Bài tập: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy

BÀI TẬP: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y + 1 = 0, đường phân giác trong BN : 2x + y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC. 
Bài làm :
AB đi qua A(1 ;-2) và AB CH AB : x + y + 1 = 0
 B = ABBN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt 
 B(-4 ; 3)
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’BC.
Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0.
 Gọi I = dBN thì tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt :
 I(--1;-3).
 I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4)
Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0
 C= BCCH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :
 C()
 BC = , d(A,BC) = 3 ; 
 SABC = 
Bài 2:Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích .
Bài làm :
- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương 
- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : 
Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của AB . 
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
- Ta có : 
- Vậy : (đvdt).
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là .
Bài làm :
H(1;0)
K(0;2)
M(3;1)
A
B
C
- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến .
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương .
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
 . Theo tính chất đường cao kẻ từ A : 
. Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương 
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến 
.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài làm :
Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
- Ta có : 
- (AB) có , (BD) có 
- Gọi (AC) có 
- Do đó : 
- Suy ra : 
- (AC) cắt (BC) tại C 
- (AC) cắt (AB) tại A : 
- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : 
- (AD) cắt (BD) tại D : 
- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 các em làm tương tự .
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
Bài làm :
A(2;3)
B
C
x+y+5=0
x+2y-7=0
G(2;0)
M
- B thuộc d suy ra B :, C thuộc d' cho nên C: .
- Theo tính chất trọng tâm : 
- Ta có hệ : 
- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương , cho nên (BG): 
- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=
Bài 6: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M(D) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất
Bài làm :
- M thuộc suy ra M(2t+2;t ) 
- Ta có : 
Tương tự : 
- Do dó : f(t)= . Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) = đạt được tại 
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC 
Bài làm :
- y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC
- (AB) cắt (AC) tại A : 
- B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m) 
- Theo tính chất trọng tâm : 
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài làm :
B
C
K
H
A(3;0)
x+y+1=0
2x-y-2=0
- Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương do đó d : . Đường thẳng d cắt (CK) tại C : 
- Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K suy ra B(2t-3;4t-4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) . Gọi (C) : là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : 
- Vậy (C) : 
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x-y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông
Bài làm :
- Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD). 
- Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương
 . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ : 
- Từ B(t;7t+8) suy ra : . Để là hình vuông thì BA=BC :
Và BAvuông góc với BC 
. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I 
- Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có 
(AD) qua A(-4;5) có 
(BC) qua B(0;8) có 
(DC) qua D(-1;1) có 
* Chú ý : Ta còn cách giải khác 
- (BD) : , (AC) có hệ số góc và qua A(-4;5) suy ra (AC): .
-Gọi I là tâm hình vuông : 
- Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương 
. Chọn a=1, suy ra 
Tương tự : và đường thẳng (DC): 
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là:x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3).
Bài làm :
A
B
C
x+2y-5=0
3x-y+7=0
F(1;-3)
- Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 
. Đường thẳng d' qua A vuông góc với (BC) có . (AB) có . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương trình : 
- Với k=- 
- Với k= 
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và 
Bài làm :
- Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ :
A
B
C
G
M
2x+y+5=0
3x+2y-1=0
- Nếu C thuộc 
- Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là trọng tâm thì : 
- Vậy ta tìm được : C(-35;65) và B( 49;-53).
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài làm :
- (AC) qua C(1;2) và vuông góc với đường cao BK cho nên có :
- (AC) cắt (AH) tại A : 
- (BC) qua C(1;2) và vuông góc với (AH) suy ra 
- (BC) cắt đường cao (AH) tại B 
- Khoảng cách từ B đến (AC) : 
Bài 13: Trong mpOxy, cho DABC có trục tâm H, pt các đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x - y - 3 = 0, x + y - 7 = 0. Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC.
Bài làm :
A(2;5)
B
C
E
K
H
4x-y-3=0
x+y-7=0
- Tọa độ A là nghiệm của hệ : 
Suy ra : A(2;5). . Suy ra (AH) có véc tơ chỉ phương . (BC) vuông góc với (AH) cho nên (BC) có suy ra (BC): x-4y+m=0 (*).
- C thuộc (AC) suy ra C(t;7-t ) và . Cho nên ta có : .
- Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến 
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến CM có pt lần lượt là: 3x - y + 11 = 0, x + y - 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C
Bài làm :
Đường thẳng (AC) qua A(4;3) và vuông góc với (BH) suy ra (AC) : 
(AC) cắt trung tuyến (CM) tại C : 
B
H
C
M
A(4;3)
3x-y+11=0
x+y-1=0
- B thuộc (BH) suy ra B(t;3t+11 ). Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB , đồng thời M thuộc (CM) . 
.
Do đó tọa độ của B(-4;-1) và M(0;1 ).
Bài 15: Laäp ph. trình caùc caïnh cuûa ABC, bieát ñænh A(1 ; 3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt töø B vaø C coù ph.trình laø: x– 2y +1= 0 vaø y –1= 0.
Bài làm :
A(1;3)
B
C
M
N
x-2y+1=0
y-1=0
G
E
Gọi G là trọng tâm tam giác thì tọa độ G là nghiệm của hệ . E(x;y) thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có :
A'
. C thuộc (CN) cho nên C(t;1), B thuộc (BM) cho nên B(2m-1;m) . Do B,C đối xứng nhau qua E cho nên ta có hệ phương trình : . Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ chỉ phương . Tương tự : 
(AB) qua A(1;3) có . 
(AC) qua A(1;3) có 
 * Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy ra A'(1;-1) thì BGCA' là hình bình hành , từ đó ta tìm được tọa độ của 2 đỉnh B,C và cách lập các cạnh như trên.
Bài 16: Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1;3), trung điểm AC là J(-3;1). Điểm A thuộc Oy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC và đường cao vẽ từ B ?
Bài làm :
I(1;3)
J(-3;1)
A
B
C
ax+by=0
H
- Do A thuộc Oy cho nên A(0;m). (BC) qua gốc tọa độ O cho nên (BC): ax+by=0 (1).
- Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJ //BC suy ra (BC) có véc tơ chỉ phương :
.
- B thuộc (BC) suy ra B(2t;t) và A(2-2t;6-t) . Nhưng A thuộc Oy cho nên : 2-2t=0 , t=1 và A(0;5). Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1).
- Đường cao BH qua B(0;1) và vuông góc với AC cho nên có 
Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0) ,B(3;-4). Hãy tìm trên d điểm M sao cho : nhỏ nhất
Bài làm :
- Trên d có M(3-2t;t) suy ra : 
- Do vậy : 
- Hay : f(t)=. Dấu đẳng thức xảy ra khi t= . Khi đó min(t)= .
Bài 18: Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa 2 đường chéo là và . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).
Bài làm :
- Tâm của hình chữ nhật có tọa độ là nghiệm của hệ : 
Gọi d là đường thẳng qua M(-3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : . Khi đó 
. Gọi cạnh hình vuông (AB) qua M thì theo tính chất hình chữ nhật : 
Do đó : 
Bài 19: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
Bài làm :
V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ
=
 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . 
Víi ta cã , víi ta cã 
Bài 20: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)
Bài làm :
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0)
Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :
 9a2 + 100ab – 96b2 = 0
Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác . Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 
Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0