Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức Newtơn

Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn
Đ1. Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng, 
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
1.1 Các bài toán chọn số:
* Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được:
	a/	Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
	b/	Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
	c/	Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5.
* Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
	a/	Gồm 8 chữ số từ các số trên.
	b/	Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
* Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho :
	a/	Số đó chia hết cho 5.
	b/	Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1.
	c/	Nhỏ hơn 600000. 
* Ví dụ 5: Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Tính tổng S của tất cả các số tạo thành bởi các hoán vị này.
* Ví dụ 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị.
Bài tập
* Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho:
	a/	Số tạo thành là một số chẵn.
	b/	Số tạo thành không có mặt của chữ số 7.
	c/	Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5.
	d/	Số tạo thành nhỏ hơn 278.
*Bài 2: Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
	a/	Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.
	b/	Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
	c/	Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau .
*Bài 3: Cho tập 
	a/	Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2.
	b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123.
*Bài 4: Cho tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao cho:	a/	Số tạo thành là một số chẵn.
	b/	Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.
*Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như vậy nếu
	a/	5 chữ số 1 xếp kề nhau.
	b/	Các chữ số được xếp tuỳ ý.
 *Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
	a/	Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên.
	b/	Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
 *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số thoả các điều kiện chữ số là số chẵn , không chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau.
 *Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số :
	a/	Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
	b/	Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
 *Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy.
* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
1.2 Các bài toán chọn các đối tượng thực tế:
Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
	a/	Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.
	b/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.
	c/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em được chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 4:Một trường tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Người ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
* Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2.
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
	a/	Có bao nhiêu tam giác như vậy.
	b/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
	c/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
	d/	Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.
Dạng 2: Xếp vị trí các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho 
	a/	Bạn C ngồi chính giữa.
	b/	Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.
* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
	a/	Các học sinh ngồi tuỳ ý.
	b/	Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nước : Việt Nam 3 người, Lào 5 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau.
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
Bài tập
* Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
	a/	Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.
	b/	Phải có 2 nam và 2 nữ.
	c/	Phải có ít nhất 1 nữ.
	d/	Số học sinh nam không vượt quá 2.
* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp.
* Bài 3: Gia đình ông A có 11 người bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 người đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng được mời hoặc không cùng được mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời.
* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
* Bài 6: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đường thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác được tạo bởi các điểm đã cho.
* Bài 7: Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Hãy tìm n.
*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F được xếp vào 6 chỗ ngồi đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
	a/	A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
	b/	A và B không ngồi cạnh nhau.
*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
Đ2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình 
Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
Hoỏn vị : 
Chỉnh hợp: 
Tổ hợp: 
Nhị Thức nưu tơn: 
Tồng cú n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quỏt 
Các ví dụ
I. Giải pt, hệ pt, bất phương trình, hệ bất phương trình về đại số tổ hợp
*Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: a,	 b,
*Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: 
*Ví dụ 3. Hóy tỡm số nguyờn dưong thỏa mó phương trỡnh
a, 	ĐS: n=11
b, 	c, 
*Ví dụ 4. 
*Ví dụ 5. Giải hệ phương trỡnh	ĐS: x=5 ,y=2
*Ví dụ 6. Giải bpt: a) b) ĐS: a) 
*Ví dụ 7. Giải bất phương trỡnh: 
ĐS: 
*Ví dụ 8. Giải bất phương trỡnh: a, b,
 ĐS: a, b, 
Bài tập
Giải các phương trình sau:
	1/	 	2/	
Tìm k sao cho các số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Giải các bất phương trình sau:
	1/	2/	
Giải các hệ phương trình sau:
	1/	2/	
Giải các phương trình sau:
1/	2/	
	3/	4/	
Giải các bất phương trình sau:
	1/	2/	
	3/	4/	
Giải các PT và hệ PT sau:
	1/	2/	
 Giải bất phương trình với 2 ẩn n, k thuộc N (TNPT 2003 - 2004) 
Giải hệ phương trình 	(TNPT 2002 - 2003) 
Giải bất phương trình 
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình ĐS: n = 4, n = 3
Tìm số tự nhiên n thoả mãn:.
Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005) 
II. Tỡm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
*Ví dụ 1.Tỡm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 
*Ví dụ 2. Tỡm số hạng x31, Trong khai triển 
*Ví dụ 3. Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển 
*Ví dụ 4. Trong khai triển Tỡm số hạng khụng chứa x biết 
*Ví dụ 5. Tỡm hệ số của số hạng chứa x43 trong khai triển 
*Ví dụ 6. Biết trong khai triển Cú hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hóy tớnh số hạng
đứng giữa trong khai triển 
*Ví dụ 7. Cho khai triển . Biết tổng của ba số hạng đầu itờn trong khai triển bằng 631. Tỡm hệ số của số hạng cú chứa x5 
*Ví dụ 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiờn trong khai triển bằng 79 .Tỡm số hạng khụng chứa x
*Ví dụ 9. tỡm hệ số của trong khai triển 
*Ví dụ 10. Trong khai triển .. Tỡm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là cỏc số nguyờn dương.
*Ví dụ 11. Tỡm cỏc hạng tử là số nguyờn trong khai triển 
*Ví dụ 12. 
a, Cho khai triển . Trong cỏc hệ số của cỏc số hạng .Tỡm hệ số lớn nhất 
b, Cho khai triển ..Tỡm hệ số lớn nhất trong cỏc hệ số 
Bài tập
Biết rằng 
CMR: a2 < a3 .
 Với giá trị nào của k thì ak< ak + 1 (0≤k≤99) 
Tìm k thuộc {0, 1, . 2005} sao cho: đặt GTLN.
Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thưc n là số nguyên dương Biết rằng: 
Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x) 2n.
 Giả sử và .
 Tìm n và số lớn nhất trong các số: 
Giả sử n là số nguyên dương và 
Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho Tính n?	 ĐS: n = 10
Giả sử n là số nguyên dương và . Hãy tính hệ số a5 ĐS 672
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức. Biết: ĐS: 495
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức .
 Cú bao nhiờu hạng tử là số nguyờn trong khai triiển 
Cú bao nhiờu hạng tử là số nguyện trong khai triển 
Khai triển đa thức . Tớnh A9 
Cho khai triển :. Biết và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tựm x và n
Trong khai triển : tỡm số hạng chứa a,b cú số mũ bằng nhau 
Tỡm hệ số lớn nhất trong cỏc hệ số của khai triển 
Biết tổng cỏc hệ số trong khai triển bằng 6561. Tỡm hệ số của x4 
Biết tổng cỏc hệ số trong khai triển bằng 1024 .Tỡm hệ số của x12 
 Tỡm hệ số x8 trong khai triển :Biết 
III. Chứng minh đẳng thức 
*Ví dụ 1. 
a, (ĐHBK HN - 1998). Chứng minh rằng: 
b, (ĐHYD TP HCM - 2000). Chứng minh rằng: 
 b1, 
 b2, 
c, Chứng minh rằng: 
*Ví dụ 2. 
a, (ĐHAN-CS khối A - 1998). Chứng minh rằng: 
b, (ĐH Hằng Hải - 1997). Chứng minh rằng: 
*Ví dụ 3. 
a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996). Chứng minh rằng: 
b, (ĐH Mở Hà Nội - 1999). CMR: 
*Ví dụ 4. 
a, Chứng minh 
b, Cho n,m,k là cỏc số nguyờn dương và Chứng minh:
c, Cho n nguyờn dương. Chứng minh rằng: 
d, Cho n≥2 và n nguyờn . Chứng minh:
e, Cho n≥2 và n nguyờn .Chứng minh: =T
HD: , 
*Ví dụ 5. (Sử dụng tớnh chất: )
a, Chứng minh 
b, Chứng minh : 
c, Cho .Chứng minh rằng 
d, .Cho .Chứng minh rằng 
*Ví dụ 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cỏch khỏc nhau sau đú đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng: 
b, Chứng minh: 
c, Chứng minh.
d, Chứng minh rằng: 
HD: a,! ! so sỏnh 
b, Hệ số của xn là 
 Hệ số xk là 
c,
d, Xột=! ị Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển ị Hệ số của xp là 
Bài tập
a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997). Chứng minh rằng: 
 b, Cho: . Chứng minh rằng: 
. (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000). 
Chứng minh rằng: 
(ĐHKTQD - 2000).
 Chứng minh rằng: 
(ĐH Luật Hà Nội - 1997). 
Chứng minh rằng: 
(ĐH Đà Nẵng - 2001). 
Chứng minh rằng: 
(ĐH Nông nghiệp - 1999). 
Chứng minh rằng: 
(Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81). 
Chứng minh rằng: 
(ĐHQG Tp HCM khối D - 1997). 
Cho: . Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Từ đó suy ra: 
Chứng minh rằng: 
a, 
b,