Chuyên đề Cực trị của hàm số

Chuyên đề cực trị của hàm số
Tóm tắt lí thuyết:
Định nghĩa:
a. gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) với mọi x thuộc một lân cận nào đó của điểm x0 ta có: f(x) < f(x0)	().
	+ Khi đó ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0, f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm 	số. M(x0; f(x0))gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
 b. Điểm gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). Nếu với mọi x thuộc lân cận nào đó của điểm x0 ta có f(x) > f(x0) ().
	+ Khi đó ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0, f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm 	số. M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
 c. Hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 gọi là đạt cực trị tại điểm đó và x0 gọi là điểm cực trị, f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số.
Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì .
ý nghĩa: Hàm số có đạo hàm và cực trị tại x0 thì tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) của đồ 	thị hàm số y = f(x) song song trục hoành
	 y
 y = f(x)
	 x0	0 	 x
Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lí 2: Nếu f(x) có đạo hàm trên một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0).
Nếu qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức nếu x x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, tức nếu x x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.
x	 a	 x0	b
f’(x)	 - 0 +	
f(x)	CT
x	 a	 x0	b
f’(x)	 + 0 -
f(x)	 CĐ
Các bài tập áp dụng:
a. Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1, ta làm theo các bước sau:
B1: tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm , xác định các điểm tới hạn.
B3: Tính các giới hạn (nếu cần).
B4: Lập bảng biến thiên, từ đó xác định các điểm cực trị của hàm số.
VD1: Tìm cực trị các hàm số sau:
y = - x3 + 3x2 – 1
Giải :
a. y = - x3 + 3x2 - 1
	+ TXĐ : R.
	+ = -3x2 + 6x = 0 
	+ 
 	Ta có bảng biến thiên của hàm số
 x	 	0 	 	2	 
 y’ - 	0	+	0	-
 y 	 	 3
	 -1	 
	Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu y = -1
	 hàm số đạt cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại y = 3.
b.	.
	+TXĐ 	D = R \ 
	+ 
	+ Ta có lim y = lim y = - ; lim y = lim y = 0
	 x -> 0+ x -> 0-	 x->+ x->-
Ta có bảng biểu thiên của hàm số:
	x - 	 0	 2	+	 
 y’ -	 + 0 -
	 y 0 
	 - - 	0
Vậy hs đạt cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại 
b. Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 2.
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm ý, tìm các điểm tới hạn x0.
B3: Tính y”, y” (x0).
B4: Từ dấu y”(x0) ta có kết luận về cực trị của hàm số.
VD2: Tìm cực trị của hàm số
Giải :
 TXĐ: D = R
	y’ = 
	y” = . Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 
Các bài tập áp dụng: Tìm cực trị của hàm số sau.
1. 	 2. 	 3. 
4. 	 5. 	 6. y = (1 + cosx) sinx
7. y = ex.cosx	 8. y = -x +1 - m
B. Cực trị của một số hàm hay gặp.
I. Cực trị của hàm đa thức bậc 3:
1. Tóm tắt lí thuyết.
a. Hàm số bậc 3 : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
	y’ = 3ax2 + 2bx + c
b. Điều kiện để hàm số có cực trị
Hàm số y = f(x) có cực trị y = f(x) có cực đại, cực tiểu f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt .
c. Tính các giá trị cực trị.
* Khi có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x1; x2. Ta có y1 = f (x)	; y2 = f(x2) là các giá trị cực trị của các hàm số.
* Nếu các giá trị x1, x2 làm cho f(x1); f(x2) tính toán phức tạp thì ta dùng cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) ta có:
	Y = f’(x). p(x)+ q(x)
Khi đó
	y (x1) = f’(x1). p(x1)+ q(x1) = q(x1) 
	y (x2) = f’(x2). p(x2)+ q(x2) = q(x2)
(do f’(x1) = f’(x2) = 0)
Việc tính q(x1), q(x2) sẽ dễ dàng hơn.
Chú ý : ứng dụng cách trên ta có thể tìm được đường thẳng qua điểm CĐ, CT.
Toạ độ các điểm CĐ, CT của hàm số thoả mãn hệ:
	y’ = f’(x) = 0
	y = f’(x). p(x) + q(x)
=> y = q(x)
Hay các điểm cực đại, cự tiểu thuộc đường thẳng y = q(x).
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
VD1: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực trị.
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà xCĐ < xCT.
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
	Giải :
 TXĐ: D = R
 y’ = mx2 – 2(m - 1) x + 3 (m- 2).
a. Nếu m = 0 => y’ = 2x – 6 = 0 x = 3, y’ đổi dấu qua x = 3 => m = 0 thoả mãn.
Nếu => hàm số có cực trị y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Kết hợp với m=0 => m Thoả mãn yêu cầu bài toán.
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương
phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 <x1<x2
.
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn xCĐ<xCT
ú và y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
 .
d. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 => y’(0) = 0 3(m - 2)= 0 m = 2
Với m = 2 => y’= 2x2 – 2x = 0 x= 0 v x = 1
	 y”= 4x – 2 => => hàm số đạt cực đại tại x = 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu .
VD2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số: 
y = f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 .
 Giải:
* Ta có y’ = 3x2 – 6 x – 6 = 3(x2 – 2x - 2) = 0 
=> Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x1 = 1 - và x2 = 1 + 
* Ta có f(x) = (x2 – 2x - 2). (x - 1) – 6(x - 1)
Ta có toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:
Vậy các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y = - 6(x-1)
VD3: Cho hàm số y = f(x) – x3 + mx2 + 7x + 3
Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 
y = 3x -7
Giải:
Ta có y’ = 3x2 + 2mx + 7
Hàm số có cực đại, cực tiểu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Mặt khác, ta có y = 
Với , y’=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Ta có toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ.
=> 
=> đường thẳng đi qua các điểm cực trị là (d)
Ta có (d) vuông góc với đường thẳng y = 3x -7
ú 
Vậy m = thoả mãn yêu cầu bài toán
VD4: Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua (d): y = 
Giải:
 Hàm số có CĐ, CT y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt . Ta có 
Với thì ta có PT
 y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thoả mãn hệ:
=> 
Hay đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu là.
Giả sử A(x1, y1) và B(x2; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với x1, x2 là nghiệm của phương trình y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0
A, B đối xứng với nhau qua (d) AB (d) và trung điểm M của AB thuộc (d)
ú 
Kết hợp .
Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu của bài toán
Dạng 3: Một số bài toán khác
VD5: Cho hàm số f(x) = cos a) x2 + 
Tìm a để hàm số luôn đồng biến
Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 thoả mãn x1+ x2 = x12 + x22
Giải:
Hàm số luôn đồng biến với mọi x ú x2 – x (sin a + cos a) + sin 
ú (sin a + cos a)2 – 3 sin 2a 
ú 1 – 2 sin 2a => sin 2a 
ú 
ú 
Vậy với thoả mãn yêu cầu bài toán.
b. Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 ú y’= x2 – x(sin a +cos a) + sin 2a = 0 có hai nghiệm phân biệt ú = 1 -2 sin 2a > 0 ú sin 2a < (*)
do x1; x2 là nghiệm của phương trình y’ = 0
 => x1 + x2 = x12 + x22 ú x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2
	 ú sin a + cos a = (sin a + cos a)2 - sin 2a (1)
đặt t = sin a +cos a, 
(1) trở thành thành : 
	 => sin a + cos a= 1 sin (a + ) = 
 Kết hợp (*) => , 
VD 6: Tìm m để có khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.
Giải:
Ta có y’ = x2 - 2mx – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Ta có 
Do toạ độ A,B là nghiệm của hệ: 
Vậy min AB = xảy ra khi m = 0.
II. Cực trị của hàm đa thức bậc 4
1. Tóm tắt lý thuyết: 
a. Hàm số đa thức bậc 4 là hàm số có dạng y = ax4 + 3bx3 + 2cx + d = 0 ()
	y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d
b. Cực trị: 	(1)
	(1) có tối đa 3 nghiệm
	+ Nếu (1) có nghiệm thì hàm số có đúng 1 cực trị.
	+ Nếu (1) có 2 nghiệm giả sử x1, x2 thì có một nghiệm đơn là x1, một nghiệm kép là x2 hàm số có đúng một cực trị.
	+ Nếu (1)có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đạivà cực tiểu.
2. Các bài toán liên quan:
VD 1 : Cho hàm số . Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
	 Giải
Ta có 
+ Nếu cùng dấu 2x
Bảng biến thiên
 x	- 	0	
 	 	- 	0 	+
 y
 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán .
+ Nếu m > 0 
Bảng biến thiên
 x	 - 	 	0	
 	 	- 0	 +	0 - 	0 +
 y	
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán.
VD2: Tìm m để f(x) = x4- 2mx2 + 2m + m4 có CĐ, CT lập thành một tam giác đều.
 Giải
f’(x) = 4x3 – 4mx = 0 ú 
hàm số có CĐ, CT m > 0 khi đó f’(x) = 0 ú 
=> đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A (; m4 – m2 + 2m)
	B (; m4 – m2 + 2m )
	C (0; m4 + 2m)
Nhận xét rằng ABC cân đỉnh C (vì A, B đối xứng qua Oy, )
 đều 
VD3: xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu mà hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng.
Giải:
Ta có y’ = x3 – 3x2 – 9x + m = 0 ú x3 - 3x2 – 9x + m = 0 (1)
Yêu cầu bài toán ú (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
* Giả sử (1) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng 
khi đó x1 + x3 = 2x2 ú x1+ x2 + x3 = 3x2
	 ú 3x2 = 3 ú x2 = 1
Thay x2 = 1 vào (1) ta có m = 11
* Với m = 11 => (1) trở thành: x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0
	ú (x – 1) (x2 – 2x - 11) = 0
	ú 
Vậy m = 11 thoả mãn yêu cầu bài toán.
III. Cực trị của phân thức bậc 2/ bậc 1.
1. Tóm tắt lí thuyết.
a. Hàm phân thức bậc 2/bậc 1 có dạng y = 
có TXĐ : 
b. Có y’ = 
=> hàm số có cực trị ú y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
ú f(x) = amx2 + 2anx + bm – cn = 0 có hai nghiệm phân biệt ú 
c. Cách tính cực trị hàm số phân thực bậc 2/bậc 1.
Cho hàm số thoả mãn điều kiện có cực trị 
=> toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ.
Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2 => 
=> ứng dụng:
Nếu A(x1, y1) ; B (x2, y2) là hai điểm cực trị của hàm số y = 
Thì A, B thuộc đường thẳng có phương trình là y = 
Chú ý: Cách tính trên còn áp dụng cho các hàm số phân thức dạng nói chung (trừ bậc 1/bậc 1)
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị.
VD1: Cho hàm số xác định m để
a, Hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu.
b, Hàm số đạt cực đại tại x = 2
Giải:
Hàm số có cực đại, cực tiểu ú x2+2xm +m2-1 = 0 có hai nghiệm phân biệt 
Vậy với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn hệ:
=> 
Vậy các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y = 2x + m
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 => y’(2) = 0
+ Với m = -1 => 
Mà: 	
	y”(2) = 3 > 0 => hàm số không đạt cực đại tại x=2
+ Với m = - 3 => 
Mà 
	=> hàm số đạt cực đại tại x = 2
	Vậy m = -3 thoả mãn yêu cầu bài toán
VD2: Tìm a, b, c để có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiện cận xiên của đồ thị vuông góc với .
Giải
TXĐ:
Có y’ = = 
Hàm số đạt cực trị tại x=1 và có giá trị là 1
	Mặt khác: có tiệm cận xiên 
	là y = 2ax + 2a + b (khi 4a + 2b + c 0)
mà TCX vuông góc với 
 Thế vào (*) =>
Và hiển nhiên thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2: Sử dụng định lí viet vào giải các bài toán liên quan đến cực đại, cực tiểu.
VD1: Cho hs tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn (yCĐ - yCT) =4.
Giải
 TXĐ : 
Có 
Hàm số có cực đại, cực tiểu ú y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
ú f(x) = -x2 + 8x – m – 12 =0 có hai nghiệm phân biệt x # 4
ú 
Với m x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 8x + m + 12 = 0 (1)
Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:
Hay 
(yCĐ - yCT) = 4 ú 
Mà theo (1) có 
Kết hợp m m = 3
Vậy m = 3 thoả mãn yêu cầu bài toán.
VD2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị . Tìm m để tích các giá trị cực trị nhỏ nhất .
 Giải
TXĐ : 
Hàm số có cực đại, cực tiểu ú y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
ú f(x) = x2 – 2x + m2 – 3m + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
ú 
Với thì hàm số đạt cực trị tại x1, x2 là nghiệm của phương trình 
 x2 – 2x + m2 – 3m + 3 = 0 (1)
Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:
 	 => 	
	Vậy Min tại 
VD3: Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV).
Giải:
	TXĐ : 
	Có 
Hàm số có hai cực trị ú (1) có hai nghiệm phân biệt 
Khi đó (1) ú 
=> hai điểm cực trị là A (m, 3m2;+ 1); B (-3m, -5m2 + 1)
=> yêu cầu bài toán ú tìm m để 
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán
VD4: 
Tìm m để có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x
 Giải
 TXĐ : 
	Ta có 
Hàm số có cực đại, cực tiểu ú y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
ú - x2 + 2x – 2m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt 
ú . Khi m y = -2x + 2m
Hay các điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = -2x + 2m
Giả sử là 	A (x1; -2x1 + 2m)
	B (x2; -2x1 + 2m)
A, B nằm về phía của y = 2x hay y – 2x = 0
ú (y1 – 2x1) (y2 – 2x2) < 0 ú (-4x1 + 2m) (-4x2 + 2m) < 0
ú 16x1x2 – 8m (x1 + x2) + 4m2 < 0
Mà => 16(2m -5) – 16m + 4m2 < 0 ú m2 + 4m - 20<0
 ú .
Một số dạng toán khác
VD1: Tìm cực trị của hàm số 
Giải:
Ta có = 
	=> 
Có f(x) = 0 ú 
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
 x	 	 - 1	 	 	 
 	 -	+ 0	 -	 +
 y	 	 	 
	 0	 0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 và x = , giá trị cực tiểu y= 0 . Hàm số đạt cực đại tại x = , giá trị cực đại là y = .
VD2: Cho hàm số xác định m để : 
Hàm số không có cực trị .
Hàm số có cực đại .
Giải
ĐK: 
Ta có 
 a. Hàm số không có lực trị (*) Vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm không thoả mãn (a)
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán.
b. Hàm số có cực đại ú (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện (a) và y’ đổi dấu từ dương sang âm.
Vậy m < 0 thoả mãn yêu cầu bài toán.
VD3. Tìm m để hàm số y = -2x + 2 + m có cực đại.
Giải
TXĐ: R
Có 
Hàm số có cực đại => y” = 0 có nghiệm
Có 
y’ có nghiệm kết hợp m m < - 2
khi đó hàm số đạt cực đại tại x= 2- 
vậy m < -2 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Hệ thống bài tập
1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
	a.	b. y = 
	c. y = x – lnx	d. y = x . e-3x
	e. y = - 2x + 	f. y = ex. cosx
	g. y = x + 	h. y = 
2. Cho y = tìm m để.
	a. Hàm số có cực tiểu.
	b. Hàm số không có cực trị.
3. Cho y = mx + m xác định m để
	a. Hàm số không có cực trị.
	b. Hàm số có cực tiểu.
4. 	a. Tìm m để y = x3 – 3mx2 + (m - 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
	b. Tìm m để y = mx3 + 3mx2 - (m - 1) x – 1 không có cực trị.
5. 	a. Tìm m để y = x3 – 3mx2 + 4m3 có CĐ, CT đối xứng qua y = x.
	b. Tìm m để y =2 x3 – 3 (2m + 1) x2 + 6m (m + 1) x + 1 có cực đại, cực tiểu đối 	 xứng qua y = x + 2.
	c. Tìm m để y = x3 – 3 (m + 1) x2 + 2 (m2 + 7m + 2) x – 2m (m + 2) có cực đại. 	cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.
6. Tìm m để:
	a. Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của y = x
	b. y = x3 – 2 (sin a + cos a) x2 + x sin 2a + 1 có cực trị thoả mãn x1 + x2 = x12 + x22
	c. Hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3 có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua cực đại, 	cực tiểu song song với y = 2x + 1, vuông góc với x + y + 2 = 0, tạo ox góc 450.
7. Tìm m để:
	a. y = x4 + 8mx3 + 3 (2m + 1) x2 – 4 chỉ có ưu tiểu mà không có ưu đại.
	b. y= mx4 + (m - 1) x2 + 1 – 2m chỉ có một cực trị.
	c. y = có 3 cực trị và viết phương trình parabol qua 3 cực trị đó.
8. Xác định m để y = x4 – 2mx2 + m có cực đại, cực tiểu thoả mãn.
	a. Lập thành tam giác đều
	b. Lập thành tam giác vuông
	c. Lập thành tam giác có S = 4
9. Tìm m để:
	a. có cực trị.
	b. có cực trị.
	c. có cực trị.
10. Tìm m để:
	a. có hai lực trị trái dấu.
	b. có hai lực trị nằm 2 phía với oy.
	c. 	có cực đại, cực tiểu nằm 2 phía với ox.
	d. 	có cực đại, cực tiểu thoả mãn yCĐ. yCT > 0
	e. 	có cực đại, cực tiểu nằm 2 phía so với x – 2y – 1 = 0
	f. có cực trị thuộc góc (I) và cực trị thuộc góc (III)
11. Tìm m để:
	a. 	có cực đại, cực tiểu mà > 8
	b. có cực đại, cực tiểu mà khoảng cách từ hai điểm đó tới 
	x + y + 2 = 0 bằng nhau.
	c. 	có CĐ, CT thoả mãn 
12. 	a. Tìm m để có cực trị và tìm quỹ tích các điểm cực trị.
	b. Tìm m để có CĐ, CT. Tìm quỹ tích điểm cực đại.
	c. Tìm m để 	 có CĐ, CT và tìm quỹ tích các điểm cực trị.