chất hình học không gian và hình học phẳng.
II. Hình thức, phương pháp, kỹ thuật dạy học:
 1. Hình thức: Trên lớp.
2. Phương Pháp: Vấn đáp, phương pháp đặt và giải quyết vấn đề, phương pháp hoạt động nhóm,
3. Kỹ thuật dạy học: Kỹ thuật giao nhiệm vụ, kỹ thuật trình bày. 
III. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên: Hình minh họa, xây dựng hệ thống câu hỏi, các phương tiện dạy học,: máy
 chiếu, bảng hoạt động nhóm.
 2. Học sinh: Ôn tập lại kiến thức về quan hệ vuông góc trong mặt phẳng, vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc trong không gian, ..
IV. Tiến trình dạy học chuyên đề:
 1. Tổ chức lớp: 
Tiết
Lớp 11A1
Ghi chú
Ngày dạy
Sĩ số
32
Dạy hết phần I, II, III 
33
Dạy hết phần IV, V 
34
- Các BT SGK
- BT luyện tập
 2/ Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động khởi động 
CH : Hãy nêu cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng và cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian ?
 CH : Hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng vuông góc trong không gian ?
 3. Bài mới: 
Đặt vấn đề vào bài mới: 
Trong thực tế, hình ảnh cây cột cờ dựng giữa sân trường cho ta khái niệm về sự vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng. Hôm nay ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về sự vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Hoạt động hình thành kiến thức
Hoạt động 1: Định nghĩa thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và . Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(SAD).
a
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
- Vẽ hình và gọi là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng a bất kì nằm trong mặt phẳng (SAD). Hướng dẫn HS chứng minh .
+ Từ giả thiết bài toán ta có được những đẳng thức nào? 
+ Ta cần chứng minh cái gì?
+ là 3 véc tơ đồng phẳng và không cùng phương. Theo điều kiện 3 véc tơ đồng phẳng ta có điều gì?
+ Tính - Dẫn dắt học sinh về định nghĩa.
-Tóm tắt định nghĩa
- Quan sát , suy nghĩ và trả lời câu hỏi.
- Học sinh trả lời
- Học sinh nghe giảng.
- Học sinh ghi bài vào vở.
- Học sinh trả lời.
Phát biểu định nghĩa th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng.
I. Định nghĩa th¼ng vu«ng
 gãc víi mÆt ph¼ng.
Định nghĩa (SGK trang 99)
Tóm tắt định nghĩa:
Nhận xét: SGK.
Hoạt động 2: Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 
Câu hỏi: Trong mặt phẳng có bao nhiêu đường thẳng? Vậy theo định nghĩa ta có thể chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng không? 
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
- Phát biểu định lí .
-Tóm tắt định lí 1 bằng kí hiệu toán.
- Trong bài toán trên theo định nghĩa ta có hệ quả. 
- Phát biểu hệ quả.
- Phát biểu phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
- Nhận xét : Để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
- Cho học sinh thảo luận nhóm trong vòng 5 phút, ghi bài làm vào bảng nhóm: Trong bài toán trên cho thêm điều kiện . Chứng minh .
- Đại diện 3 nhóm làm nhanh nhất lên trình bày bài làm. Gọi 3 học sinh trong các nhóm còn lại nhận xét bài làm của bạn.
- Nhận xét câu trả lời và bài làm của HS.
- Học sinh lắng nghe.
- Học sinh ghi bài vào vở.
- HS tự chia lớp làm 6 nhóm để thảo luận nhóm, bài làm ghi vào bảng nhóm.
- Trình bày bài làm của nhóm.
- Nhận xét bài làm của bạn.
- Ghi bài vào vở.
II. ĐiÒu kiÖn để ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng. 
- Định lí 1 (SGK trang 99)
-Tóm tắt định lí:
- Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.
- Phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):
+ Chọn 2 đường thẳng a, b cắt nhau thuộc (P).
+ Chứng minh 
- Bài toán trên cho thêm điều kiện . Chứng minh .
Hoạt động luyện tập
Bài tập 2. Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. 
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn 
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
c/ Chứng minh rằng 
Phân công nhiệm vụ:
Nhóm 1: chuẩn bị phần a.
Nhóm 2: chuẩn bị phần b.
Nhóm 3: chuẩn bị phần c.
Nhóm 4: lên bảng vẽ hình và sẽ nhận xét bài làm của các nhóm.
Học sinh cùng chuẩn bị và chữa từng phần.
Lời giải
a/ Ta có: 
Vậy , tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như trên, ta chứng minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. 
b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên 
Mặt khác nên 
Vậy (định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC. Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
 * Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì , mặt khác nên , suy ra . Tương tự như trên ta cũng có: . Vậy , tức là K trùng với H.
c/ Nếu tại thì 
Vì OH là đường cao của tam giác vuông (vuông tại O) và là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên
 Vậy 
Bài tập làm thêm: Chứng minh rằng 
Hoạt động 3: Các tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
- Thừa nhận các tính chất 1, 2 và yêu cầu HS ghi chép vào vở.
Nhấn mạnh sự tồn tại duy nhất.
- Từ tính chất 1, ta thấy có duy nhất 1 mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Phát biểu định nghĩa mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Từ định nghĩa trên nếu M bất kì thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì hai tam giác MAO và MBO như thế nào với nhau? Suy ra được điều gì?
- Lắng nghe, ghi chép.
- HS nhận xét, ghi nhận kiến thức. 
a
b
O
c
P
HS nhận xét, ghi nhận kiến thức.
Hoàn thành nhiệm vụ theo yêu cầu của giáo viên
III. Các tính chất của ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng.
- Tính chất 1 (SGK trang 100)
- Tính chất 2 (SGK trang 100)
- Mặt phẳng trung trực:
+ Định nghĩa: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Hay cách khác là
+ Định nghĩa: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Hoạt động 4: Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
a
b
+ Minh họa hình vẽ, yêu cầu học sinh rút ra tính chất:
P
+ Cho HS ghi nhận kiến thức.
Tính chất 2
+ Yêu cầu học sinh rút ra tính chất:
a
 a
P
Q
+ Cho HS ghi nhận kiến thức.
Tính chất 3.
+ Minh họa hình vẽ, yêu cầu học sinh rút ra tính chất:
a
b
P
+ Cho HS ghi nhận kiến thức.
Trả lời câu hỏi
- HS trả lời : 
+ .
+ 
- HS trả lời : 
+ .
+ 
 - HS trả lời : 
+ .
+ 
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Tính chất 1. SGK trang 101)
Tính chất 2. SGK trang 101)
Tính chất 3. SGK trang 101)
Hoạt động luyện tập
Bài tập 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. 
Lời giải
a/ Ta có 
 và 
Vậy 
Tương tự ta có 
Vậy 
Do nên 
b/ Gọi M là trung điểm của BC thì (vì cùng bằng )
nên M thuộc mặt phẳng trung trực của 
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, )
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 
Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là: 
Giáo viện chia lớp thành 4 nhóm và giao nhiệm vụ cho từng nhóm.
Hoạt động 5: Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
- Yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa và tính chất của phép chiếu song song.
- Khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng thì các tính chất còn đúng không?
- Giáo viên yêu cầu HS đọc định nghĩa phép chiếu vuông góc trong SGK.
-Giáo viên minh hoạ và giải thích bằng hình vẽ để học sinh hiểu.
-Giáo viên đưa ra nhận xét.
-Giáo viên yêu cầu HS xác định hình chiếu của một số hình sau?
- Trong hình học phẳng có ba đường thẳng đôi một vuông góc không?
- Trong hình học không gian có ba đường thẳng đôi một vuông góc không?
-Giáo viên yêu cầu HS đọc định lí ba đường vuông góc.
-Giáo viên tóm tăt định lí và vẽ hình.
-Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh định lí.
- Nhận xét gì về vị trí của a và AA’?
- Nếu thì ta có được điều gì?
- Nếu thì ta có được điều gì?
- Em nào cho thầy biết ba đường vuông góc trong định lí là 3 đường nào?
- Để chứng minh hai đường thẳng vuông goc ta phải làm gì?
-Giáo viên cho HS nhắc lại cách xác định góc giữa hai đường a và b thẳng trong không gian?
- Giáo viên đặt vấn đề: Nếu a góc giữa b và a có phải góc giữa b và ?
-Giáo viên yêu cầu HS nêu định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
-Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định góc giữa đường thẳng d và , trong trường hợp d không vuông góc với và cắt tại O, bằng hình vẽ.
-Giaó viên hướng dẫn HS thực hiện vídụ 2
-GV: hướng dẫn HS
a) Tính góc giữa SC và (AMN)
+ Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa AM,AN với SC.
+ Từ đó suy ra được điều gì?
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và (ABCD).
+ Yêu cầu HS xác định hình chiếu của SC lên (ABCD).
+ Yêu cầu HS xác định là góc giữa SC và (ABCD)
- HS hồi tưởng kiến thức cũ suy nghĩ trả lời yêu cầu của giáo viên.
- HS suy nghĩ?
- HS đọc định nghĩa 
(SGK/102)
- HS chú ý lắng nghe và vẽ hình
- HS chú ý lắng nghe và ghi chép.
- HS suy nghĩ lên bảng thực hiện ví dụ
- HS: Không có ba đường thẳng đôi một vuông góc trong mặt phẳng.
- HS suy nghĩ.
- HS đọc định lí ba đường vuông góc.
-HS chú ý quan sát.
-HS chú ý lắng nghe, hiểu nhiệm vụ để chứng minh.
-
-
-
- HS: đó là đường a,b,b’
- HS: để chứng minh ta chứng minh với b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng 
- HS sinh suy nghĩ trả lời.
- HS suy nghĩ.
- HS đọc Đ/N (SGK/103)
- HS chú ý ,quan sát hình vẽ
-HS chú ý quan sát vẽ hình suy nghĩ lời giải.
+HS: AMSC, ANSC
+HS: SC(AMN).
+ AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.
1.Phép chiếu vuông góc.
-Cho .Phép chiếu song song theo phương của lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .
B’
A
B
A’
* Nhận xét: 
-Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
-Người ta gọi “ phép chiếu lên mặt phẳng ” thay cho tên gọi “ phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ” và dùng tên gọi H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng thay cho tên gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng .
a
b
c
2. Định lí ba đường vuông góc:
Cho và đồng thời không vuông góc với . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên . Khi đó .
CM:
A’
B’
A
B
b’
b
a
Trên b lấy hai điểm A,B phân biệt. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên . Khi đó b’ là đường thẳng qua A’ và B’.
Ta có nên 
- Vậy nếu thì 
- Vậy nếu thì 
* Chú ý: để chứng minh ta chứng minh với b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng 
3.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
*Đ/N: Cho đường thẳng d và mặt phẳng .
- Trường hợp thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng 900
- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc và mặt phẳng thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng .
A
H
O
d’
d
*Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng thì ta luôn có .
* Cách xác định góc:
- Để xác định góc giữa d và ta xác định góc giữa d và d’ với d’ là hình chiếu của d lên 
*Ví dụ 2: Cho hình chop S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA= a và 
a)Gọi M và N lần lượt là hình chiêu củ A lên SB và SD. Tính góc giữa SC và (AMN).
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và (ABCD).
A
B
C
D
S
N
M
Giải:
a) Ta có BCAB, BCSA
 mà SBAM nên do đó AMSC.
Tương tự: ANSC
Vậy SC(AMN). Do đó góc giữa SC và (AMN) bằng 900
Hoạt động luyện tập:
Bài tập 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng và 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
Lời giải
1.a/ * CMR: 
+) Ta có: (2 đường cao tương ứng)
 (do )
+) Xét có 
 * CMR: 
Cách 1: 
+) Vì 
+) Có (1đường thẳng với 2 cạnh của 1 tam giác thì với cạnh còn lại)
CM tương tự ta có: 
Vậy 
Cách 2:
+) Vì SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có: 
+) SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có 
Vậy từ (1) và (2) ta có: 
Cách 3: 
+) 
Mà với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 
+) 
b/ CMR: 
Có 
Mặt khác: BD // MN 
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì có AS = AC = a
 góc cần tìm là 
+) vuông tại B có 
V. Kết thúc bài học
 1. Củng cố: Sau chuyên đề học sinh cần biết được các kiến thức cơ bản liên qua đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, biết chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các bài tập liên quan.
 2. Bài tập về nhà: Làm bài tâp trong SGK, SBT, bài tập được giao.
 3. Rút kinh nghiệm chuyên đề: ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................