Chuyên đề Bất đẳng thức Hình học

Tiền bạc ư ? 
Rồi sẽ hết.
Sắc đẹp ư ?
Rồi sẽ phai 
Chỉ có :
Tri thức đi vào khồi óc
Tình cảm đi vào con tim .
Sẽ còn 
 	Sống mãi với thời gian.
 (Trần Phương 1990)
Cuộc sống của mỗi người liên tục là sự kiếm tìm và khẳng địng giá trị bản thân. Mỗi vật có chỗ đứng trong thế giới luôn thay đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta không nhận ra rằng mọi vật chỉ có thể nhận giá trị trong quan hệ so sánh. Chính quan hệ đó đã tạo ra các bất đẳng thức và hơn thế nữa là Bất đẳng thức Hình học trong cuộc sống.
 	Vì thế tôi kính gừi đến quí thầy cô và các bạn chuyên đề vế “Bất đẳng thức Hình học”, tôi mong muốn nó sẽ là một người bạn thân thiết của những người yêu Toán học.
Trong quá trình soạn thảo, dù rất cố gắng, nhưng chắc chắn chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định và tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quí thầy cô và các bạn.
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về hình học và một số bất đẳng thức thường dùng...4
Chương 2: Bất đẳng thức Hình học......13 
Bất đẳng thức trong tam giác.....13 
Bất đẳng thức trong đa giác giác và trong hình tròn..23 
Bất đằng thức về diện tích .31
Bất đẳng thức khác 36
Chương 3: Bài tập tự rèn luyện về bất đẳng thức Hình học 47
Phụ lục: Sơ lược vài nét về Lịch sử Toán học 52
(O) : Đường tròn tâm O	
(O; R) : Đường tròn tâm O, bán kính R	
DABC : Tam giác ABC
SABC : Diện tích DABC 
(ABC) : Đường tròn ngoại tiếp DABC
a,b,c : Độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của DABC
ha, hb, hc : Độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của DABC 
ma, mb, mc	: Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của DABC
la, lb, lc : Độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C của DABC
R, r : Bán kính các đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác
ra, rb, rc : Bán kính các đường tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C của DABC
đpcm : Điều phải chứng minh
2p : Chu vi của tam giác
Ở chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học và một số bất đẳng thức thường sử dụng. Chương 1 gồm 2 phần:
Các kiến thức cơ bản về hình học
Một số bất đẳng thức thường dùng
Các kiến thức cơ bản về hình học: 
Định lí 1: Gọi R và r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp DABC, d là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của DABC. Khi đó,ta luôn có 2Rr = R2 – d2
Định lí 2: Cho DABC. Nếu thì AC > AB và ngược lại
Định lí 3: Cho trước DABC và DA’B’C’ có 2 cặp cạnh AB = A’B’ và AC = A’C’. Ta có bất đẳng thức khi và chỉ khi BC > B’C’.
Định lí 4: Trong những đường xiên nối một điểm M cho trước với điểm N trên một dường thẳng d cho trước, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn (tương tự cho một mặt phẳng (P) bất kì)
Định lí 5: Trong những đường xiên nối một điểm M cho trước với điểm N trên một mặt phẳng (P) cho trước, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn
Định lí 6: 2 tam giác vuông ABC và A’B’C’ có và AB = A’B’. Nếu thì AC ≥ A’C’
Định lí 7: Trong góc tam diện, mỗi mặt nhỏ hơn tổng hai mặt kia
Định lí 8: Tổng các mặt của một góc đa diện lồi nhỏ hơn 2π
Định lí 9: Tổng các góc nhị diện trong một góc tam diện lớn hơn π và nhỏ hơn 3π
Định lí 10: Bán kính của hai đường tròn là R ≥ r, còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là R – r £ d £ R + r
Định lí 11: Các số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác khi và chỉ khi a + b > c, b + c > a và c + a > b
Định lí 12: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì thuộc miền trong của tam giác.Khi đó ta luôn có: MB + MC < AB + AC	
Định lí 13: Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài hơn là đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác ngắn hơn
Định lí 14: Trong tam giác ABC kí hiệu ha là độ dài đường cao, la là độ dài đường phân giác, ma là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A thì ta có bất đẳng thức : ma ≥ la ≥ ha
Định lí 15: Đường trung tuyến AM của tam giác ABC nhỏ hơn nửa tổng các cạnh AB và AC cùng xuất phát từ một đỉnh A
Định lí 16: Hình tròn nội tiếp là hình tròn lớn nhất có thể chứa trong nột tam giác
Định lí 17: Một tứ giác lồi bị chứa trong một tứ giác khác ( không nhất thiết là lồi ) thì chu vi của tứ giác bị chứa sẽ nhỏ hơn chu vi của tứ giác chứa nó bên trong
Định lí 18: Trong nửa mặt phẳng bị chia ra bởi đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có 2 đường gấp khúc AC1C2CkB và AD1D2DpB sao cho 2 đa giác AC1C2CkB và AD1D2DpB là 2 đa giác lồi. Nếu đa giác AC1C2CkB chứa đa giác AD1D2DpB bên trong nó thì đường gấp khúc AC1C2CkB dài hơn đường gấp khúc AD1D2DpB
Định lí 19: Một đa giác bất kì có chu vi không nhỏ hơn chu vi của đa giác tạo bởi bao lồi của nó
Định lí 20: Nếu một đa giác lồi chứa đa giác lồi khác thì chu vi của đa giác ngoài lớn hơn chu vi của đa giác nằm trong nó
Định lí 21: Độ dài đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn khoảng cách lớn nhất nối 2 đỉnh của nó
Định lí 22: Cho (O; r) và 1 điểm M bất kì trong nó. Khi đó ta có : 
R – d ≤ MN ≤ R + d 
Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn
Định lí 23: Cho (O; r) và điểm M bất kì ngoài đường tròn. Khi đó ta có : 
d – R ≤ MN ≤ d + R
Định lí 24: Cho trước điểm M trong hình tròn tâm O. Trong các dây cung qua M, dâycungvuông góc với MO có độ dài nhỏ nhất
Định lí 25: Gọi P là giao điểm của 2 đường tròn ( O1 ) và ( O2 ). Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≤ 2O1O2 cho mọi dây cung qua P.Dấu  « = » xảy ra Û MN // O1O2
Định lí 26: Diện tích tam giác ABC không lớn hơn 
Định lí 27: Diện tích của tứ giác ABCD không vượt quá 
Định lí 28: Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đều có diện tích lớn nhất.
Nguyên lí đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB là con đường ngắn nhất nối hai điểm A và B cho trước trên mặt phẳng. 
Þ Ta có các hệ quả sau:
 1/ Tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba của nó.
 2/ Đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước luôn có độ dài lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB.
 3/ Độ dài của cung AB trên một đường tròn cho trước đi qua A và B lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB.
Nguyên lí đường vuông góc ngắn hơn đường xiên: Đoạn vuông góc bao giờ cũng ngắn hơn đường xiên.
Định lí cạnh và góc trong tam giác: Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.
Hệ thức lượng trong tam giác :
Trong tam giác vuông :
AB2 + AC2 = BC2
BH.BC = AB2
AH2 = BH.CH
Trong tam giác thường
Định lí hàm Cos:
Định lí hàm số Sin:
Các công thức tính diện tích:
Bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp:
Công thức tính độ dài trung tuyến:
Công thức tính độ dài phân giác:
Phép toán vector: 
Phép cộng vector: 
Quy tắc 3 điểm: 
Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì 
Phép trừ vector:
Quy tắc: 
Tích vector với 1 số: 
Cho số k ≠ 0 và . Tích vector a với số k là một vector kí hiệu , cùng hướng vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng 
Tích vô hướng của hai vector:
Cho khác vector 0 . Ta có : 
Một số điểm đặc biệt trong tam giác:
Điểm Lemoine:
Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của lấy các điểm tương ứng sao cho (các đường là các đường đối trung). Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm L gọi là điểm Lemoine.
Tính chất: Cho, L là điểm trong tam giác. Gọi H, K, N theo thứ tự là hình chiếu của L trên BC, CA, AB. Khi đó L là điểm Lemoine của khi và chỉ khi L là trọng tâm của khi và chỉ khi 
Điểm Toricelli: Cho có các góc đều nhỏ hơn . Khi đó tồn tại duy nhất điểm T có tính chất cùng nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới các góc . Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của .
Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone.
Điểm Naghen: Các đường tròn bàng của tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm N gọi là điểm Naghen.
Các phép biến hình:
Cho trước 1 tập hợp T các điểm. Một Phép biến hình trong tập hợp T là 1 ánh xạ 1-1 của T vào chính nó. Với mỗi diểm M Î T, ta kí hiệu ảnh của M là và gọi M là tạo ảnh của điểm 
Với các phép biến hình trong tập hợp điểm T cho trước, cần biết những tính chất sau đây:
Tích của 2 phép biến hình trong T là 1 phép biến hình trong T.
Phép đồng nhất biến mỗi điểm M Î T thành chính nó cũng là 1 phép biến hình trong tập hợp T
Cho trước 1 phép biến hình : thì ánh xạ là nghịch đảo của cũng là 1 phép biến hình trong tập hợp T 
Các tính chất hiển nhiên của phép dời hình:
Phép dời hình bảo toàn độ lớn của góc
Phép dời hình biến 1 điểm thành 1 điểm, 1 đoạn thẳng thành một đoạn thẳng ... bảo tồn quan hệ thuộc nhau của các yếu tố hình học
Phép dời hình biến 1 hình H thành một hình H’ bằng chính nó
Tích của 2 phép dời hình là một phép dời hình
Một số phép dời hình quan trọng:
Phép tịnh tiến theo : là phép biến hình trong mặt phẳng hoặc trong không gian sao cho vector nối tạo ảnh và ảnh luôn bằng 1 vector cho trước. Tích của 2 phép tịnh tiến theo và là phép tịnh tiến theo 
Phép quay quanh tâm O với góc a: là phép biến hình trong mặt phẳng sao cho với mỗi điểm M của mặt phẳng và ảnh M’ của nó ta luôn có góc bằng a. Tich của 2 phép quay cùng tâm O với góc a và b là phép quay quanh O với góc a + b
Phép đối xứng qua tâm O: là phép biến hình trên mặt phẳng hoặc trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho doạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm của nó. Phép đối xứng qua tâm O trên mặt phẳng thực chất là phép quay góc 1800 quanh điểm O
Phép đối xứng qua đường thẳng (trục) d: là phép biến hình trên mặt phẳng hoặc trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d là đường trung trực
Phép quay góc a quanh trục d: là phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho điểm M’ nằm trên mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d và sao cho . Khi góc a = 1800 thì phép quay quanh trục thực chất là phép dối xứng trục trong không gian
Một số phép biến hình không luôn là phép dời hình:
Phép vị tự hệ số k ≠ 0 với tâm vị tự O: là phép biến hình trong không gian và mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho 
Phép nghịch đảo hệ số k ≠ 0 với tâm nghịch đảo S: là phép biến hình trong tập hợp điểm khác S trong không goan hoặc trong tập hợp điểm khác S trên mặt phẳng biến mỗi điểm M ≠ S thành điểm M’ sao cho . Phép nghịch đảo có các tính chất sau:
Phép nghịch đảo biến đường tròn đi qua nó thành đường thẳng không đi qua nó và ngược lại
Phép nghịch đảo với tâm S và hệ số k = PS/(O) là phương tích của S đối với đường tròn (O) biến đường tròn (O) thành chính nó
Tích của 2 phép nghịch đảo tâm S với hệ số k1 và k2 là phép đồng dạng tâm S với hệ số 
Phép nghịch đảo tâm S với hệ số k biến đường tròn (O) không đi qua nó thành đường tròn là ảo ảnh của (O) trong phép đồng dạng tâm S hệ số 
Các bất đẳng thức thường dùng :
Bất đẳng thức Cauchy:
Với n ≥ 2 số dương tùy ý x1, x2, , xn ta có trung bình cộng của chúng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.
Bất đẳng thức BCS:
Cho trước 2 bộ n ≥ 1 số thực tùy ý x1, x2, , xn và y1, y2, , yn ta có bất đẳng thức :
Bất đẳng thức Minkowski:
Định lí 29: Cho trước n góc ta có các bất đẳng thức sau:
Định lí 30: Cho trước n góc ta có các bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Plotemy:
Cho 4 điểm A, B, C, D trên mặt phẳng ta luôn có:
AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD
Dấu “=” xảy ra Û Tứ giác ABCD nội tiếp
	Ở chương 2, chúng ta sẽ bất đầu bước vào thế giới của những bất đẳng thức Hình học mà tiêu biểu nhưm trong tam giác, tứ giác hay thậm chí là đa giác, . Chương này sẽ bao gồm những nội dung như sau:
Bất đẳng thức trong tam giác
Bất đẳng thức trong đa giác và trong hình tròn
Bất đẳng thức về diện tích
Bất đẳng lượng giác
Một số phương pháp đặc biệt trong Hình học
	Đây có lẽ là hình đơn giản nhất trong các đa giác, và trong thực tế ta vẫn có thể chia mọi đa giác thành những tam giác.
	Chúng ta sẽ khởi đầu bằng việc chứng minh Định lí 10, Định lí 11 và Định lí 12
Định lí 10: Bán kính của hai đường tròn là R ≥ r, còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là R – r £ d £ R + r.
Chứng minh
 b)
Nếu 2 đường tròn đã cho ở ngoài nhau như hình a) thì bằng những tính toán đơn giản ta có R + r > d.
Nếu 2 đường tròn này chứa nhau như hình b) thì cũng bằng những tính toán đơn giản ta có được d < R – r.
Nếu 2 đường tròn đã cho cắt nhau tại 1 điểm M thì theo bất đẳng thức về 3 cạnh của một tam giác O1O2M, ta có R – r ≤ d ≤ R + r.
Và ngược lại, nếu ta có R – r ≤ d ≤ R + r, thì 2 đường tròn đã cho không thể ngoài nhau hoặc chứa nhau được. Do đó chúng chỉ có thể cắt nhau.
Định lí 11: Các số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác khi và chỉ khi a + b > c, b + c > a và c + a > b
Chứng minh
Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì theo bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác a + b > c, b + c > a và c + a > b. Ngược lại, nếu có a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức a + b > c, b + c > a và c + a > b thì ta có thể chọn 2 điểm A và B trên mặt phẳng cách nhau 1 khoảng cách c. Lấy A và B làm tâm dựng 2 đường tròn có bán kính tương ứng là b và a. Từ bất đẳng thức a + b > c, b + c > a và c + a > b ta dễ dàng có bất đẳng thức . Theo Định lí 10 thì 2 đường tròn tâm A và B phải cắt nhau tại điểm C. Vậy độ dài a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức a + b > c, b + c > a và c + a > b là độ dài của 3 cạnh tam giác ABC theo cách dựng trên.
Định lí 12: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì thuộc miền trong của tam giác.Khi đó ta luôn có: MB + MC < AB + AC
Chứng minh
Kéo dài BM về phía M cắt cạnh AC tại điểm N. Theo Định lí 11 ta có:
	AN + AB > BN = BM + MN
	MN + NC > MC
Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức trên rồi cùng trừ đi 2 vế đại lương MN, ta thu được đpcm.
	Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta luôn có
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Lời giải
Áp dụng Định lí 11, ta được:
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được đpcm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có
Lời giải
Theo Định lí 11, ta suy ra a + b – c > 0 nên ta có:
 	a2(a + b – c) ≥ 0	(1)
b2(c + a – b) ≥ 0	(2)
c2(a + b – c) ≥ 0	(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) rồi khai triển, rút gọn ta được đpcm.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có
Lời giải
Ta chứng minh được đẳng thức: 
Từ đó, ta có: 
Áp dụng Định lí 11,do đó 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được: 
Vậy bất dẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có được bất đẳng thức sau
Lời giải
Áp dụng Định lí 11, ta có:
a + b – c > 0
b + c – a > 0
c + a – b > 0
Ngoài ra áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được với x và y là các số dương
Đặt và áp dụng bất đẳng thức vừa nêu trên ta chứng minh được
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) Þ đpcm.
Ở trên ta đã tìm hiểu cách chứng minh Định lí 10, Định lí 11, Định lí 12 và làm quen với một số bất đẳng thức trong tam giác. Sau đây là một số bài tập để bạn đọc rèn luyện:
Bài 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các số dương a, b, c là độ dài của 3 cạnh tam giác là tồn tại các số dương x, y, z sao cho a = y + z, b = z + x và c = x + y.
	HD:
Nếu a = y + z, b = z + x và c = x + y thì hiển nhiên a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Ngược lại, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì ta đặt thì cũng hiển nhiên ta có a = y + z, b = z + x và c = x + y.
Bài 2: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.CMR:
HD: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức thành 
Kết hợp với Định lí 11, ta có đpcm.
Bài 3: Cho DABC với A ≥ B ≥ C. Chứng minh rằng: 
HD: 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 
Từ giả thiết Þ a ≥ b ≥ c Þ (2) đúng nên (1) đúng.
Bài 4: Trong tam giác, chứng minh rằng: 
HD: Theo Định lí 11, ta có:a + b – c > 0; b + c – a > 0 và a + c – b > 0 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta chứng minh được: 
Lại dùng Cauchy ta chứng minh: 
Vậy 
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB ≥ AC và một điểm M nằm trên cạnh BC. CMR: AB ≥ AM 
	HD: 
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC
Suy ra HM ≤ max{HB, HC} và theo Định lí về đường vuông góc và đường xiên, ta có đpcm.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của DABC thì tồn tại DMNP với độ dài 3 cạnh là 
	HD: Giả sử a ≥ b ≥ c. Như vậy ta suy ra m ≥ n ≥ p.
Ta cần chứng minh n + p > m là đủ.Bất đẳng thức này đúng vì n2 + p2 = b + c > a = m2
Bài 7: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có:
HD: Xét DMNP có 
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp DMNP thì 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương R ≥ 2r (suy trực tiếp từ Định lí 1)
Bài 8: Chứng minh rằng DABC có hai đường phân giác trong BD và CE bằng nhau thì cân tại đỉnh A.
HD: 
Sử dụng Phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử DABC không cân và . Xét DDBC và DECB thì theo Định lí 3 ta có CD > BE.
Dựng hình bình hành BDCD’ thì 
Mặt khác thì DCED’ cân và . Do đó, ta có: 
Mà ta chứng minh được: 
Từ (1) và (2) Þ mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy suy ra đpcm.
Bài 9: Cho DABC nhọn và M là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi dA, dB, dC lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
HD : Ta chứng minh được 
Áp dụng bất đẳng thức BCS một lần nữa ta chứng minh kết hợp với bất đẳng thức trên ta được đpcm.
Bài 10: Cho O là 1 điểm bất kì trong DABC. Chứng minh rằng p < OA + OB + OC < 2p
HD:Theo Định lí 11, ta chứng minh được p < OA + OB + OC
Áp dụng Định lí 12, ta chứng minh được 2( OA + OB + OC) < 2(AB + BC + CA)
Vậy p < OA + OB + OC < 2p
Bài 11: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có 
	HD: Gọi M là trung điểm của AB và C’ là đối xứng của C qua M.
Ta chứng minh được AB + AC > 2CM (Chú ý:C’B = AC và CB + BC’ > CC’)
Nên 
Vì CM > CA – AM và CM > CB – BM nên 2CM > CA + CB – AB
Nên 
Bài 12: Chứng minh rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC không vượt quá , với AD là độ dài đường phân giác của góc vuông A.
	HD:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC
Ta chứng minh được AD = AI + ID ≥ 
Bài 13: Tồn tại hay không một tam giác có độ dài 3 đường cao là ha = 6m, hb = 10m và hc = 15m
	HD:Ta phải chứng minh bài toán sau:
	Trong tam giác ABC với BC ≠ AC thì . Thật vậy, độ dài các cạnh tam giác ABC sẽ là 
Áp dụng Định lí 11 ta có đpcm
Áp dụng bài toán trên ta suy ra không tồn tại tam giác thỏa bài toán.
Bài 14: Chứng minh rằng
	HD:Với h, l, m lần lượt là đường cao, đường phân giác trong, đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh của tam giác.Ta dễ dàng chứng minh được h ≤ l ≤ m
Nên 
Ta chỉ còn phải chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovski và bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≥ 9R2 ta suy ra đpcm.
Bài 15: Cho DABC. Chứng minh rằng
	HD: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
Đặt thì bất đẳng thức (1) tương đương với
Þ đpcm
	Tứ giác là 1 đối tượng nghiên cứu hình học. Về tứ giác, chúng ta không nghiên cứu các tứ giác chung mà chủ yếu nghiên cứu các tứ giác đặc biệt. Đậy là một dối tượng nghiên cứu khá phổ biến. Ta xét ví dụ minh họa như sau:
Ví dụ 1: Trên mặt phẳng cho trước tam giác đều ABC và điểm M bất kì.CMR
MA + MB ≥ MC
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Plotemy vào tứ giác MABC ta có:
	MA.BC + MB.AC ≥ MC.AB
Nên MA + MB ≥ MC (đpcm)
	Cho trước trên mặt phẳng một điểm M và ( O ). Có một số vấn đề được đặt ra đối với sự tương quan của điểm M và ( O ).Và hình tròn cũng là một hình rất thú vị trong toán học. Chúng ta xét ví dụ sau:
	Ví dụ 2: Chứng minh rằng điểm B nằm trong hình tròn đường kính AC khi và chỉ khi ta có 
Lời giải
Cần và đủ để điểm B nằm trong hình tròn đường kính AC là . Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua trung điểm M của cạnh BC. Theo Định lí 3, ta có BC > AA’ khi và chỉ khi . Do bù nhau nên khi và chỉ khi là góc tù.
	Qua 2 ví dụ trên chắc hẳn các bạn cũng đã phần nào hiểu rõ hơn về tứ giác và đường tròn. Và hi vọng những bài tập sau đây sẽ giúp các bạn tự tin hơn khi gặp bất đằng thức trong tứ giác hoặc đường tròn :
Bài 1: Chứng minh mỗi đường chéo trong tứ giác luôn nhỏ hơn nửa chu vi của nó
	HD : Trong tứ giác ABCD xét đường chéo AC thì theo Định lí 11 ta có
AC < AB + BC
AC < CD + DA
Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD thỏa AB ≤ BC ≤ CD ≤ DA. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
	HD: 
Ta chứng minh được 
Từ đó suy ra 
Dựng hình bình hành ABDJ và DBCK. Gọi O là gio điểm của AK và JC và áp dụng Định lí 12 ta suy ra đpcm.
Bài 3: Cho tứ giác bất kì với a, c lần lượt là độ dài 2 đáy; d, b là độ dài 2 cạnh bên và e, f là dộ dài 2 đường chéo
ac + bd ≥ ef
Hệ thức trên sẽ thay đổi thế nào khi tứ giác đó là hình thang cân 
	HD:
Sử dụng bất đẳng thức Plotemy ta có đpcm
Khi tứ giác là hình thang cân thì nó sẽ nội tiếp đường tròn nên khi đó dấu “ = “ sẽ xảy ra.
Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương 2 cạnh của hình bình hành không nhỏ hơn tích 2 dường chéo của chúng. Dấu “ = “ xảy ra khi nào ?
	HD: Áp dụng bất đẳng thức Plotemy ta có đpcm
Dấu “ = “ xảy ra Û Hình bình hành nội tiếp đường tròn Û Hình bình hành là hình chữ nhật
Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E, F lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB và CD. P là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng EF. 1 đường thẳng bất kì đi qua P cắt các đoạn thẳng AD, AC, BD, BC lần lượt tại M, N, R, S.Chứng minh rằng: 
	HD:
Gọi (d) là đường thẳng đi qua P cắt AD, AC, BD, BC lần lượt tại M, N, R, S. Qua các đỉnh A, B, C, D của tứ giác lần lượt vẽ các đường thẳng song song với EF và cắt (d) theo thứ tự tại I, K, I’, K’
Áp dụng định lí Thales và chú ý EP, PF lần lượt là các đường trung bình của 2 hình thang AIKB và DI’K’C cho ta:
Vậy 
Bài 6: Trên mặt phẳng cho trước một đường tròn đơn vị và n điểm A1, A2, .., An. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M trên đường tròn sao cho MA1 + MA2 + MAn ≥ n.
	HD: Lấy M tùy ý trên đường tròn đơn vị và gọi M’ là điểm đối xứng với M qua tâm O của đường tròn. Với mỗi i ≤ n ta có: MAi + M’Ai ≥ MM’ = 2
Do đó ta có 
Trong 2 tổng và , có một tổng lớn hơn, không mất tổng quát giả sử tổng đó là , ta có : 
Vậy suy ra đpcm.
Bài 7: Trên mặt phẳng cho trước các điểm A1, A2, , An. Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 điểm P ≠ Q sao cho: A1P +  + AnP = A1Q +  + AnQ = s thì vói mọi điểm M trên đoạn thẳng PQ ta có A1M +  + AnM < s
	HD: Với điểm M là điểm giữa của PQ thì ta áp dụng Định lí 15 để thu được . Đem cộng theo vế các bất đẳng thức này ta thu được đpcm.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD, trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r, độ dài các cạnh là a, b, c, d, e, f. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 ≤ 16R2 
	HD:
Khai triển 
Ta chứng minh R(GA + GB + GC + GD) ≥ GA2 + GB2 + GC2 + GD2
Ta lại chứng minh được nên suy ra đpcm
Áp dụng bất đẳng thức với a, b, c là 3 cạnh của tam giác
Kết hợp với a) suy ra đpcm
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G nội tiếp trong mặt cầu (O; R). Các đường thẳng AG, BG, CG và DG lần lượt cắt mặt cầu tại điểm thứ 2 là A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:
HD:
Do GA.GA’ = GB.GB’ = GC.GC’ = GD.GD’ = R2 – OG2 = 
Mà theo Bài 8 ta có nên 
Cũng theo Bài 8 ta có nên
Bài 10: Một lục giác có độ dài 6 cạnh đều bằng 1. Chứng minh lục giác đó có ít nhất một đường chéo chính nhỏ hơn hoặc bằng 2. (Đường chéo chính là đường chéo chia lục giác thành hai tứ giác)
	HD: Xét lục giác ABCDEF. Xét tam giác ACE. Không mất tính tổng quát, giả sử CE là cạnh lớn nhất trong tam giác. Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác ACDE. Từ đó suy ra AD ≤ 2
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC với Q là tâm đường tròn Euler của nó. Đường tròn ngoại tiếp cắt AQ, BQ, CQ lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
	HD:
Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của . Ta có O, H, Q, G thẳng hàng và Suy ra .
Tương tự suy ra: 
Bài 12: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng:
.
HD:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. Ta có 
Vì nên .
Theo câu a: 
Bài 13: Cho trọng tâm G nội tiếp đường tròn . G ọi M là một điểm thuộc đường tròn đường kính OG. Giả sử AM, BM, CM cắt theo thứ tự tại các điểm . Cmr:
	HD: 
Với mọi điểm M ta có: 
Trong hệ thức trên cho thu được .
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 Đúng vì M thuộc đường tròn đường kính OG.
Vậy 
Bài 14: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong mặt cầu (O; R). Gọi ma, mb, mc, md lần lượt là độ dài các trọng tuyến vẽ từ A, B, C, D. Chứng minh rằng:
	HD: Chứng minh được 4R2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2
Mà nên 
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta suy ar đpcm.
Bài 15: Cho tứ diện ABCD gần đều. Đặt AB = CD = a, BC = AD = b và AC = BD = c. Chứng minh rằng MA + MB + MC + MD ≥ 4R
	HD:
Ta chứng minh với O là tâm mặt cầu ngoại tiếp 
Với tứ diện đều thì O cũng là trọng tâm nên suy ra đpcm.
	Về vấn đề diện tích luôn có những bài toán rất thú vị và luôn là một vấn đề được những người học toán quan tâm. Đã có rất nhiều công thức tính diện tích tam giác, tứ giác nội tiếp, hình chữ nhật, Chính vì thế việc rèn luyện tư duy qua các bài toán diện tích cũng rất có lợi. Một trong những bài toán diện tích rất hay có lẽ chính là bài toán về bất đẳng thức diện tích. Và trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề này 
	Ví dụ 1: Trên 2 cạnh AB và AC của tam giác cân ABC (AB = AC) lấy M Î AC và N Î AB sao cho AM = BN. Chứng minh rằng SBMNC ≥ 3SAMN
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và 
	Ví dụ 2: Chứng minh rằng 
Lời giải
Trong tam giác ABC ta có bất đẳng thức a ≥ hb từ đó suy ra 
Tương tự suy ra đpcm 
Ví dụ 3: Cho DABC với I là trung điểm của cạnh BC. Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm E và F. Chứng minh rằng 
Lời giải
Gọi D là đối xứng của E qua I
Ta chứng minh được  	SIEF ≤ SIFC + SBEI mà SIEF ≤ SAEIF
Nên 2SIEF ≤ SABC
Một số bài tập rèn luyện:
Bài 1: Chứng minh nếu một đa giác diện tích S nội tiếp hình tròn diện tích A và ngoại tiếp một hình tròn diện tích B thì ta có 
	HD: Giả sử đa giác K ngoại tiếp đường tròn tâm O1 bán kính r và ngoại tiếp đường tròn tâm O2 bán kính R
Kí hiệu độ dài các cạnh của đa giác K là ai và các góc nhìn từ O2 xuống các cạnh này tương ứng là . Nếu nối O1 với các đỉnh của K ta thu được các tam giác có diện tích là 
Mặt khác, trong hình tròn (O2; R) ta có các đẳng thức và ta có 
Bài 2: Chứng minh rằng tổng diện tích của 5 tam giác tạo bởi các cặp cạnh liên tiếp và đường chéo nối 2 đỉnh không phải là đỉnh chung của 2 cạnh này lớn hơn diện tích của ngũ giác lồi đã cho
	HD: 
Giả sử tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất trong các tam giác được tạo bởi các cặp cạnh liên tiếp và đường chéo tương ứng và F là giao điểm của 2 đường chéo EC và AD
Vì SABC ≤ SEAB nên đường thẳng AB cắt đường thẳng EC về phía C và ta lại có SEAB ≥ SFAB và tương tự SBCD ≥ SBCF nên suy ra đpcm.
Bài 3: Chứng minh rằng:
Đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện của 1 tứ giác không lớn hơn nửa tổng 2 cạnh còn lại
Nếu E, F, G và H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA của tứ giác lồi ABCD thì 
Trong các tứ giác có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất
	HD: 
Xét tứ giác ABCD có E, F, G và H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA
Gọi I là trung điểm của AC và áp dụng Định lí 11 ta suy ra đpcm
Ta có: 
Từ đó suy ra 
Tương tự ta suy ra 
Mà 2SEFGH ≤ EG.FH, và 
Suy ra đpcm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được nên suy ra đpcm
Bài 4: Chứng minh rằng nếu trong hình lục giác lồi có 3 đường chéo mà mỗi đường chéo nối các đỉnh đối diện của lục giác và chia lục giác thành 2 phần diện tích bằng nhau thì những đường chéo này đồng qui
	HD: 
Giả sử những đường chéo AD, BE và CF không cắt nhau tại một điểm. Lấy K, L và M lần lượt là những điểm cắt tương ứng của AD & BE, AD & FC và BE & FC. Để xác định ta xét trường hợp khi đường chéo FC cắt tam giác ADE. Nếu S là diện tích của lục giác ABCDEF thì những tứ giác ABEF & ABCD có diện tích bằng nhau. Nên ta có SKDE = SABK. Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được SCLD = SALF và SFME = SBMC. Vì 3 cặp những tam giác này có theo một góc bằng nhau nên ta suy ra được:
AL.BK.CL.DL.EM.FM = AL.BM.CM.DK.FK.FL
Mà đẳng thức này không thể xảy ra Þ đpcm
	Ở phần này chúng ta sẽ tìm hiều về những bất đẳng thức có liên quan tới các Nguyên lí đoạn thẳng, Nguyên lí đường vuông góc ngắn hơn đường xiên, Nguyên lí cạnh và góc trong tam giác và Bất đẳng thức Đại số 
	Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các vấn đề trên theo thứ tự sau :
Nguyên lí đoạn thẳng
Nguyên lí đường vuông góc ngắn hơn đường xiên
Nguyên lí cạnh và góc trong tam giác
Bất đẳng thức Đại số
Bài 1: Trên mặt phẳng có n ≥ 2 điểm. Chứng minh rằng đường gấp khúc có độ dài ngắn nhất nối tất cả các điểm này với nhau là đường gấp khúc không tự cắt
	HD:
Ta xét 1 đường gấp khúc tự cắt bất kì, khẳng định của bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra 1 đường gấp khúc ngắn hơn đường gấp khúc này
Giả sử đường gấp khúc tự cắt, cắt. Khi đó ta sẽ có đường gấp khúc là đường gấp khúc ngắn hơn. Đường gấp khúc này chỉ khác đường gấp khúc ban đầu ở đoạn được thay thế bởi 2 đoạn và . Tổng 2 cạnh mới này ngắn hơn tổng 2 cạnh ban đầu, vì nếu gọi I là giao điểm của thì
 và 
Như vậy, đường gấp khúc ngắn nhất nối các điểm này không được tự cắt 
Bài 2: Trong góc vuông có một điểm M tùy ý. Trên Ox người ta lấy 1 điểm X và trên Oy lấy 1 điểm Y tùy ý. Chứng minh rằng chu vi tam giác MXY không nhỏ hơn 2OM
	HD:
Lấy điểm M’ đối xứng với điểm M qua tia Ox và điểm M’’ dối xứng với điểm M qua tia Oy
Dễ dàng chứng minh M’, O, M’’ thẳng hàng
Ta có: MX + XY + YM = M’X + XY + YM’’ ≥ M’M’’
Mặt khác ta lại có M’M’’ = M’O + OM’’ = 2OM
Þ đpcm
Bài 3: Trong không gian cho trước 1 đường thẳng d và 2 điểm A và B. Hãy xác định điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất
	HD: 
Gọi là mặt phẳng tạo bởi điểm A và đường thẳng d. Đem quay điểm B quanh trục d tới vị trí B’ nằm trên và khác phía với điểm A. Khi đó với mọi điểm M trên đường thẳng d ta có MB = MB’. Gọi M là giao điểm của AB’ với d. Khi đó điểm M là điểm cần tìm. Nếu lấy điểm N ≠ M trên d thì AN + NB = AN + NB’ ≥ AB’ = AM + MB’ = AM + MB
Bài 4: Cho trước góc nhọn và 2 điểm A, B trong góc . Hãy xác định điểm M trên tia Ox và N trên tia Oy sao cho con đường gấp khúc AMNB có dộ dài nhỏ nhất
	HD:
Lấy điểm A’ đối xứng với A qua tia Ox và điểm B’ đối xứng với B qua tia Oy. Khi đó, do ta có MA = MA’ v