Bài toán trong đề thi châu Á Thái Bình Dương 2016

Bài toán trong đề thi châu Á Thái Bình Dương 2016
(AMOPS= Asia- Pacific Mathematical Olympiad for Primary School)
Bài toán sau đây được ra trong cuộc thi AMOPS 2016 (dành cho học sinh lớp 6) diễn ra vào ngày 9/4 vừa qua.
1/. Đề bài:
Có 6 chữ A, P, M, O, P, S. Một cái máy tính sắp xếp các từ theo thứ tự trong từ điển: AMOPPS, AMOPSP, AMOSPP..., SPPOMA
Hỏi từ POAMSP ở vị trí thứ bao nhiêu?
2/. Bài giải & Đáp số:
Đây là một bài toán thú vị nhưng khá khó, đặc biệt là đối với trình độ lớp 6. Việc liệt kê cũng gặp khó khăn vì có đến 360 từ.
Để cho tiện, ta sẽ thay các chữ cái bằng các chữ số, đương nhiên là giữ thứ tự của chúng: A, M, O, P, P, S lần lượt được thay bằng 1, 2, 3, 4, 4, 5. 
Chữ cái
A
M
O
P
P
S
Chữ số
1
2
3
4
4
5
Ta sắp các số có 6 chữ số lập từ các chữ số trên theo thứ tự tăng dần. Cần biết số 431254 nằm ở vị trí thứ mấy?
Từ
P
O
A
M
S
P
Chữ số
4
3
1
2
5
4
Nói cách khác, ta cần tìm số các số có 6 chữ số lập từ các chữ số nói trên và nhỏ hơn hay bằng 434521.
Giả sử các số đó có dạng abcdef. 
Nếu a < 4 thì a có 3 cách chọn. 5 chữ số còn lại sẽ có 5.4.3.2.1/2 = 60 cách chọn (vì có 2 số 4 giống nhau). Vậy có 3 x 60 = 180 số trong trường hợp này.
Nếu a = 4 và b < 3 thì b có 2 cách chọn. 4 chữ số còn lại sẽ có 4.3.2.1 = 24 cách chọn. Vậy có: 2 x 24 = 48 số trong trường hợp này.
Nếu a = 4, b = 3 thì do số 431254 là số thứ nhì sau số 431245 bắt đầu bằng 43 nên trường hợp này chỉ có thêm hai số. 
 Như vậy tổng lại ta có 180 + 48 + 2 = 230.
 è Đáp án : từ POAMSP ở vị trí 230.
Theo TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM
3/.  Thông tin thêm về Kỳ thi APMOPS 
APMOPS là Kỳ thi danh tiếng được tổ chức hàng năm bởi Học viện Hwa Chong, Singapore. APMOPS tạo điều kiện cho những thiên tài toán học có cơ hội giao lưu và tranh tài với bạn bè cùng lứa tuổi đến từ khắp các nước trong khu vực Châu Á - Thái Bình Dương như Úc, Ấn Độ, Xing-ga-po, Trung Quốc, Niu-di-lân, Việt Nam
Học viện Hwa Chong là Trường tư thục hàng đầu Singapore với lịch sử hơn 90 năm hoạt động.
Tiền thân của APMOPS là kỳ thi học sinh giỏi toán tiểu học SPMOPS của Singapore, SPMOPS được tổ chức lần đầu năm 1990. Cơ cấu giải thưởng của APMOPS là:
2% thí sinh đạt điểm cao nhất sẽ nhận giải Bạch Kim, 
5% tiếp theo nhận huy chươn vàng (HCV), 
5% tiếp theo đạt giải bác (HCB), 
10% tiếp đạt giải đồng (HCĐ). 
Từ năm 2001, SPMOPS được đồng nhất và chuyển thành APMOPS, mở rộng phạm vi đối tượng cho cả các thí sinh cùng độ tuổi ở các nước trong khu vực cùng tham gia. Ban tổ chức gửi đề thi niêm phong cho các đơn vị đồng tổ chức tại các nước, đảm bảo tất cả các thí sinh cùng thi và kết thúc ở khoảng thời gian tương đương. Năm 2011 APMOPS có 8000 thí sinh tham gia. Năm 2016 mới xong vòng I, còn vòng II vào đầu tháng 5/2016
Phong cách các bài toán Olympic của Singapore pha trộn hai kiểu: kiểu Mỹ ở tính đa dạng và dài, kiểu Trung Quốc ở độ khó. Nhiều bài toán (dù đơn giản) cũng có ý tưởng tốt và được phát biểu dưới hình thức hấp dẫn. 
 PHH sưu tầm và tổng hợp theo Internet 18/4/2016
(Mời các bạn quan tâm có thể TK 24 đề bài tương tự trong cùng trang Violet này)