Bài tập ôn HSG Toán 8

DẠNG I: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Cõu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
P = 
	a. Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P.
	b. Tỡm giỏ trị của x khi P = 1.
Cõu 2: (4,0 điểm). Cho biểu thức: 
 	a) Rỳt gọn A;
 	b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn;
 	c) Tớnh giỏ trị của A với .
Bài 3: (4,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
Rỳt gọn P.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
Xột biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.
Bài 4: (4,0 điểm) Cho 
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tỡm giỏ trị của x để A = . 
Cõu 5: (4,0 điểm). Cho biểu thức: 
 	a) Rỳt gọn A;
 	b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn;
 	c) Tớnh giỏ trị của A với .
Bài 6: (4,0 điểm).
	Cho biểu thức . 
 a) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 b) Chứng minh rằng với mọi x thoả món .
Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức :
a) Tỡm x để P cú nghĩa và chứng minh rằng P .
b) Tỡm x thoả món : 
Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức:
	a) Rỳt gọn biểu thức P.
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P nguyờn.
Bài 9: (4,0 điểm).
Cho biểu thức: 
Rỳt gọn biểu thức .
Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn.d 
Bài 10: (4,0 điểm).
 Cho biểu thức: A = 
 a.Rỳt gọn biểu thức A.
 b.Tớnh giỏ trị biểu thức A khi .
Bài 11: (4 điểm) Cho biờ̉u thức: 
a) Rút gọn biờ̉u thức .
b) Tìm các giá trị nguyờn của đờ̉ biờ̉u thức nhọ̃n giá trị nguyờn.
Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức: 
A = 
a. Rỳt gọn biểu thức.
b. Cho Tỡm Max A.	
Bài 13. Cho biểu thức :
a.Rỳt gọn A.
b.Tớnh A biết 
c.Tỡm x để A > 1.
Bài 14. Cho biểu thức :	
a.Rỳt gọn P.
b.Tỡm m để 
c.Tỡm m N để P N.
Bài15. Cho biểu thức :	P = 
 	a.Rỳt gọn P
 	 b.Chứng minh 0 P 1.
Bài 16. Cho biểu thức:	M = 
	a.Tỡm điều kiện của x để M cú nghĩa.
	b.Rỳt gọn M.
	c.Chứng minh M 
Bài 17. Cho biểu thức :	 D = : 
a) Rỳt gọn biểu thức D.
b) Tớnh giỏ trị của D khi = 2.
Bài 18. Cho biểu thức :	A = 
a.Rỳt gọn A.
b.Tớnh A với : a = 
	Bài 19. Cho : A = 
	a.Rỳt gọn A.
	b.Tỡm a để A < 1.
	b.Tỡm a để A Z.
	Bài 20. Cho :	 A = 
	a.Rỳt gọn A.
	b.So sỏnh : A với .
	Bài 21. Cho : A = 
Tớnh A biết : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 22. Cho : A = .
a.Rỳt gọn A.
b.Cho xy = 16. Tỡm minA.
 23: Cho biểu thức : N = 
	a, Rỳt gọn biểu thức N.
	b, Tớnh N khi a = , b = 
	c, CMR nếu Thỡ N cú giỏ trị khụng đổi.
 24: Cho biểu thức : M = 
	a, Rỳt gọn biểu thức M.
	b, Tớnh M khi a = và b = 
	c, Tỡm a, b trong trường hợp thỡ M = 1.
 25: Cho biểu thức : H = 
	a, Rỳt gọn biểu thức H.
	b, Tớnh H khi x = .
	c, Tỡm x khi H = 16.
HƯỚNG DẪN
1
a
 Điều kiện để P xỏc định và rỳt gọn
	 x > 1
 P = 
 = 
 = 
0,5
0.5
0.5
0.5
b
Với x > 1, P = 1 	 = 1
	 ( x - 1 ) - 2 = 0 
Đặt = t ( t 0 ), ta cú : t2 - 2t = 0 t( t - 2 ) = 0,
tớnh được t1 = 0 , t2 = 2. 
* Với t = = 0 x = 1 (bị loại vỡ x > 1) 
* Với t = = 2 x - 1 = 4 x = 5. 
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 2
4,0 đ
a. 
(2,0đ)
ĐK: x
A = 1 - 
A = 1 - 
A = 1 - 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,0đ)
Do nờn là số hữu tỉ.
Suy ra x là số chớnh phương, do đú Z =>Ư(2)
Do và Ư(2) => x = 0
Vậy x = 0 thỡ A cú giỏ trị nguyờn.
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
c.
(1,0đ)
Với x = 
 x = - 7
 . Vậy A
0,5 đ
0,5 đ
3
a.(2,0đ) Đk : 
Vậy , với 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b. (1,0đ) 
dấu bằng xảy ra ( thỏa món)
Vậy GTNN của P là khi .
0,5
0,25
0,25
(1,0đ).Với thỡ Q = > 0. (1)
Xột 
Dấu bằng khụng xảy ra vỡ điều kiện .
Nờn Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a(2,0đ) 
Vậy với .
0,5
0,5
0,5
0,5
b(2,0đ) Với Ta cú: 
Vậy A = x = .
0,5
1,0
0,5
Cõu 5
4,0 đ
a. 
(2,0đ)
ĐK: x
A = 1 - 
A = 1 - 
A = 1 - 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,0đ)
Do nờn là số hữu tỉ.
Suy ra x là số chớnh phương, do đú Z =>Ư(2)
Do và Ư(2) => x = 0
Vậy x = 0 thỡ A cú giỏ trị nguyờn.
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
c.
(1,0đ)
Với x = 
 x = - 7
 . Vậy A
0,5 đ
0,5 đ
Cõu 6.a) 
Ta cú . Từ đú giải được
b)Ta cú: 
Do nờn . Vậy 
Cõu 7. a) Điều kiện x>0 Ta cú : 
P= P-1=	Vậy 	
b) 43x + 6 -1 = 0	
(thỏa nmónmón) 	
(loại) 	
 (thoó món điều kiện x>0) .	
Cõu 8.a) Điều kiện để P cú nghĩa: . Ta cú: 
b).Theo cõu a ta cú: . Do đú để P ẻ Z thỡ ta cần ẻ Z Û 
Û x = 1.Vậy với x = 1 thỡ P cú giỏ trị nguyờn.
Bài 9: . a)Ta cú: , nờn điều kiện để A cú nghĩa là 
. 
. ()
b).Với là số nguyờn khụng õm, để A là số nguyờn thỡ (vỡ và ). Khi đú: 
Bài 10: 1. Điều kiện: . A = 
Bài11.a) Ta có: , nờn điờ̀u kiợ̀n đờ̉ A có nghĩa là 
. 
 () 
b) 
Với , đờ̉ A là sụ́ nguyờn thì (vì và ).Khi đó: 
Bài 12: . a) Đk : x ³ 0; y ³ 0; x.y ạ 1.
Quy đồng rỳt gọn ta được: A =
b) ị Max A = 9 Û 
Hướng dẫn
*****@*****
Bài 13.a. - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là : 
- Rút gọn A từng phần ta được kết quả :
b.Biến đổi : 
- Thay vào và rút gọn A ta có : 
c.Xét hiệu : 
Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : buộc : 
Bài 14.a. ĐK : 
- Biến đổi rút gọn : 
b. Ta có : 
c. Viết P dưới dạng : 
Suy ra : là ước của 2. Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9.
Bài 15. Điều kiện x 0.
	Rút gọn P = 
	b.Chứng tỏ : P0 và 1-P 0
Bài 16. 
	a.Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:
	x 0 và x1
	b.Rút gọn :	M =
	c.Ta có :	M = = 
Bài 17.
a.Học sinh có thể rút gọn từng phần hoặc cả bài cùng lúc.
- Điều kiện : 
- Rút gọn biểu thức bị chia ta có :
 	 = 
Vậy : 
 D = 
b) = 2 .
Với x = 7 tính được D = 49.
Với x = 3 thì D không xác định.
Bài 18.
a.Rút gọn ta dược kết quả : 	A = 4a.
b.Biến đổi a như sau :
Vậy : A = 8.
Bài 19. a.Rút gọn : A = 
b.Xét hiệu : A - 1 = 
Để A < 1 buộc A - 1 < 0 
c.Ta có : A = 1 + là ước của 4.
Các ước của 4 là : 
Xét các trường hợp ta có các giá trị sau của a thoã mãn :
16 ; 4 ; 25 ; 1 ; 49.
Bài 20. a.Rút gọn A ta có : A = .
b.Xét hiệu : 
Bài 21. - Trước tiên cần rút gọn A trước.
-Ta có : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = (x - y)2 + (x - 2)2 = 0
Bài 22. a.Rút gọn A = 
b. 
Đặt : = t 0 ta có : A = (1)
Phương trình (1) phải có nghiệm 
Khi đó t = 2 tức là x = 4 ; y = 4.
Bài 23. a, Rút gọn biểu thức N. N = = 
 == 
 == 
 = = 
b, Tính N : Ta có a = = , b = =
N = = 
c, áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: =Thay vào N = ta được N = =.Vậy N không đổi là N = khi 
Bài 24. 	a, Rút gọn biểu thức M. Điều kiện: a 
 M = =
 == 
	b, Tính M khi a = và b = 
 M = = 
	c, Tìm a, b trong trường hợp thì M = 1.
(2)
(1)
 Ta giải hệ phương trình sau: 
 Từ phương trình (1) rút ra b = 2a thay vào phương trình (2) của hệ ta được: =1
 (TMĐK)và a= 0 (Loại)
 a=3 b = 6 . Vậy a=3 , b=6 thì M = 1
Bài 25. 	a, Rút gọn biểu thức H. Điều kiện: x >1
 H = 
 = 
	b, Tớnh ,; ta cú: x = = 
 H = x - 2= 9+2
	c, Tỡm x khi H = 16.
 H = 16 x - 2= 16 x - 2- 16 = 0(x - 1) - 2- 15 = 0 
 Xột: = a ; a 0 
a2 -2a - 15 = 0 
= 1+15=16 = 42
a1/2 = 1 4 a1 = 5 và a2= -3 ( loại)
a1 = 5 = 5 x-1 = 25 x = 26
DẠNG II : ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m cú đồ thị là đường thẳng d .Tỡm giỏ trị của m để 
Gúc tạo bởi (d) và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến)
(d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
(d) song song với đường thẳng y = 3x – 4 
(d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
(d) luụn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0
(d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm cú hoành độ là -2
(d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( cú hoành độ õm)
(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm (hoặc ở bờn trỏi trục tung)
(d) cắt đường thẳng y = 5x – 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn trục hoành)
Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung
Giải :Hàm số cú a = 2m – 5 ; b = 3
Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự 
Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi đường thẳng d cú hệ số a > 0 
2m – 5 >0 m > ( thỏa món)
Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi đường thẳng d cú hệ số a < 0 
2m – 5 <0 m < ( thỏa món )
Vậy gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi m > 
 gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi m < 
(d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú
 -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( thỏa món)
Vậy với m = thỡ (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
Chỳ ý : Phải viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ”, khụng được viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào đường thẳng d ”
(d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 
(d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 ( thỏa món)
Vậy m = 4 là giỏ trị cần tỡm
(d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
Ta cú 3x + 2y = 1 
(d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 (d) song song với đường thẳng 
 ( thỏa món) . Vậy là giỏ trị cần tỡm
(d) luụn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0
Ta cú 2x - 4y - 3 = 0 
(d) luụn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0 (d) luụn cắt đường thẳng 
. Kết hợp với điều kiờn ta cú m và là giỏ trị cần tỡm.
(d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm cú hoành độ là -2
Thay x = -2 vào phương trỡnh đường thẳng 2x + y = -3 ta được 2. (-2) + y = -3 y = 1
(d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa món). 
Vậy m = 3 là giỏ trị cần tỡm.
(d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( cú hoành độ õm)
Thay y = 0 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú 0 = (2m - 5)x + 3 x = 
(d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( thỏa món).
Vậy là giỏ trị cần tỡm.
(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm (hoặc ở bờn trỏi trục tung)
(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 2m – 5 3 m 4
Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 3x + 1 là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau :
( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 ( vỡ m 4 )
(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm 
 ( thỏa món cỏc điều kiện m và m 4 ) 
Vậy m > 4 là giỏ trị cần tỡm.
(d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn trục hoành)
* (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5
* Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 5x - 3 là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau :
( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3( 2m - 10)x = -6 ( vỡ m 5 )
Thay vào phương trỡnh đường thẳng y = 5x - 3 ta cú y = 
(d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương 
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú 0 < m < 5 và m là giỏ trị cần tỡm
Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung
Giả sử (d) luụn đi qua điểm cố định cú tọa độ ( x0 ; y0). Khi đú :
y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 với mọi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 với mọi m
Vậy (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung cú tọa độ là ( 0 ; 3 )
Chỳ ý đề bài 1: 
* Ta luụn so sỏnh m tỡm được với điều kiện của đề bài là m ( điều này rất rất hay quờn)
* Nếu đề bài chỉ “Cho phương trỡnh bậc nhất” mà khụng cho điều kiện ta vẫn phải đặt điều kiện để phương trỡnh là phương trỡnh bậc nhất ( tức là phải cú a 0 và lấy điều kiện đú để so sỏnh trước khi kết luận)
Đề bài 2:
Cho đường thẳng d cú phương trỡnh y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tỡm m và n để :
(d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1)
b, (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1
c, (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 1
d, (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1
e, (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3
f, (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và cú tung độ gốc là -3
g, (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )
Giải : 
(d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1)
(d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 
(d) đi qua điểm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1).2 – 3n +6 2m - 3n = -9
Thay m = -3 vào ta cú 2. (-3) – 3n = -9 n = 1 ( thỏa món )
Vậy m = -3 , n = 1 
(d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1
(d) song song với đường thẳng y = 3x + 1
(d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1 0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6 m + 3n = 5
Thay m = 2 vào ta được 2 + 3n = 5 n = 1 ( thỏa món ) .Vậy m = 2 , n = 1
 (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 1
* (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 0 = ( m + 1 ). – 3n + 6 m - 2n = -5
(d) cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 1 1 = -3n + 6 n = . 
Thay vào phương trỡnh m - 2n = -5 ta cú m - 2. = -5 m = -.Vậy n = , m = -
(d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1
(d) song song với đường thẳng y = 2x + 3
(d) cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1
 . 
 Thay m = 1 vào ta cú 1 – 3n = - 2 n = 1( khụng thỏa món )
Vậy khụng cú giỏ trị nào của m và n thỏa món điều kiện đề bài.
 Chỳ ý : Ta thường quờn so sỏnh với điều kiện nờn dẫn đến kết luận sai 
(d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3
(d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) 
(d) cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 
Thay vào phương trỡnh m + n = 2 ta được m + 1 = 2 m = 1
Vậy m = 1 , n = 1
(d) đi qua ( 2 ; -5 ) và cú tung độ gốc là -3
(d) đi qua diểm ( 2 ; -5 ) 
(d) cú tung độ gốc là -3 
Thay vào phương trỡnh 2m - 3n = -13 ta được 2m – 3.3 = -13 m = -2
Vậy m = -2 , n = 3
(d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )
(d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 )
 Vậy m = 0 , m = 
Đề bài 3:
Cho hai hàm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 và y = 2mx - 3m - 4 cú đồ thị tương ứng là (d1) và (d2). Tỡm m để :
 a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau
 b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung
 c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành
 d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung
 e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn dưới trục hoành
 f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )
 g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d1) luụn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định.
Giải :Để cỏc hàm số đó cho là cỏc hàm số bậc nhất ta phải cú : 
Chỳ ý : Điều kiện trờn luụn được dựng so sỏnh trước khi đưa ra một kết luận về m 
 a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau
(d1) và (d2) song song với nhau 
(d1) và (d2) cắt nhau 
(d1) và (d2) trựng nhau ( vụ nghiệm )
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú:
 Với m = 3 thỡ (d1) và (d2) song song với nhau
 , , thỡ (d1) và (d2) cắt nhau
 Khụng cú giỏ trị nào của m để (d1) và (d2) trựng nhau
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung
 (d1) và (d2) cắt nhau 
 (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung khi 
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú với m = -1 thỡ (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung.
Chỳ ý : Giao điểm của ( d1) và ( d2) với trục tung lần lượt là ( 0 ; 2m + 1) và ( 0 ; -3m -4 ) nờn chỳng cắt nhau tại 1 điểm trờn trục tung khi hai điểm đú trựng nhau, tức là 2m+1 = -3m – 4. Do đú lời giải trờn nhanh mà khụng phải làm tắt.
c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành
(d1) và (d2) cắt nhau 
Thay y = 0 vào phương trỡnh đường thẳng (d1) và (d2) ta cú 
 ( Vỡ , )
à Giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành lần lượt là 
 (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành khi 
Phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai cú a - b + c = 0 nờn cú hai nghiệm m1 = -1 ; m2 = 12
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m = -1 hoặc m = 12 thỡ d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành
Chỳ ý : Phải kết hợp với cả ba điều kiện là , , rồi mới kết luận.
d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung
(d1) và (d2) cắt nhau 
Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau :
 ( vỡ m 3 )
(d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung khi hoành độ giao điểm dương
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú 
e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn dưới trục hoành
(d1) và (d2) cắt nhau 
Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau :
 ( vỡ m 3 )
Thay vào phương trỡnh đường thẳng ( d1) ta cú 
* (d1) cắt (d2) tại điểm nằm bờn dưới trục hoành khi tung độ giao điểm õm 
Nờn (*) tương đương với m-3<0 
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú : là giỏ trị cần tỡm 
 f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )
(d1) và (d2) cắt nhau 
(d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 ) 
Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m = -2 là giỏ trị cần tỡm.
g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d1) luụn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định.
Giả sử khi m thay đổi cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( x0 ; y0 ) , tức là : 
Vậy khi ma thay đổi thỡ cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định 
Chỳ ý : Với đường thẳng ( d2 ) ta làm tương tự , điểm cố định là 
Đề bài Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt cú phương trỡnh y = -2x + 4 và y = 2x - 2 
Tỡm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trờn.
Vẽ trờn cựng một hệ trục tọa độ cỏc đường thẳng d1 và d2
Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục hoành; D và E lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục tung.Tớnh diện tớch cỏc tam giỏc ABC , ADE , ABE.
Tớnh cỏc gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành.
Giải :a, Tỡm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trờn.
Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trỡnh sau : 
Vậy giao điểm A của hai đường thẳng là A
b, Vẽ trờn cựng một hệ trục tọa độ cỏc đường thẳng d1 và d2
 Xột đường thẳng (d1) : y = -2x + 4
 Với x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. Đường thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) và ( 2 ; 0 )
 Xột đường thẳng (d2) : y = 2x - 2
 Với x = 0 y = -2 ; y = 0 x = 1. Đường thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) và ( 1 ; 0 )
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
1
2
3
4
-1
-2
-3
x
y
A
E
C
B
D
d1
d2
H
K
Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục hoành; D và E lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với trục tung.Tớnh diện tớch cỏc tam giỏc ABC , ADE , ABE.
Ta cú : A , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) và E( 0 ; -2 ) 
Do đú : BC = | 2 – 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 – 0 | = 2
Gọi AH là đường cao của ABC , AK là đường cao của ADE AH = 1 , AK = 
Gọi , , , lần lượt là diện tớch của cỏc tam giỏc ABC , ADE , BDE , ABE. 
Ta cú :
 ( đơn vị diện tớch )
 ( đơn vị diện tớch )
 ( đơn vị diện tớch )
 ( đơn vị diện tớch )
Tớnh cỏc gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành.
Gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành lần lượt là 
Tam giỏc OBD vuụng tại O cú : 
Tam giỏc OCE vuụng tại O cú : 
Vậy gúc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 với trục hoành cựng là 63,40.
II. CHÚ í : Khi đề bài khụng cho điều kiện của tham số m mà núi là cho hàm số bậc nhất thỡ khi làm bài ta vẫn phải tỡm điều kiện để cú phương trỡnh bậc nhất và dựng điều kiện này để so sỏnh trước khi kết luận
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cõu 1: (3,0 điểm).
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m.
b) Tớnh giỏ trị của m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 2 (1,5 điểm)
 Tìm hai số thực dương a , b sao điểm M có toạ độ (a ;b2 +3) và điểm N
 Có toạ độ ( ; 2 ) cùng thuộc đồ thị của hàm số : y = x2 . 
Bài 3 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) v à có hệ số góc k.
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phận biệt G và H với mọi k.
Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Câu 4 (1 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m2 – 3m)x +m và đường thẳng (d’): y = 4x + 4. Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
Bài 5 (2.0 điểm) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm C, D thuộc parabol (P) với xc = -1, xD = 2
1.Tìm toà độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD.
2.Tìm p để đường thẳng (d): y = (2p2-p)x+p+1(với p là tham số) song song với đường thẳng CD.
Cõu 6: Cho hàm số : y = ax + b (1)
Xỏc định giỏ trị của a và b để đồ thị của hàm số (1)đi qua điểm A(1;5) và B(-2:-1)
Chứng tỏ rằng cỏc đường thẳng AB và cỏc đường thẳng y = x + 5 ,
 y = 3x + 1 đồng quy.
Cõu 7: Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2. 
a) Vẽ (P) và (d) trờn cựng hệ trục tọa độ Oxy. 
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tỡm điểm M trờn cung AB của (P) sao cho diện tớch tam giỏc MAB lớn nhất. 
c) Tỡm điểm N trờn trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. 
Cõu 8: (2 điểm) 	
1.Cho hàm số: ; với tham số.
a) Tớnh theo tọa độ cỏc giao điểm A; B của đồ thị hàm số với cỏc trục Ox; Oy. H là hỡnh chiếu của O trờn AB. Xỏc định giỏ trị của để 
b) Tỡm quỹ tớch (tập hợp) trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Cõu 9: (2điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng(d): y = mx +1 và parabol(P): y = 2x2. 
Tỡm m để (d) đi qua A(1;3)
Chứng minh rằng (d) luụn cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt A(x1;y1) và B(x2;y2). Hóy tớnh giỏ trị của T = x1x2 + y1y2
Cõu 10 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol (P) : y = x2
Tỡm n để (d) đi qua điểm B(0;2)
Tỡm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa món: 4
HƯỚNG DẪN
Cõu 1
3,0 đ
a.
(1,5đ)
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là: 
 (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m 
 mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m 
 (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m
 Vậy cỏc đường thẳng (d) luụn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ)
+ Với m = 2, ta cú đường thẳng y = 1 
 do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m = 1, ta cú đường thẳng x = -1 
 do đú khoảng cỏch từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung. 
Ta cú: x = 0 y = , do đú OA = .
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.
 Ta cú: y = 0 x = , do đú OB = 
 Gọi h là khoảng cỏch Từ O đến đường thẳng (d). Ta cú: 
 .
 Suy ra h2 2, max h = khi và chỉ khi m = . (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = khi và chỉ khi m = . 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
8
1.a
Tỡm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta cú: AOB vuụng tại O và cú OH là đường cao nờn: Hay 
0,25
0,5
2,0
1.b
Hoành độ trung điểm I của AB: 
Tung độ trung điểm I của AB: 
Ta cú: Quỹ tớch trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng 
0,25
0,25
2
 Hệ luôn có nghiệm duy nhất 
Vì từ (2) 
Thay vào (1) ta được:
 (m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1 
(m2 + m + 1)x = m3 - 1 
Mà m2 + m + 1 = 
Hệ có nghiệm duy nhất là:	
Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m - 2 
= 
= 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP = 
0,25
0,25
0,25
Cõu 9
Thay x =1; y = 3 vào (d) ta được: m.1 +1 = 3 suy ra m = 2
Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x2 = mx + 1 ú 2x2 – mx - 1 = 0
Ta cú a = 2, b = -m, c = -1ú ú phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m nờn (d) luụn cắt (P) tại 2 điểm phõ
 biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) với mọi m. Áp dụng hệ thức Vi-ột ta cú: 
Ta cú T = x1.x2+ y1y2 Mà y1= 2x12 và y2 = 2x22 nờn T = x1x2 + 2x2.2x22 = 
Cõu 10
Thay x = 0; y = 2 vào phương trỡnh đường thẳng (d) ta được: n = 3
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 – x – (n - 1) = 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt thỡ phương trỡnh (*) phải cú 2 nghiệm phõn biệt x1; x2
.
Khi đú theo định lý Vi ột ta cú: 
Theo đề bài: 4
Vậy n = 2 là giỏ trị cần tỡm.
DẠNG III: . PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIẫT
I. VÍ DỤ 
Đề bài 1: Cho phương trỡnh x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0
Giải phương trỡnh với 
Chứng minh phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món 2x1 + 5x2 = -1
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món 
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trỡnh 
Tỡm GTNN của 
Tỡm GTLN của 
Khi phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 , chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào m
Giải :
 a. Giải phương trỡnh với 
Với ta cú phương trỡnh : 
 phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt :
Vậy với phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt là 
Chứng minh phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt
 Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu khi 
Vậy với m<1 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm trỏi dấu.
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu khi 
Vậy với m > 1 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm cựng dấu.
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương khi
Vậy với m > 1 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm cựng dương.
 f. Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm khi
Vậy khụng cú giỏ trị nào của m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm cựng õm.
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Để phương trỡnh cú nghiệm dương ta cú cỏc trường hợp sau : 
Phương trỡnh cú một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0
Thay x = 0 vào phương trỡnh ta cú m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vào phương trỡnh ta được 
x2 - x = 0 ( thỏa món )
Phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương, điều kiện là :
Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu, điều kiện là :
Kết hợp cả ba trường hợp ta cú với mọi m thỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm dương
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m
Theo định lớ Viet ta cú x1.x2 = 
Phương trỡnh cú hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1 
Vậy với m = 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau.
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món 2x1 + 5x2 = -1
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m
Theo định lớ Viet và đề bài ta cú : 
Nhõn hai vế của (1) với 5 sau đú trừ cỏc vế tương ứng cho (3) ta được : 
5x1 + 5x2 – 2 x1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 (4)
Thay (4) vào (1) ta cú : (5)
Thay (4) và (5) vào (2) ta được phương trỡnh :
Vậy với thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm thỏa món điều kiện đề bài.
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m
Theo định lớ Viet ta cú : 
Theo đề bài : 
Thay (1) và (2) vào (3) ta cú (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1 
Phương trỡnh cú dạng a + b + c = 0 nờn cú hai nghiệm là m1 = 1 ; m2 = 
Vậy với thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm thỏa món điều kiện đề bài.
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trỡnh 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m. Theo định lớ Viet ta cú :
Vậy hệ thức cần tỡm là 
Tỡm GTNN của 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m
Theo định lớ Viet ta cú : 
Đặt A = 
Thay (1) và (2) vào ta cú
 với mọi m (3)
Mà 
Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)2 = 0 
Vậy GTNN của là 1 xảy ra khi m = 1
Tỡm GTLN của 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m
Theo định lớ Viet ta cú : 
Ta cú (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được :
 Vỡ 
Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2
Vậy GTLN của là 2 khi m = 2
Khi phương trỡnh cú hai nghiệm x1 và x2 , 
 chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào m : 
Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Vỡ nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 với mọi m. Theo định lớ Viet ta cú : 
Vậy biểu thức B khụng phụ thuộc vào giỏ trị của m.
Đề bài 2. Cho phương trỡnh (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0
Giải phương trỡnh với m = -5
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm duy nhất
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
*Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 thỏa món x1 + 3x2 = 4
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm mà tớch của chỳng bằng -1
Khi phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 .Tớnh theo m giỏ trị của 
Tỡm m để A = 6
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 trong đú cú một nghiệm là . Khi đú hóy lập phương trỡnh cú hai nghiệm là 
Giải : 
Giải phương trỡnh với m = -5
Thay m = -5 vào phương trỡnh ta cú : -4x2 + 6x = 0 
Vậy với m = -5 , phương trỡnh cú hai nghiệm là 0 và 
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm
Với m = -1 phương trỡnh trở thành -2x + 4 = 0 . Phương trỡnh cú một nghiệm x = 2
Với m -1 phương trỡnh là phương trỡnh bậc hai cú a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
Phương trỡnh cú nghiệm khi 
Túm lại phương trỡnh cú nghiệm khi 
Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm duy nhất
Với m = -1 phương trỡnh trở thành -2x + 4 = 0 . P.trỡnh cú một nghiệm duy nhất x = 2
Với m -1 phương trỡnh là phương trỡnh bậc hai cú a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5
Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi ( thỏa món )
Túm lại phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi 
Chỳ ý : Trường hợp phương trỡnh bậc hai cú cũng được coi là cú nghiệm duy nhất
Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Với m = -1 phương trỡnh trở thành -2x + 4 = 0 . P.trỡnh cú một nghiệm duy nhất x = 2
Với m -1 phương trỡnh là phương trỡnh bậc hai cú a = m+1 , b = -2(m