Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 3: Lũy thừa trong số tự nhiên

CHUYÊN ĐỀ 3: LŨY THỪA TRONG SỐ TỰ NHIÊN
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
410.815
415.530
210. 13 +210. 6528. 104
(1 + 2 + 3 +  + 100).(12 + 22 + 32 +  + 102). (65.111 – 13.15.37)
19991999.1998 – 19981998.1999
101+100+99+98++3+2+1101-100+99-98++3-2+1
631
323
11.322.37-915(2.314)2
 9! – 8! – 7! . 82 
 2716 : 910 
DẠNG 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430 
4931 
8732 
5833 
2335 
2101
319
2 + 22 + 23 + + 220.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau:
5151
9999
6666
DẠNG 3: SO SÁNH LŨY THỪA VỚI LŨY THỪA
2711 và 818
6255 và 1257
536 và 1124
32n và 23n
523 và 6.522
19920 và 200315
399 và 1121
DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Tìm x ∈N biết:
(x - 47) – 115 = 0
2x – 15 = 17
(7x - 11)3 = 25.52 + 200
x10 = 1x
x10 = x
(2x - 15)5 = (2x - 15)3
2.3x = 10.312 + 8.274
HƯỚNG DẪN – ĐÁP ÁN
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
410.815 = (22)10 . (23)15 = 220.245 = 265
415.530 = (22)15.530 = 230.530 = (2.5)30 = 1030
210. 13 +210. 6528. 104 = 210. (13 +65)28. 104= 211.39211. 13 = 3913 =3
(1 + 2 + 3 +  + 100).(12 + 22 + 32 +  + 102). (65.111 – 13.15.37)
= (1 + 2 + 3 +  + 100).(12 + 22 + 32 +  + 102). (13.5.3.37 - 13.15.37)
= (1 + 2 + 3 +  + 100).(12 + 22 + 32 +  + 102). 0 = 0
19991999.1998 – 19981998.1999 = 1999.10001.1998-1998.10001.1999=0
101+100+99+98++3+2+1101-100+99-98++3-2+1 = 101.(101+1)2 : 1+1+1++151 chữ số 1 =101.5151 = 101
631= 63 = 216
323=38 = 6561
11.322.37-915(2.314)2 = 11.329-33022.328 = (11.3-32)32822.328 = 244 = 6
 9! – 8! – 7! . 82 = 8!.(9 – 1) - 7! . 82 = 8.8.7! - 7! . 82 = 82.7! - 7! . 82 = 0
 2716 : 910 = (33)16 : (32)10 = 348 : 320 = 328
DẠNG 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430 Luỹ thừa của một số có tận cùng bằng 4 là một số có tận cùng bằng 6 nếu số mũ chẵn, tận cùng bằng 4 nếu số mũ lẻ. 30 là số chẵn nên 7430 có tận cùng bằng 6 .
4931 Luỹ thừa của một số có tận cùng bằng 9 là một số có tận cùng bằng 1 nếu số mũ chẵn, tận cùng bằng 9 nếu số mũ lẻ. 31 là số lẻ nên 4931 có tận cùng bằng 9
8732 = (874)8 Ta có các số có tận cùng 7 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Những số có tận cùng bằng 1 dù nâng lên luỹ thừa bao nhiêu thì tận cùng cũng bằng 1. Vậy 8732 có tận cùng bằng 1
5833 Ta có các số có tận cùng 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau: 5833 = (584)8.58=(6)8.58 = (8). Vậy 5833 có tận cùng bằng 8.
2335 Ta có các số có tận cùng 3 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1.Do đó ta biến đổi như sau: 2335 = (234)8.233 = (1)8.(7). Vậy 2335 có tận cùng bằng 7.
2101 Ta có các số có tận cùng 2 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6.Do đó ta biến đổi như sau: 2101 = (24)25.2 = 1625.2 = (6).2 = (2). Vậy 2101 có tận cùng bằng 2
319 Ta có các số có tận cùng 3 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1.Do đó ta biến đổi như sau: 319 = (34)4.33 = (1)4.27 = 7. Vậy 319 có tận cùng bằng 7.
2 + 22 + 23 + + 220.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau:
5151
5151 = (512)25 .51.Một chữ số có tận cùng bằng 01 dù nâng lên bất kì luỹ thừa tự nhiên nào cũng có tận cùng vẫn bằng 01 nên 5151 có tận cùng bằng 51.
9999
(992)49 . 9 = 980149 . 9
Một chữ số có tận cùng bằng 01 dù nâng lên bất kì luỹ thừa tự nhiên nào cũng có tận cùng vẫn bằng 01 nên 980149 có tận cùng bằng 01. Do đó, 9999 có tận cùng bằng 99.
6666
Ta có 65 có tận cùng bằng 76. Một số tận cùng bằng 76 dù nâng lên bất kì một số tự nhiên nào khác 0 nào cũng vẫn tận cùng bằng 76. Do đó 6666 = (65)133.6 = (76)133.6 = (76).6 = (56) . Vậy 6666 có tận cùng là 56
DẠNG 3: SO SÁNH LŨY THỪA VỚI LŨY THỪA
2711 và 818
Ta có: 2711 = (33)11 = 333 và 818 = (34)8 = 332
333 > 332 nên 2711 > 818
6255 và 1257
Ta có: 6255 = (54)5 = 520 và 1257 = (53)7 = 521
520 < 521 nên 6255 < 1257
536 và 1124
Ta có 536 = (53)12 = 12512
1124 = (112)12 = 12112 < 12512
536 > 1124
32n và 23n
Ta có : 32n = 9n; 23n = 8n
9n > 8n => 32n > 23n
523 và 6.522
Ta có: 6.522 = (5 + 1).522 = 5.522 + 522 = 523 + 522 > 523 
vậy 523 < 6.522
19920 và 200315
19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52)20 = 260.540
200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53)15 = 260.545
Vậy 200315 > 19920 
399 và 1121
1121 < 2721 = (33)21 = 363 < 399
vậy 399 > 1121
DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1: Tìm x ∈N biết:
(x - 47) – 115 = 0
ó x – 47 = 115
ó x = 115 + 47
ó x = 162
2x – 15 = 17
ó 2x = 32
ó 2x = 25
ó x = 5
(7x - 11)3 = 25.52 + 200
ó (7x – 11)3 = 32.25 + 200
ó (7x – 11)3 = 800 +200
ó(7x – 11)3 = 1000
ó (7x – 11)3 = 103
ó 7x – 11 = 10
ó 7x = 21
ó x = 3
x10 = 1x
ó x10 = 1 
ó x = 1
x10 = x 
ó x = 0x=1
(2x - 15)5 = (2x - 15)3
ó (2x – 15)3 .[(2x – 15)2 – 1] = 0
ó 2x-15 = 02x-15-1=0
ó x = 15/2x=8
2.3x = 10.312 + 8.274
ó 3x = 5.312 + 4.312
ó 3x = 312.(5 + 4)
ó 3x = 312.32 = 314
ó x = 14