Các Chuyên đề Luyện thi đại học Toán

Các chuyên đề
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 08 - 2012
O
y
xF1 F2A1 A2
B1
B2
Copyright c©2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
www.VNMATH.com
1
Nguyễn Minh Hiếu www.VNMATH.com
2
Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. Hệ Phương Trình Đại Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§4. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§3. Phương Trình Đường Tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§4. Phương Trình Elip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§1. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§2. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§4. Hình Chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
www.VNMATH.com
3
Nguyễn Minh Hiếu
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§1. Quan Hệ Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§2. Quan Hệ Vuông Góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§3. Thể Tích Khối Đa Diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§1. Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
www.VNMATH.com
4
Chuyên đề 1
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I.
• Nếu f ′(x) = 0,∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f ′(x) ≥ 0,∀x ∈ I và f ′(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định Df .
• Tính y′ và chỉ ra y′ ≥ 0,∀x ∈ Df (hoặc y′ ≤ 0,∀x ∈ Df ).
C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.
d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y = √x2 − 2x− 3.
g) y =
2x+ 3
x+ 2
. h) y =
x+ 2
3x− 1 . i) y =
x2 − 4x+ 4
1− x .
1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m− 1)x2 + (m2 − 4)x+ 9 luôn đồng biến trên R.
1.3. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3−m)x2 − 2x+ 2 luôn nghịch biến trên R.
1.4. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
m− x luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.5. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
x+m− 3 luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
1.6. Tìm m để hàm số y = x+ 2 +
m
x− 1 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.7. Tìm m để hàm số y =
mx+ 4
x+m
nghịch biến trên (−∞; 1).
1.8. Tìm m để hàm số y =
mx− 2
x+m− 3 nghịch biến trên (1; +∞).
5
www.VNMATH.com
5
Nguyễn Minh Hiếu
1.9. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax+ a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
1.10. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 +mx+ 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.
§2. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì f ′(x0) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a;x0), (x0; b). Khi đó
• Nếu f ′(x) 0,∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x0.
• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a;x0) và f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0.
Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0. Khi đó
• Nếu
{
f ′(x0) = 0
f ′′(x0) < 0
thì hàm số đạt cực đại tại x0.
• Nếu
{
f ′(x0) = 0
f ′′(x0) > 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Lưu ý. Nếu y′′(x0) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.
• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0.
• Tính y′, y′′. Hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y′(x0) = 0⇒ m.
• Thay m và x0 vào y′′ để kết luận.
Lưu ý. Nếu y′′(x0) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y′ để kết luận.
C. Bài Tập
1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1. b) y = −x3 − 3x+ 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x.
d) y = x4 − 2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 − 2x− 1. f) y = √x2 − 2x− 3.
g) y =
2x+ 3
x+ 2
. h) y =
x+ 2
3x− 1 . i) y =
x2 − 4x+ 4
1− x .
1.12. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (2m− 1)x− 2
a) Có cực trị. b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1.
1.13. Cho hàm số y =
1
3
x3 −mx2 + (m2 −m+ 1)x+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Đạt cực đại tại x = 1. b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.
1.14. Cho hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + 2m+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0. c) Đạt cực trị tại x = 1.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2 (2m− 1)x2 + 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 +
(
m2 − 9)x2 + 10 có ba điểm cực trị.
1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
x2 +mx+ 1
x+m
a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1. c) Đạt cực đại tại x = 2.
www.VNMATH.com
6
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D. Khi đó
• M = max
x∈D
f(x)⇔
{
f(x) ≤M,∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : M = f(x0) . • m = minx∈D f(x)⇔
{
f(x) ≥ m,∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : m = f(x0) .
Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y′, y′ = 0⇒ xi ∈ D.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1:
• Tính y′ và chỉ ra y′ ≥ 0,∀x ∈ D (hoặc y′ ≤ 0,∀x ∈ D).
• Từ y′ ≥ 0,∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x),∀x ∈ D.
• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
PP2:
• Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ = 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
Lưu ý.
• m ≥ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
f(x). • m ≤ f(x),∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
C. Bài Tập
1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x− 2x2 trên [−1; 3]. b) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3]. c) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1].
d) y = x3 − 3x2 + 1 trên (1; 4). e) y = x− 5 + 1x trên (0; +∞). f) y = x− 1x trên (0; 2].
g) y =
4
1 + x2
. h) y = x4 + 2x2 − 1. i) y = x+√4− x2.
1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x+
√
2 cosx trên
[
0; pi2
]
. b) y = 2 sinx− 43 sin3x trên [0;pi]. c) y = sin4x− 4sin2x+ 5.
d) y = sin4x+ cos4x. e) y = 5 sinx− 12 cosx− 5. f) y = sin2x+ sin 2x+ 2cos2x.
1.20. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính
khoảng cách đó.
1.21. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 −mx− 4 đồng biến trên (−∞; 0).
1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 13x3 + (m− 1)x2 + (m− 3)x− 4 đồng biến trên (0; 3).
1.23. Tìm m để hàm số y = mx3 − 3 (m− 1)x2 + 9 (m− 2)x+ 1 đồng biến trên [2; +∞).
1.24. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m+ 1)x+ 4m đồng biến trên (−∞;−2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx2 + 6x− 2
x+ 2
nghịch biến trên [1; +∞).
1.26. Tìm m để hàm số y =
x2 − 2mx+ 2m2 − 2
x−m đồng biến trên (1; +∞).
1.27. Tìm a để hàm số y =
x2 − 2ax+ 4a2
x− 2a đồng biến trên (2; +∞).
www.VNMATH.com
7
Nguyễn Minh Hiếu
§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞ f(x) = y0 hoặc limx→−∞ f(x) = y0.
Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→x+0
f(x) = +∞; lim
x→x+0
f(x) = −∞; lim
x→x−0
f(x) = +∞ hoặc lim
x→x−0
f(x) = −∞.
Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax+ b, (a 6= 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞ [f(x)− (ax+ b)] = 0 hoặc limx→−∞ [f(x)− (ax+ b)] = 0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim
x→±∞ f(x)⇒TCN. • Tìm limx→x±0
f(x)⇒TCĐ.
Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax+ b+ g(x). Chỉ ra lim
x→±∞ [y − (ax+ b)] = 0⇒TCX.
C2: Tính a = lim
x→±∞
f(x)
x
và b = lim
x→∞ [f(x)− ax]⇒TCX.
C. Bài Tập
1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau
a) y =
2x− 1
x− 2 . b) y =
x− 3
−x+ 2 . c) y =
3− 4x
x+ 1
.
d) y =
√
x2 + x
x− 1 . e) y =
√
x+ 3
x+ 1
. f) y = 2x− 1 + 1
x
.
g) y =
x2 − 4x+ 4
1− x . h) y =
√
x2 + x− 1. i) y = x+
√
x2 + 2x.
1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
mx2 − 2m (m− 1)x− 3m2 +m− 2
x+ 2
có tiệm cận xiên đi qua A (−1;−3).
1.30. Tìm m để hàm số y =
2x2 + (m+ 1)x− 3
x+m
có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x2 + 2x− 1.
1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
mx2 +
(
3m2 − 2)x− 2
x+ 3m
bằng 450.
1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y =
x2 +mx− 1
x− 1 có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
bằng 4.
1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =
2x2 − (5m− 1)x+ 4m2 −m− 1
x−m có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =
3x− 1
x− 2 . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
cận không đổi.
1.35. Cho hàm số y =
−x2 + 4x− 3
x− 2 . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến
hai tiệm cận là một hằng số.
1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
3x− 5
x− 2 để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
x2 + 2x− 2
x− 1 để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
www.VNMATH.com
8
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).
• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).
3. Đồ thị.
• Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).
2. Điểm uốn.
Định nghĩa 1.9. Điểm U (x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía
trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0, f ′′(x0) = 0 và f ′′(x) đổi dấu
khi qua điểm x0 thì U (x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d (a 6= 0). • Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0).
O O
y y
x x
U U
O O
y y
x x
• Hàm số y = ax+ b
cx+ d
(c 6= 0, ad− bc 6= 0). • Hàm số y = ax
2 + bx+ c
dx+ e
(a 6= 0, d 6= 0).
O O
y y
x x
I I
O O
y y
x x
I I
C. Bài Tập
1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x3 + 3x2 − 4. b) y = −x3 + 3x− 2. c) y = −x3 + 1. d) y = x3 + 3x2 + 3x+ 1.
e) y = x3 + x− 2. f) y = −2x3 − x− 3. g) y = −x3 + 3x2 − 1. h) y = 13x3 − x2 − 3x− 53 .
1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x4 − 2x2 − 3. b) y = x4 + 2x2 − 1. c) y = 12x4 + x2 − 32 . d) y = 3− 2x2 − x4.
e) y = −x4 + 2x2 − 2. f) y = 2x4 − 4x2 + 1. g) y = −2x4 − 4x2 + 1. h) y = x4 − 4x2 + 3.
1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2− x . b) y =
x− 3
2− x . c) y =
x+ 3
x− 1 . d) y =
−x+ 2
2x+ 1
.
e) y =
x− 2
x+ 1
. f) y =
x+ 2
x− 1 . g) y =
2− x
x+ 1
. h) y =
x+ 3
x− 2 .
www.VNMATH.com
9
Nguyễn Minh Hiếu
1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
x2 + 2x+ 2
x+ 1
. b) y =
x2 − 2x− 3
x− 2 . c) y =
2x2 + 5x+ 4
x+ 2
. d) y =
−x2 − 2x
x+ 1
.
e) y =
x2 − 2x
x− 1 . f) y =
2x2 − x+ 1
1− x . g) y = −x+ 2 +
1
x− 1 . h) y = x− 1 +
1
x+ 1
.
www.VNMATH.com
10
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.
• Áp dụng công thức f(x).g(x) = 0⇔
[
f(x) = 0
g(x) = 0
.
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) < 0.
B. Bài Tập
2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x2 − 6x+ 6 > 0. b) −4x2 + x− 2 ≥ 0.
c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x− 10 ≤ 0. d) x4 + x2 + 4x− 3 ≥ 0.
2.2. Giải các bất phương trình sau
a)
x− 2
x2 − 9x+ 8 ≥ 0. b)
x2 − 3x− 2
x− 1 ≥ 2x+ 2.
c)
x+ 5
2x− 1 +
2x− 1
x+ 5
> 2. d)
1
x2 − 5x+ 4 <
1
x2 − 7x+ 10 .
2.3. Giải các phương trình sau
a) x3 − 5x2 + 5x− 1 = 0. b) x3 − 3√3x2 + 7x−√3 = 0.
c) x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12 = 0. d) (x− 3)3 + (2x+ 3)3 = 18x3.
e)
(
x2 + 1
)3
+ (1− 3x)3 = (x2 − 3x+ 2)3. f) (4 + x)2 − (x− 1)3 = (1− x) (x2 − 2x+ 17).
2.4. Giải các phương trình sau
a)
(
x2 − 4x+ 3)2 − (x2 − 6x+ 5)2 = 0. b) x4 = (2x− 5)2.
c) x4 + 3x2 + 3 = 2x. d) x4 − 4x− 1 = 0.
e) x4 = 6x2 − 12x+ 8. f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x+ 1.
2.5. Giải các phương trình sau
a) (x+ 3)4 + (x+ 5)4 = 2. b) (x+ 1)4 + (x+ 3)4 = 16.
c) (x+ 3)4 + (x− 1)4 = 82. d) x4 + (x− 1)4 = 418 .
2.6. Giải các phương trình sau
a) (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) (x+ 4) = 3. b)
(
x2 + 1
)
(x+ 3) (x+ 5) + 16 = 0.
c) (x− 1) (x− 2) (x− 3) (x− 6) = 3x2. d) (x2 − 2x+ 4) (x2 + 3x+ 4) = 14x2.
11
www.VNMATH.com
11
Nguyễn Minh Hiếu
2.7. Giải các phương trình sau
a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 = 0. b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x+ 2 = 0.
c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x+ 8 = 0. d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x+ 4 = 0.
2.8. Giải các phương trình sau
a)
(
x2 + 5x
)2 − 2 (x2 + 5x)− 24 = 0. b) (x2 + x+ 1) (x2 + x+ 2) = 12.
c)
(
x2 − 2x− 2)2 − 2x2 + 3x+ 2 = 0. d) (4x+ 3)2 (x+ 1) (2x+ 1) = 810.
2.9. Giải các phương trình sau
a)
1
2x2 − x+ 1 +
1
2x2 − x+ 3 =
6
2x2 − x+ 7 . b)
4x
4x2 − 8x+ 7 +
3x
4x2 − 10x+ 7 = 1.
c)
x2 + 1
x
+
x
x2 + 1
= −5
2
. d)
(
x− 1
x+ 2
)2
+
x− 3
x+ 2
− 2
(
x− 3
x− 1
)2
= 0.
e) x2 +
(
x
x+ 1
)2
= 1. f)
(
1
x2 + x+ 1
)2
+
(
1
x2 + x+ 2
)2
=
13
36
.
2.10. Giải các phương trình sau
a) |x− 1| = ∣∣x2 − 3x+ 1∣∣. b) ∣∣x2 + 4x− 5∣∣ = ∣∣x2 + 5∣∣.
c)
∣∣x2 − 5x+ 4∣∣− x = 4. d) √x2 + 4x+ 4 = 5− x2.
e)
∣∣x2 − 5x+ 4∣∣ = x2 + 6x+ 5. f) ∣∣x2 − 5x+ 5∣∣ = −2x2 + 10x− 11.
2.11. Giải các phương trình sau
a)
(
x2 − x)2 + ∣∣x2 − x∣∣− 6 = 0. b) 3(2x− 1
x+ 1
)2
−
∣∣∣∣ x+ 12x− 1
∣∣∣∣− 2 = 0.
c)
∣∣x2 + 3x− 10∣∣+ ∣∣x2 − 4∣∣ = 0. d) ∣∣x2 + 3x− 4∣∣+ ∣∣x2011 + 2011x− 2012∣∣ = 0.
2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x− 2| < |2x+ 1|. b)
∣∣∣∣2x− 3x− 3
∣∣∣∣ ≤ 1.
c)
∣∣x2 − 5x+ 4∣∣ ≤ x2 + 6x+ 5. d) ∣∣x2 − 2x∣∣+ x2 − 4 > 0.
2.13. Giải các phương trình sau
a) |9− x| = |6− 5x|+ |4x+ 3|. b) ∣∣x2 − 5x+ 4∣∣+ ∣∣x2 − 5x∣∣ = 4.
c) |7− 2x| = |5− 3x|+ |x+ 2|. d) |x− 1| − 2 |x− 2|+ 3 |x− 3| = 4.
e)
√
x2 − 2x+ 1 +√x2 + 4x+ 4 = 5. f)
√
x+ 2
√
x− 1 +
√
x− 2√x− 1 = 2.
§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.
• √f(x) = √g(x)⇔ { f(x) ≥ 0
f(x) = g(x)
. • √f(x) = g(x)⇔ { g(x) ≥ 0
f(x) = g2(x)
.
• 3√f(x) = 3√g(x)⇔ f(x) = g(x). • 3√f(x) = g(x)⇔ f(x) = g3(x).
• √f(x) < g(x)⇔
 f(x) ≥ 0g(x) > 0
f(x) < g2(x)
. • √f(x) > g(x)⇔

{
g(x) < 0
f(x) ≥ 0{
g(x) ≥ 0
f(x) > g2(x)
.
2. Đặt ẩn phụ
• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).
• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Dự đoán nghiệm (nếu có).
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).
4. Đánh giá hai vế.
• Đánh giá f(x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f(x) = g(x)⇔
{
f(x) = A
g(x) = A
.
www.VNMATH.com
12
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
B. Bài Tập
2.14. Giải các phương trình sau
a) x−√x− 1− 7 = 0. b) √2x+ 9 = √4− x+√3x+ 1.
c)
√
3x− 3−√5− x = √2x− 4. d)
√
2x+
√
6x2 + 1 = x+ 1.
e) 3
√
2x− 1 + 3√x− 1 = 3√3x+ 1. f) 3√x+ 1 + 3√x+ 2 + 3√x+ 3 = 0.
2.15. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x2 − 4x− 12 > 2x+ 3. b) √x2 − 4x− 12 ≤ x− 4.
c) 3
√
6x− 9x2 < 3x. d) √x3 + 1 ≥ x+ 1.
2.16. Giải các bất phương trình sau
a) (CĐ-09)
√
x+ 1 + 2
√
x− 2 ≤ √5x+ 1. b) (A-05) √5x− 1−√x− 1 > √2x− 4.
c)
√
2x+
√
6x2 + 1 > x+ 1. d) (A-04)
√
2 (x2 − 16)√
x− 3 +
√
x− 3 > 7− x√
x− 3 .
2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2
√
x+ 2 + 2
√
x+ 1−√x+ 1 = 4. b)
√
x− 1 + 2√x− 2−
√
x− 1− 2√x− 2 = 1.
c) x+
√
x+ 12 +
√
x+ 14 = 9. d)
√
x+ 2
√
x− 1 +
√
x− 2√x− 1 = x+ 3
3
.
2.18. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x
4 +
√
x− 4 ≥ 8− x. b) (D-02) (x2 − 3x)√2x2 − 3x− 2 ≥ 0.
c) (x− 2)√x2 + 4 < x2 − 4. d) (x+ 2)√9− x2 ≤ x2 − 2x− 8.
e)
√
x2 − 3x+ 2 +√x2 − 4x+ 3 ≥ 2√x2 − 5x+ 4. f) √x2 + x− 2 +√x2 + 2x− 3 ≤ √x2 + 4x− 5.
2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x− 1 + x2 − 3x+ 1 = 0. b)
√
7− x2 + x√x+ 5 = √3− 2x− x2.
c)
√
2x2 + 8x+ 6 +
√
x2 − 1 = 2x+ 2. d) 3
(
2 +
√
x− 2) = 2x+√x+ 6.
e) x2 + 3x+ 1 = (x+ 3)
√
x2 + 1. f)
√
x2 − 7
x2
+
√
x− 7
x2
= x.
2.20. Giải các bất phương trình sau
a)
1−√1− 4x2
x
< 3. b)
1−√21− 4x+ x2
x+ 1
≥ 0.
c)
2x√
2x+ 1− 1 > 2x+ 2. d)
x2(
1 +
√
1 + x
)2 > x− 4.
2.21. Giải các phương trình sau
a) (x+ 5) (2− x) = 3√x2 + 3x. b)
√
(x+ 1) (2− x) = 1 + 2x− 2x2.
c)
√
x+ 1 +
√
4− x+√(x+ 1) (4− x) = 5. d) √3x− 2 +√x− 1 = 4x− 9 + 2√3x2 − 5x+ 2.
2.22. Giải các phương trình sau
a) x+
√
4− x2 = 2 + 3x√4− x2. b) (x− 3) (x+ 1) + 4 (x− 3)
√
x+1
x−3 = −3.
c)
4
x2
+
x2
4− x2 +
5
2
(√
4− x2
x
+
x√
4− x2
)
+ 2 = 0. d) (B-2011) 3
√
2 + x−6√2− x+4√4− x2 = 10−3x.
2.23. Giải các phương trình sau
a) x2 + 3x+ 2 ≥ 2√x2 + 3x+ 5. b) x2 +√2x2 + 4x+ 3 ≥ 6− 2x.
c) x (x+ 1)−√x2 + x+ 4 + 2 ≥ 0. d) x2 − 2x+ 8− 6
√
(4− x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x+ 1
− 2
√
x+ 1
x
> 3. f)
√
x+ 2 +
√
x− 1 + 2√x2 + x− 2 ≤ 11− 2x.
2.24. Giải các phương trình sau
a) x2 − 1 = 2x√x2 − 2x. b) x2 − 1 = 2x√x2 + 2x.
c) (4x− 1)√x3 + 1 = 2x3 + 2x+ 1. d) x2 + 4x = (x+ 2)√x2 − 2x+ 24.
2.25. Giải các phương trình sau
a) 3
√
2− x = 1−√x− 1. b) (A-09) 2 3√3x− 2 + 3√6− 5x− 8 = 0.
c) 2
(
x2 + 2
)
= 5
√
x3 + 1. d) 2
(
x2 − 3x+ 2) = 3√x3 + 8.
www.VNMATH.com
13
Nguyễn Minh Hiếu
2.26. Giải các phương trình sau
a) x2 +
√
x+ 5 = 5. b) x3 + 2 = 3 3
√
3x− 2.
c) x3 + 1 = 2 3
√
2x− 1. d) x 3√35− x3 (x+ 3√35− x3) = 30.
2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) (B-2012) x+ 1 +
√
x2 − 4x+ 1 ≥ 3√x. b) (A-2010) x−
√
x
1−√2 (x2 − x+ 1) ≥ 1.
c) 3
√
x2 − 2 = √2− x3. d) x+
√
3 (1− x2) = 2 (1− 2x2).
2.28. Giải các phương trình sau
a)
√
4x− 1 +√4x2 − 1 = 1. b) √x− 1 = −x3 − 4x+ 5.
c)
√
2x− 1 +√x2 + 3 = 4− x. d) x5 + x3 −√1− 3x+ 4 = 0.
e) x3 + 4x− (2x+ 7)√2x+ 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x3 + x− (x+ 1)√2x+ 1 = 0.
2.29. Giải