Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 9: Dãy phân số theo quy luật

CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+102n-8 có giá trị là một số nguyên.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 21n+36n+4
Bài 3: Cho phân số: A = 633n+1 với n thuộc số tự nhiên.
Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
Bài tập tự luyện:
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+32n-2 có giá trị là số nguyên.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 8n+1934n+3 sao cho:
Có giá trị là số tự nhiên.
Là phân số tối giản
Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
A = 3n+4n-1
B = 6n-33n+1
DẠNG 2: TÍNH NHANH
Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
S = 1+13+132+133++13n
.
Bài 2: Tính các tổng sau:
A = 11.2+12.3+13.4++1999.1000
B = 11.6+16.11++1496.501
C = 11.2.3+12.3.4+13.4.5++1998.999.1000
D = 1+1+2+1+2+3++(1+2+3++98)1.98+2.97+3.96++98.1
Bài tập tự luyện:
A =
B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! 
C =
D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
 (50 chữ số 9) 
DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
n+12n-3
2n+34n+8
3n+25n+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho A =1 + 12+13+14++1100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
b) 
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi ta có:
Bài 6: Cho . Chứng minh 
Bài 7: Tổng 150+151++199 bằng phân số ab. Chứng minh rằng a chia hết cho 149.
Bài tập tự luyện:
Bài 8: Cho . Chứng minh: 
Bài 9: Cho . Chứng minh: 
Bài 10: Cho . Chứng minh C > 48
Bài 11: Cho . Chứng minh 
Bài 12: Cho . Chứng minh 
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
Bài 14: Cho . Chứng minh: 
Bài 15: Cho . Chứng minh: 
Bài 16: Cho . Chứng minh: 
Bài 17: Cho . Chứng minh: 
DẠNG 4: TÌM X
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x, biết rằng: 15.8+18.11+111.14++1x.x+3=1011540
Bài 2: Tìm x, biết rằng: 
Bài 3: Tìm x, biết rằng: 
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
Bài tập tự luyện:
Bài 5: 1 + 
Bài 6: 
Bài 7: 
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho và 
So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 +  + 1000 và B = 1.2.311
So sánh A và B?
Bài 3: So sánh với 
Bài 4: So sánh với 
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho A=1015+11016+1 và B=1016+11017+1
So sánh A và B?
Bài 2: Cho A=101992+1101991+1 và B=101993+1101992+1
So sánh A và B?
Bài 3: So sánh và 
Bài 4: So sánh:
637 và 1612
1327 và 1169
12439 và 18313
5299 và 3501
323 và 515
12723 và 51318
199010 + 19909 và 199110
3500 và 7300
9920 và 999910
202303 và 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
x3-4y=15
4x-y3=56
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:
5x-y3=16
x6-2y=130
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = n+102n-8 có giá trị là một số nguyên.
A = n+102n-8 => 2A = 2n-8+282n-8 = 1 + 282n-8 Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28
Ta có bảng đáp số: 
2n - 8
n
2A
A
Kết luận
-28
-10
-1
-1/2
L
-14
-3
-2
-1
TM
-7
½
-4
-2
L
-4
2
-7
-7/2
L
-2
3
-14
-7
TM
-1
7/2
-28
-14
L
1
9/2
28
14
L
2
5
14
7
TM
4
6
7
7/2
L
7
15/2
4
2
L
14
11
2
1
TM
28
18
1
1/2
L
Bài 3: Cho phân số: A = 633n+1 với n thuộc số tự nhiên.
Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
Hướng dẫn:
Ta có: A = 633n+1=3.3.73n+1
Để A rút gọn được 3n + 1 3 hoặc 3n + 1 7.
TH1: 3n + 1 3 (Vô lý)
TH2: 3n + 1 7. Với n = 7k + 2 (k Î N) thì 3n + 1 7.
Kết luận: n = 7k + 2 (k Î N) thì phân số A = 633n+1 rút gọn được.
Để A là số tự nhiên 63 (3n + 1) 3n + 1 là ước của 63.
Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63}
3n+1=13n+1=33n+1=73n+1=93n+1=213n+1=63⟺n=2 
DẠNG 2: TÍNH NHANH
Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
S = 1+13+132+133++13n
3S = 3 + (1 + 13+132+133++13n-13n)
3S = 3 + S - 13n
2S = 3 - 13n
S = 3 -13n2
2A = 1 + 12+122+123++12100-12100
2A = 1 +A - 12100
A = 1 - 12100
C = 32.43.54..10099 = 1002 = 50
.
Bài 2: Tính các tổng sau:
A = 11.2+12.3+13.4++1999.1000
A = 1 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + ..+ 1999 - 11000
A = 1 - 11000 = 9991000
B = 11.6+16.11++1496.501
B = 151-16+16-111++1496-1501= 
B = 151-1501 = 100501
C = 11.2.3+12.3.4+13.4.5++1998.999.1000
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ;
 1998.999 - 1999.100 = 2998.999.100
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
2C = 11.2 - 12.3 + 12.3 - 13.4 + + 1998.999 - 1999.1000 = 11.2 - 1999.1000
2C = 500.999-1999.1000 = 4951999.1000
C = 4999999.2000
D = 1+1+2+1+2+3++(1+2+3++98)1.98+2.97+3.96++98.1
D = 1.98+2.97+3.96++98.11.98+2.97+3.96++98.1 = 1
Bài tập tự luyện:
A =
A = 110-111+111-112+112-113++199-1100
A = 110-1100 = 9100 
B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! 
Ta có : 1! = 2! -1! 
2.2! = 3 ! -2! 
3.3! = 4! -3! 
..... ..... ..... 
n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy 
B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
C =
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 198.99 - 199.100 = 298.99.100
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
C = 11.2 - 12.3 + 12.3 - 13.4 + + 198.99 - 199.100 = 11.2 - 199.100
C= 50.99-199.100 = 495199.100
D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
(50 chữ số 9) 
D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + .+ 100.0(50 cs 0) - 1
D = 111.10(50 cs 1) – 50.1 = 111.1060(48 cs 1) 
S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 137.38 - 138.39 = 237.38.39
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
C = 11.2 - 12.3 + 12.3 - 13.4 + + 137.38 - 138.39 = 11.2 - 138.39
C = 19.39-138.39 = 37019.39
DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
n+12n-3
2n+34n+8
3n+25n+3
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho A =1 + 12+13+14++1100
Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
VT = 1312-15+15-18+18-111++13n-1-13n+2
= 1312-13n+2 = 133n2(3n+2) = n6n+4 = VP (đpcm)
b) 
	VT = 5413-17+17-111+111-115++14n-1-14n+3 
	= 5413-14n+3 = 54.4n3(4n+3) = 5n3(4n+3)
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi ta có:
Ta có VT = 3519-114+114-119+119-124++15n-1-15n+4
= 3519-15n+4 đpcm
Bài 6: Cho . Chứng minh 
A > 12.3 + 13.4 + 14.5 ++ 19.10 = 12 - 13 + 13 -14 ++ 19 - 110
= 12 - 110 = 410 = 25 (1)
A < 11.2+12.3 + 13.4 ++ 18.9 = 1 - 12 + 13 - 13 ++ 18 - 19 = 1 - 19 = 89 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 7: Tổng 150+151++199 bằng phân số ab. Chứng minh rằng a chia hết cho 149.
Bài tập tự luyện:
Bài 8: Cho . Chứng minh: 
Ta có: 2(2n+1)2 < 22n.(2n+2) = 12n - 12n+2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
Ta có: A < 12 - 12008 = 10032008 (đpcm)
Bài 9: Cho . Chứng minh: 
Ta có: 142 < 13.4 ; 162 < 15.6 ;  ; 120062 < 12005.2006
B = 142 + 162 + + 120062 < 13.4 +15.6 + + 12005.2006
Bài 10: Cho . Chứng minh C > 48
C có 49 số hạng
Ta có: C – 49 = -(1 - 34 + 1 - 89 + 1 - 1516 + + 1 - 24992500)
C – 49 = - 14+19+116++12500 
C = 49 - 14+19+116++12500 = 49 – D
Xét D = 14+19+116++12500 = 122 + 132 + + 1502 
D < 11.2 + 12.3 +  + 148.49 = 1 - 12 + 12 - 13 + + 148 - 149 = 1 - 149 < 1
D 49 – D > 49 – 1 = 48
C > 48 (đpcm)
Bài 11: Cho . Chứng minh 
Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + + n = n(n+1)2
M = 23.4 + 24.5 + + 259.60 = 213.4+14.5+ +159.60 
= 213-14+14-15+159-160 = 2 13-160 = 2.1960 = 1930 < 2030 = 23
M < 23 (đpcm).
Bài 12: Cho . Chứng minh 
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét: 
11.2 - 12.3 = 21.2.3 ; 12.3 - 13.4 = 22.3.4; ; 118.19 - 119.20 = 218.19.20
Tổng quát: 1n.(n+1) - 1(n+1).(n+2) = 2n.n+1.(n+2)
Do đó: 2A = 21.2.3 + 22.3.4 + + 218.19.20 
= 11.2-12.3 + 12.3-13.4 ++ 118.19-119.20 
= 11.2 - 119.20 = 189380 
A = 189760 < 190760 = 14 (đpcm)
Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
A < 11.2.3 + 12.3.4 + 13.4.5 + + 1(n-1)n(n+1)
Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng:
1(n-1)n(n+1) = 12 . 1n(n-1)-1n(n+1)
Từ đó suy ra: 
A < 12.11.2-12.3+12.3-13.4++1n-1.n-1n.(n+1)
= 12.12-1n.(n+1) < 12.12 = 14 (đpcm)
Bài 14: Cho . Chứng minh: 
Hướng dẫn giải:
⟺
⟺4
⟺ 3C = 5 - 5499 
⟺ C < 53
Bài 15: Cho . Chứng minh: 
Hướng dẫn giải:
⟺ 
⟺ 
⟺ (1)
⟺ (2)
Từ (1), (2) suy ra:
⟺ 
Bài 16: Cho . (1) Chứng minh: 
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó:
C < 23.45.67..200201 (2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C2 < (12.34.56..199200).(23.45.67..200201)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 1201
Vậy C2 < 1201 (đpcm)
DẠNG 4: TÌM X
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x, biết rằng: 15.8+18.11+111.14++1x.x+3=1011540 
ó 13.(15 - 18 + 18 - 111 + 111 - 114 +  + 1x - 1x+3 ) = 1011540
ó 13.(15 - 1x+3) = 1011540
ó 15 - 1x+3 = 1011540.3 = 3031540
ó 1x+3 = 15 - 3031540 = 1308
ó x + 3 = 308
ó x = 305
Bài 2: Tìm x, biết rằng: 
 x - 3x8 = 454 
ó 5x = 90
ó x = 18
Bài 3: Tìm x, biết rằng: 
ó (x – 5).30 = 200x + 500
ó(x – 5).3 = 20x + 50
ó 3x – 15 = 20x + 50
ó 17x = -65
ó x = -6517
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
ó x(x+1)2 = 820
ó x(x+1) = 1640 = 40.41
Vậy x = 40
DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho và 
So sánh A và B?
Ta có:
10A = 102005+10102005+1 = 1 + 9102005+1
10B = 102006+10102006+1 = 1 + 9102006+1
Vì 9102005+1 > 9102006+1 nên 10A > 10B, do đó A > B.
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 +  + 1000 và B = 1.2.311
So sánh A và B?
Ta có: A = 1+1000.10002 < 103.103 = 106 
B = (2.5).(3.4).(6.7).(8.9).10.11 > 106
Vậy A < B
Bài 3: So sánh với 
Ta có : L = 12.23.34.  .1920 = 120 > 121
Vậy L > 121
Bài 4: So sánh với 
Ta có: 
M = 34 . 89 . 1516..99100 = 1.3.2.4.3.5 ... 8.10. 9.1122.32.4292.102 = 1.2.39.(3.411)(1.2.310)(1.2.310) = 110.112 = 1120<1119
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho A=1015+11016+1 và B=1016+11017+1
So sánh A và B?
Ta có:
10A = 1016+101016+1 = 1 + 91016+1
10B = 1017+101017+1 = 1 + 91017+1
Vì 91016+1 > 91017+1 nên 10A > 10B, do đó A > B.
Bài 2: Cho A=101992+1101991+1 và B=101993+1101992+1
So sánh A và B?
Áp dụng tính chất: nếu ab > 1 thì a+mb+m 0)
Vì B > 1 nên 
B = 101993+1101992+1 > 101993+1+9101992+1+9 = 101993+10101992+10 = 10.(101992+1)10.(101991+1) = 101992+1101991+1 = A
Vậy A < B
Bài 3: So sánh và 
Ta có: U = 1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.3921.2.11.23.3.23.25.2.13.27.7.2.2.29.2.15.31.25.33.2.17.35.9.22.37.2.19.39.5.23 
U = 12.23.2.22.2.25.2.22.2.23 = 1220
Vì 1220 U < V
Bài 4: So sánh:
637 và 1612
637 < 647 = (82)7 = 814 
1612 = (24)12 = 248 = 23.16 = (23)16 = 816
814 < 816 nên 637 < 1612
1327 và 1169
1327 = 1257= 1235
1169= 1249= 1236 
Ta có : 235 1236 => 1327 > 1169
12439 và 18313
1359=1345 và 18313 < 18113= 13413=1352
1345> 1352 => 12439 > 18313
5299 và 3501
5299 < 5300 = (53)100 < (35)100 = 3500 < 3501
Vậy 5299 < 3501
323 và 515
323 = 9.(33)7 > 5.(52)7 = 515
12723 và 51318
12723 < 12823 = (27)23 = 2161
51318 > 51218 = (29)18 = 2162
Vì 2162 > 2161 nên 51318 > 12723
199010 + 19909 và 199110
19909.(1990+1) = 1991.19909
199110 = 1991.19919
Vì 19919 > 19909 nên 1991.19919 > 1991.19909 => 199110 > 199010 + 19909
3500 và 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
Vì 243100 3500 < 7300 
9920 và 999910
9920 = (992)10 = (99.99)10 = 9910. 9910 
999910 =( 101.99)10 = 10110 . 9910 
Vì 101> 99 nên 10110 > 9910 
=> 10110 . 9910 > 9910. 9910 
Vậy 999910 > 9920
202303 và 303202
Vì 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101
Và 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Mà (808.1012)101 > (9.1012)101 nên 202303 > 303202
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
x3-4y=15
Đkxđ : y ≠ 0
x3-4y=15
ó xy-123y = 15
ó 5xy – 60 = 3y
ó y(5x – 3) = 60
ó y = 605x-3
Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60
Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3
Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30
4x-y3=56
Đkxđ: x ≠ 0
4x-y3=56
ó 12-xy3x = 56
ó 24 – 2xy= 5x
ó x(5 + 2y) = 24
ó x = 245+2y
Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có giá trị nào của x, y thỏa mãn.
Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho:
5x-y3=16
Đkxđ: x≠0
5x-y3=16
 30-2xy6x = x6x
 x+2xy=3
 x = 301+2y
x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có:
2y+ 1
1
-1
3
-3
5
-5
15
-15
2y
0
-2
2
-4
4
-6
14
-16
y
0
-1
1
-2
2
-3
7
-8
x
30
-30
10
-10
6
-6
2
-2
x6-2y=130
Đkxđ : y ≠ 0
x6-2y=130
ó xy-126y = 130
ó 5xy-6030y = y30y 
ó5xy – 60 = y
ó5xy – y = 60
óy (5x – 1) = 60
ó y = 605x-1 
Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có:
5x – 1
-1
4
-6
5x
0
5
-5
x
0
1
-1
y
-60
15
-10