Chuyên đề Bất đẳng thức

Phần I - kiến thức cơ bản
I – Một số bất đẳng thức cần nhớ:
Bất đẳng thức Cô sy:
 Với 
dấu bằng xảy ra khi 
Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Dấu đẳng thức xảy ra 
Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
Nếu 
Nếu 
Dấu bằng xảy ra khi
II - Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng.
 dấu( = ) khi x = y = 0
V – Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: a > b b < a
Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
Tính chất 3: a > b a + c > b + c
Hệ quả : a > b a - c > b – c
	 a + c > b a > b – c
Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d
a > b và c a - c > b – d
Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd
a > b và c ac < bd
Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => an > bn
a > b an > bn với n lẻ . 
VIII – Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức:
Phần II : Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
	Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức vô cùng đa dạng ở đây tôi xin trình bày những dạng phương pháp thông dụng nhất như sau: 
Dạng 1 – Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
Dạng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ.
Dạng 3 – Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy
Dạng 4 – Chứng minh bằng phản chứng
Dạng 5 – Phương pháp lượng giác
Dạng 6 – Phương pháp chứng minh qui nạp
Dạng 7 – Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau
Dạng 8 – Phương pháp dùng tam thức bậc hai
Dạng 9 – Phương pháp dùng tính chất bắc cầu
Dạng 10 - Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác
Dạng 11 –Phương pháp đổi biến số
Dạng 12 – Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)
Ngoài các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều các phương pháp khác như: Phương pháp toạ độ – vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhưng do các kiến thức lý thuyết các em chưa có nên tôi chỉ xin trình bày một số phương pháp như trên.Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương
	Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:
Phương pháp:
Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả thiết nhằm áp dụng được điều kiện của giả thiết để chứng minh được bất đẳng thức đó là đúng.
Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó (
Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh
Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó
Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để được điều phải chứng minh.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ rằng với thì:
Giải
Bất đẳng thức luôn đúng vì .
Ví dụ 2:
Cho Chứng minh rằng:
Giải
Vì .
Vậy 
Ví dụ 3:
Với chứng minh:
Giải
 Hiển nhiên đúng.
Vậy .
Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì :
Giải
Vậy : 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu: thì (1)
Giải
 Suy ra điều phải chứng minh.
Vì:
Bài tập áp dung:
Bài 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: 
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Bài 3: Chứng minh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1³ m(n + p + q +1) 
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức : Trong đó : a > 0 , b > 0
Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dương a, b, c, d ta có: 
Dạng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ
Đây là phương pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp. Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z ta có:
Giải
Do đó ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
Giải
Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:
Vì: 
Ví dụ 3:
 Cho Chứng minh rằng: 
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a2,b2 ta có:
Ví dụ 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 
Giải
Ta có:
Vì : 
Nên: 
Ví dụ 5: Cho 4 số dương a,b,c,d chứng minh rằng:
Giải
áp dụng bất đẳng thức phụ:
Ta có:
Tương tự:
Cộng vế theo vế ta có:
Ta chứng minh:
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho x,y,z thoã mãn 
Chứng minh rằng: 
Bài 2: Cho a>b>c>0 và .Chứng minh rằng
Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 
 Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Bài 4: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi. 
Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng:
Bài 7 Cho ba số .Thoả mãn 
 Chứng minh rằng:
 (*)
Dạng 3 – sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Đây là phương pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy . Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã được chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để được BĐT cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho 3 số dương a,b,c chứng minh rằng:
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
Vậy: 
Ví dụ 2: Cho a,b,c >0 thoả mãn 
Chứng minh rằng: 
Giải
Ta có: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi:
Nhân lại ta được: 
Ví dụ 3: Giả sử a,b,c d, là 4 số dương thoã mãn:
Chứng minh rằng: 
Giải
Từ giả thiết ta có:
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: ( a+ b + c ) ( + + ) ≥ 9 với a,b,c > 0
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2p
 Chứng minh rằng:
 a)
 b)
Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
Bài 4:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và 2p là chu vi của một tam giác. 
 Chứng minh rằng: 
Dạng 4 – Chứng minh bằng phản chứng
Đây là phương pháp chứng minh BĐT dựa vào các phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học. Để chứng minh mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh đề A sai và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để kết luận A là đúng.	Muốn chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử sai, tức là đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều mâu thuẩn từ giả thiết. Kết luận đúng. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái ngược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:
Dùng mệnh đề đảo.
Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho và 
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng 
Giải
Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta được :
 và 
 và 
Vì a+b =2cd
 Mâu thuẫn
Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng 
Ví dụ 2: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
Giải
Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta được
Mà 
Tương tự ta có:
Suy ra:
Mâu thuẫn
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai
Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng có thể chọn được 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab
Giải
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 
Rõ ràng Với 3 số x,y,z thoã mãn 
Ta luôn có x<yz và y<xz. Nếu trong các số a1, a2 ,, a6 không có 3 số nào thoã mãn a<b<c và c<ab thì có 
Trái với giả thiết a6 <108. Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab
Ví dụ 4: Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: a,b,c >0
Giải
Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Ta có:
Xét khả năng 
Ta có:
Vì : 
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy 3 sô a,b,c đều là số dương.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho .Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức sau đây là sai:
Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên.
Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai.
Bài 2:
Cho 25 số tự nhiên thoả mản điều kiện
 .
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Dạng 5 – Phương pháp lượng giác
Đây là một trường hợp đặc biệt của phương pháp đổi biến số. Đối với học sinh THCS thì việc sử dụng phương pháp này là khá mới vì kiến thức cơ bản của phần lượng giác chưa được nghiên cứu sâu. Cho nên ở phương pháp này tôi xin trình bày một số kiến thức lý thuyết và các dạng phương pháp một cách chi tiết hơn. 
Kiến thức cần nhớ:
1. Các hệ thức cơ bản
+ 	+ 1 + tg2a = 
+ tga . cotga = 1 (a ạ )	+ 1 + cotg2a = 
2. Công thức cộng, công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng và công thức biến tổng thành tích. Chúng ta dựa vào các trương hợp dưới đây để có thể đổi biến lượng giác một cách chính xác.
Một số phương pháp lượng giác thường gặp:
Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt với a ẻ [0, 2p]
Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt với a ẻ [0, 2p]
Nếu thấy |x| Ê 1 thì đặt 
Nếu thấy |x| Ê m ( ) thì đặt 
Sử dụng công thức: 
Nếu |x| ³ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 
thì đặt x = với aẻ
Nếu |x| ³ m hoặc bài toán có chứa biểu thức 
 thì đặt x = với aẻ
Sử dụng công thức 1+ tg2a = .
Nếu x ẻ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tga với a ẻ 
Nếu x ẻ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtga với a ẻ 
Ví dụ 1: Cho Với Và 
Chứng minh rằng 
Giải
Với: Và Ta có:
Do đó ta đặt: và với 
Và 
Vậy: 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Giải
Đặt Với Thì
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu và n là số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức:
Giải :
 Vì: nên ta đặt với 
Do 
đúng
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng: 
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên
Đặt a=cosa với aẻ[0,p] ị 
(1)Û	
Û
Û đúng ị (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A = 
Bài 2: Cho a, b thoả mãn : = 13
Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - 1
Bài 3:
Chứng minh rằng: 
Bài 4:
Chứng minh rằng A = 
Bài 5:
Chứng minh rằng: - 4 Ê A = Ê 9 
Bài 6:
Chứng minh rằng: 
Bài 7:
Chứng minh rằng: (1)
Bài 8:
Chứng minh rằng: " a, b ẻ R
Dạng 6 – Phương pháp chứng minh qui nạp
Phương pháp qui nạp thường sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thực hiện các bước sau:
Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.
Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dương k bất kỳ 
Cần chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi số dương 
Giải:
 Với n=3 thì đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k bất kì có nghĩa là:
Ta cần chứng minh:
Theo gt quy nạp ta có:
Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 
Ta có:
Giải:
Với n=2 ta có: 
 đúng
Giả sử với n=k ta có:
Ta cần chứng minh:
Ta có:
Vì :
Nên:
 đúng.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
 Với thì 
Giải:
Với =2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1. (bất đẳng thức Ơclit)
Nếu . 
Vậy thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế phải, ta được)
 Lấy số thực không âm viết các bất đẳng thức tương ứng rồi cộng lại ta được:
 Từ đó:
 Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với số thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:
 Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng thức
 ( 2 )
 Trong hệ thức này đặt ta được
 ( đpcm )
Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
 tức là khi và chỉ khi 
Một số bài tập: 
Bài 1:
Chứng minh rằng
 (1)
Bài 2: 
Cho và a+b > 0. Chứng minh rằng (1)
Bài 3: Cho a,b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với c là cạnh huyền
Chứng minh rằng: 
Dạng 7 - Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau
Đây là phương pháp đặc trưng cho học sinh THCS vì phương pháp này áp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã được học ở lớp 7. Các tính chất đặc biệt thường gặp trong loại này ta cần lưu ý như:
Kiến thức:
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 3 số dương a,b,c chứng minh rằng 
Giải:
Vì: nên: 
Tương tự:
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a,b,c,d là các số dương, chứng minh rằng:
Giải:
Vì: nên 
Tương tự:
Cộng lại ta được 2<A<3. Suy ra A không thể là số nguyên .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: 
Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng:
Bài 2: 
Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c + d =1000
tìm giá trị lớn nhất của .
Bài 3:
Cho: 0 . Chứng minh rằng <
Dạng 8 – Phương pháp dùng tam thức bậc hai
Kiến thức:
Cho tam thức bậc hai 
Nếu thì 
Nếu thì 
Nếu thì với hoặc ()
	 với 
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của x,y.
Giải:
Đặt: 	 
Ta có: 
Ví dụ 2: Cho hai dãy số: a1, a2 , an
	 B1, b2, bn
	Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có:	(1)	
Đặt:	
Ta có:	 Với mọi X nên tam thức (X) có
Suy ra:	
Tức là (2) đúng nên (1) đúng.
Ví dụ 3: , chứng mih bất đẳng thức sau:
 (1)
Giải:
(1) 
Đặt 
Bài tập áp dụng:
Bài 1:	Cho a,b,c,d thoã mãn b < c < d.
	Chứng minh rằng 
Bài 2:	Cho các số a , b , c , d , p , q sao cho:
	Chứng minh rằng:	
Dạng 9 – Phương pháp dùng tính chất bắc cầu
Đây là phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu trong Toán học. 
Chẳng hạn: và thì 
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a > c+d , b >c+d. Chứng minh rằng: ab >ad+bc
Giải
Ta có: 
 (a-c)(b-d) > cd
 ab – ad – bc + cd > cd
 ab > ad + bc điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: 
 Cho a,b,c>0 thỏa mãn 
 	Chứng minh 
Giải
Ta có :( a + b – c)2= a2+ b2 + c2 + 2( ab – ac – bc) > 0
 ac + bc - ab ( a2 + b2 + c2) 
 ac + bc – ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
Ví dụ 3:
Cho . Chứng minh rằng:
Giải
Do a < 1 và
Ta có 1- b - + b > 0
 1+ > + b
mà 0 < a,b < 1 
Từ đó ta suy ra 1+
Vậy < 
Tương tự ta có: 
 Và Ê 
Cộng các bất đẳng thức ta có: 
Ví dụ 4:
Cho Chứng minh rằng:
a. 
b. 
Giải
a. Ta có: (1)
Mặt khác: 
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
b. Ta chứng minh: 
Ta có: 
Vì ( )
 ( theo câu a).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: 
Cho Chứng minh rằng:
Bài 2: 
Cho thoả mãn Chứng minh rằng:
Bài 3:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 4: 
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng:
Dạng 10 – Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác
Đây là phương pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả thiết để chứng minh các bất đẳng thức.
ở phương pháp chứng minh này các bạn nên chú ý một số kiến thức cơ bản sau:
Kiến thức:
1. Các bất đẳng thức trong tam giác:
 Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì 
Nếu thì số đo của 3 góc A, B, C cũng đúng với bất đẳng thức trên.
2. Công thức liên quan đến tam giác
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Giải
Ta có:
(1)
Kết quả (2) luôn đúng vì trong tam giác ta luôn có.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Ví dụ 2:
Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
abc>(a + b - c).(b + c - a)( c + a - b)
Giải
Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
Ta có a > ờb-c ù ị > 0
	 b > ờa-c ù	 ị > 0
	 c > ờa-b ù	 ị 
Nhân từng vế của đẳng thức lại ta được:
Ví dụ 3:
Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ).
CMR : + + ≥ 2 ( + + )
Giải
Ta có : p - a = > 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác )
 Tương tự : p - b > 0 ; p- c > 0.
Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c 
 p - b + p - c = a
 p - c + p - a = b 
ta áp dụng tính chất của Bất đẳng thức: ta có:
 + ≥ = 
 + ≥ 
 + ≥ 
Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có :
 + + ≥ 2 ( + + )
Dấu ‘=’ xảy ra khi Δ ABC đều
Ví dụ 4:
Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác 
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
Giải
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác :
Từ đó 
(a + b – c)( a – b + c)( b – c +a)( b + c – a)( c – a + b)( c + a – b) 
(a + b – c)2( b + c – a)2( c + a – b)2 
(a + b – c)( b + c – a )( c + a – b) abc
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên 
 và abc > 0
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Bài 1:
Chứng minh rằng:
Nếu với thì 
Bài 2: 
Chứng minh rằng:
Bài 3: 
Chứng minh rằng: Với mọi p, q sao cho p + q = 1 thì 
Bài 4:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với a < b < c. Chứng minh rằng:
Bài 5:
Chứng minh rằng: với a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì ta có:
Dạng 11 – Phương pháp đổi biến số
Khi ta gặp một số bất đẳng thức có biến phức tạp thì ta có thể dùng phương pháp đổi biến số để đưa các bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đơn giản hơn, tức là ta đặt các biến mới biểu thị được các bién cũ sao cho biến mới có thể gọn hơn hoặc dễ chứng minh hơn. Sau khi đổi biến số ta sử dụng các phương pháp chứng minh ở trên để chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp lượng giác cũng là một dạng của phương pháp đổi biến số.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: (1)
Giải
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
Ta có (1) 
 	(
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; ) điều phải chứng minh.
Ví dụ 2:
Cho a,b,c > 0 và a+b+c < 1. Chứng minh rằng:
 (1)
Giải
Đặt x = ; y = ; z = 
Ta có 
(1) Với x+y+z 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
 3.
 3. .
 Mà x+y+z < 1
Vậy điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
Giải
 Đây là ví dụ 1 nhưng ta sử dụng cách đổi biến khác:
Ta đặt 
Bất đẳng thức 
 (đúng).
Vậy Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 4:
Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc = 1
Chứng minh rằng:
Giải
Do nên ta có thể đặt: với .
Nên bất đẳng thức ta có thể viết lại như sau: 
 (Ta đã chứng minh được)
Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu “=” xảy ra 
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức:
Bài 2:
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: + = 4
CMR: + + ≤ 1
(Đại học khối A – năm 2005)
Bài 3:
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
 CMR : 
Bài 4:
Cho x, y, z >0 thoả mãn . CMR 
Bài 5:
Cho x, y, z là cỏc số thực dương thoả món: . 
 CMR: 
Dạng 12 - Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)
Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = 
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau
Khi đó : S = 
Phương pháp chung về tính tích hữu hạn:
P = 
Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
=
Khi đó P = 
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: Với n là số nguyên
Giải:
Ta có:
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 > 2
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có 
Cho k chạy từ 2 đến n ta có
Vậy 
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
Do đó:
Vậy:
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
Vậy: .
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Chứng minh BĐT sau:
a. 
b. 
Ngoài các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều các phương pháp khác như: Phương pháp toạ độ – vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhưng do các kiến thức lý thuyết các em chưa có nên tôi chỉ xin trình bày một số phương pháp như trên. Các bài toán về Bất đẳng thức rất đa dạng và phức tạp, các phương pháp chứng minh đã nêu trên chỉ là những phương pháp tương đối thông dụng để cho học sinh THCS cố gắng nhận định và làm quen với các dạng ở trên để áp dụng phương pháp thích hợp.
Phần III – ứng dụng của Bất đẳng thức.
Bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi nhiều trong việc tìm GTLN, GTNN, giải phương trình và hệ phương trình, dùng để giải phương trình nghiệm nguyên và rất nhiều ứng dụng khác nữa.
I - Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN
Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m.
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M.
Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như: Côsi, Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị. Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý: 
Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (x2 + x)(x2 + x - 4)
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y
Giải
Ta có:
a.A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x – 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4
Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1
b. Tương tự
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = 
D = 
E = 
Giải
áp dụng BĐT : 
Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0
=> C = 
Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú 
Vậy minC = 2 khi 
b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
c. Tương tự: minE = 4 khi : 2 x 3
Ví dụ 3:
Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz.
Giải
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
Tương tự : 2
 2
Từ đó suy ra : P = xyz 
MaxP = khi x = y = z = 
Ví dụ 4: 
Cho G = 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của G.
Giải
Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3
Ta có : G = + + 
Theo BĐT Cụsi ta cú : => 
Tương tự : ; 
=> G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất của:
S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Bài 2: Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 2xy + 3y2 – 2x – 10y + 20
Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của phân thức D = 
Bài 5; Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số này khi chia cho 9 có số dư là 5 và khi chia cho 31 có số dư là 28.
II – Dùng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình
Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình. Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm.
Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn
phương trình vô nghiệm
Còn đối với hệ phương trình ta dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm. Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình : 13 + 9 = 16x
Giải
Điều kiện : x 1 (*)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
 13 + 9
= 13.2. + 3.2. 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x
Dấu '' = '' xảy ra
ú ú x = thoả mãn (*)
Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
Vậy (1) có nghiệm x = .
Ví dụ 2:
Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
Giải
TXĐ : 
(*) ú + = x2 - 4x + 6
VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2
=> với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2
=> phương trình (*) có nghiệm x = 2
Ví dụ 3:
Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13
Giải
TXĐ : -2 x 6
VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3
VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
=> VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình: 
Giải
ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*)
ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**)
Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1
=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1
Ví dụ 5:Giải hệ phương trình :
Giải
áp dụng : BĐT : dấu '' = '' xảy ra khi a = b
Ta có : 
Mặt khác: 
Từ (*) và (**) => x4 + y4 
Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 
Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Giải hệ phương trình: 
 (với x, y, z > 0)
Bài 2: Giải phương trình sau:
Bài 3: Giải phương trình: 
Bài 4:Giải hệ phương trình sau: 
Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
III – Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
Giải
Vì x,y,z là các số nguyên nên
 (*)
Mà 
Các số x,y,z phải tìm là 
Ví dụ 2:
Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình:
 (*)
Giải
 (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa
(*) Với x > 0 , y > 0
Ta có 
Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương )
Ta có 
Nhưng 
Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Phần IV - giải và hướng dẫn giải BT áp dụng
Dạng 1 – Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
Bài 1:
Giải
Ta có: 
Tương tự: 
Vậy: 
Điều phải chứng minh.
Bài 2:
Giải
Ta có với mọi số nguyên dương k:
 =
 vì 
Do đó:
 điều phải chứng minh.
Bài 3:
Giải
 (1) 
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 4:
Giải
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 5:
Giải
Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0
Ta có : 
 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2	
 3(a2 - 2ab + b2 ) 0
 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng
=> Dấu '' = '' xảy ra khi a = b.
Bài 6:
Giải
Ta có:
Cộng vế theo vế ta được:
Dạng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và bất đẳng thức phụ 
Bài 1:
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
Theo giả thuyết ta có:
Vì theo (1) 
Đặt Ta giải phương trình bậc 2
Bài 2:
Giải
Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có:
==
Vậy .Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Bài 3:
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
(x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1
Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25
=> 3x + 4y 5
Đẳng thức xảy ra 
Điều kiện : .
Bài 4:
Giải
áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có:
=> 
=> 
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
Bài 5:
Giải
Ta có 
Kết quả này luôn đúng vì và 
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 6:
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho các số ta có :
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Do đó:
 (đpcm).
Bài 7:
Giải
Từ giả thiết đề ra 
Ta có: 
áp dụng bất đẳng thức Bunhicopsky ta có:
Do đó ta có:
Cộng vế theo vế ta được:
Dạng 3 – sử dụng Bất đẳng thức Cauchy
Bài 1:
Giải
VT = + + ++ ++ 3
áp dụng BĐT côsi cho các bội số :
 và ; và; và 
Ta có : + ≥ 2=2 ; + ≥ 2 ; + ≥ 2
 + + ++ +≥ 6
 + + ++ ++3≥9 
VT ≥ 9 ( đpcm ).
Bài 2:
Giải
a)Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Nhân theo vế ta được:
b)Ta áp dụng với x,y>0 ta luôn có bất đẳng thức đúng:
Thay các giá trị vào ta được:
Tương tự:
Cộng theo vế ta có:
Bài 3:
Giải
áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có:
Tương tự : ; 
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy : 
Bài 4:
Giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
. Điều phải chứng minh.
Dạng 4 – chứng minh bằng phản chứng
Bài 1:
Giải:
Giả sử cả 3 bất đẳng thức ở trên đều đúng, có nghĩa:
Ta có 
Tương tự ta có: 
Bài 2:
Giải:
Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự hiên đả cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử
Suy ra 
Thế thì (1)
Ta lại có 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra < 9, trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng nhau trong 25 số .
Dạng 5 - Phương pháp lượng giác
Bài 1:
Giải
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0Û (a-1)2 + (b-2)2 = 1
Đặt 
A (đpcm)
Bài 2:
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - 1 Û (a-1)2 + (b + 1)2 ³ 1
Đặt với R ³ 0 Û 
Ta có: 
Û 
Từ đó ị (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ³ 1 Û a2 + b2 + 2(b - a) ³ - 1 (đpcm)
Bài 3:
Giải:
Từ đk 1 - a2 ³ 0 Û |a| Ê 1 nên
Đặt a = cosa với 0 Ê a Ê p ị = sina. Khi đó ta có:
A=
=(đpcm)
Bài 4:
Giải:
Do |a| ³ 1 nên :
Đặt a = với aẻị . Khi đó:
A = (đpcm)
Bài 5:
Giải:
Do |a| ³ 1 nên:
Đặt a = với aẻị . Khi đó:
A = = (5-12tga)cos2a = 5cos2a-12sinacosa=
= 
ị - 4 = (đpcm)
Bài 6:
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb, c = tgg. Khi đó bất đẳng thức Û
Û 
Û
Û |sin(a-b)|+|sin(b-g)| ³ |sin(g-a)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(g-a)|= |sin[(a-b)+(b-g)]| = |sin(a-b)cos(b-g)+sin(b-g)cos(a-b)| Ê
|sin(a-b)cos(b-g)|+|sin(b-g)cos(a-b)|=|sin(a-b)||cos(b-g)|+|sin(b-g)||cos(a-b)|
Ê |sin(a-b)|.1 + |sin(b-g)|.1 = |sin(a-b)| + |sin(b-g)| ị (đpcm)
Bài 7:
Giải:
(1) Û 
Đặt tg2a=, tg2b= với a,b ẻ ị Biến đổi bất đẳng thức
Û 
Û cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) Ê 1 đúng ị (đpcm)
Dấu bằng xảy ra Û cos(a-b) = 1 Û a=b Û .
Bài 8:
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb. Khi đó 
= 
= 	(đpcm).
Dạng 6 – Phương pháp qui nạp
Bài 1:
Giải:
Với n =2 ta có (đúng)
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
BĐT (1) đúng với n = k+1
Thật vậy khi n =k+1 thì:
 (1) 
Theo giả thiết quy nạp:
k2+2k<k2+2k+1 
Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
Bài 2:
Giải:
Ta thấy BĐT (1) đúng với n= 1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có
(1) 
 (2)
Vế trái (2) 
 (3)
Ta chứng minh (3)
(+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
(+) Giả sử a < b và theo giả thiết a < b 
Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
Bài 3:
Giải:
Với n = 1 ta có (định lý Pitago).
Vậy với n = 1 đúng
Ta giả sử BĐT đúng với n= k nghĩa là ta có:
xét với n = k +1 ta có:
Vậy BĐT đúng với n = k +1. điều phải chứng minh.
Dạng 7 - Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau
Giải
Ta biết với a, b, c dương và 
Vì 
Vậy với a, b, c, d