Bài tập hình 9 chọn lọc

(tiÕp theo k× tr­íc)
Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E.
C/m ABOC nội tiếp.
Chứng tỏ AB2=AE.AD.
C/m góc và DBDC cân.
CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB.
Hình 51
1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)
2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh DADB ∽ DABE , vì có chung.
Sđ =sđ cung (góc giữa tt và 1 dây)
Sđ =sđ (góc nt chắn )
3/C/m 
* Do ABOC ntÞ (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt cắt nhau) Þ DABC cân ở AÞ
* sđ =sđ (góc giữa tt và 1 dây); sđ =sđ (góc nt)
Þ = mà = (do CD//AB) Þ Þ DBDC cân ở B.
4/ Ta có chung; (góc giữa tt và 1 dây; góc nt chắn cung BE)Þ DIBE∽DICBÞÞ IB2=IE.ICu
Xét 2 DIAE và ICA có chung; sđ =sđ () mà DBDC cân ở BÞ Þsđ =
 Þ DIAE∽DICAÞ ÞIA2=IE.IC vTừ uvàvÞIA2=IB2Þ IA=IB
Bài 52:
 Cho DABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’.
Tính bán kính của (O).
Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì?
Kẻ AK^CC’. C/m AKHC là hình thang cân.
Quay DABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của hình được tạo ra.
1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 Þ AB=5; DABA’ vuông ở BÞBH2=AH.A’H
ÞA’H==
ÞAA’=AH+HA’=
ÞAO=
2/ACA’C’ là hình gì?
Do O là trung điểm AA’ và CC’ÞACA’C’ là 
Hình 52
Hình bình hành. Vì AA’=CC’(đường kính của đường tròn)ÞAC’A’C là hình chữ nhật.
3/ C/m: AKHC là thang cân:
¿ ta có AKC=AHC=1vÞAKHC nội tiếp.ÞHKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà DOAC cân ở OÞOAC=OCAÞHKC=HCAÞHK//ACÞAKHC là hình thang.
¿ Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)Þ KAO+OAC=KCH+OCAÞHình thang AKHC có hai góc ở đáy bằng nhau.Vậy AKHC là thang cân.
4/ Khi Quay D ABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nón. Trong đó BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón.
Sxq=p.d=.2p.BH.AB=15p
V=B.h=pBH2.AH=12p
Bài 53:Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ^OA (MỴ cung AC ; QỴ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P.
C/m: a/ PMIO là thang vuông.
 b/ P; Q; O thẳng hàng.
Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP.
Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: 
 a/ MH.MQ= MP2.
 b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DQHP.
1/ a/ C/m MPOI là thang vuông.
Vì OI^MI; CO^IO(gt)
ÞCO//MI mà MP^CO ÞMP^MIÞMP//OIÞMPOI là thang vuông.
b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng:
Do MPOI là thang vuông ÞIMP=1v hay QMP=1vÞ QP là đường kính của (O)Þ Q; O; P thẳng hàng.
2/ Tính góc CSP:
Ta có 
sđ CSP=sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn) mà cung CP = CM
Hình 53
và CM=QD Þ CP=QD Þ sđ CSP=sđ(AQ+CP)= sđ CSP=sđ(AQ+QD) =sđAD=45o. Vậy CSP=45o.
3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có : Vì D AOM cân ở O; I là trung điểm AO; MI^AOÞDMAO là tam giác cân ở MÞ DAMO là tam giác đều Þ cung AM=60o và MC = CP =30o Þ cung MP = 60o. Þ cung AM=MP Þ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung bằng nhau.)Þ DMHP∽DMQPÞ đpcm.
 b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D QHP.
Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp DQHP.Do cung AQ=MP=60oÞ DHQP cân ở H và QHP=120oÞJ nằm trên đường thẳng HOÞ DHPJ là tam giác đều mà HPM=30oÞMPH+HPJ=MPJ=90o hay JP^MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHPQ Þđpcm.
Bài 54:
 Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D.
C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn.
C/m AC//MO và MD=OD.
Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME.MF
Xác định vị trí của điểm M trên d để DMAB là tam giác đều.Tính diện tích phần tạo bởi hai tt với đường tròn trong trường hợp này.
1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v
2/¿ C/m AC//OM: Do MA và MB là hai tt cắt nhau ÞBOM=OMB và MA=MB ÞMO là đường trung trực của ABÞMO^AB.
Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ÞCA^AB. Vậy AC//MO.
Hình 54 554
¿C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng ^CB)ÞDOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)ÞDOM=DMOÞDDOM cân ở DÞđpcm.
3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM và MAF có góc M chung. 
Sđ EAM=sd cungAE(góc giữa tt và 1 dây)
Sđ AFM=sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ÞEAM=A FM ÞDMAE∽DMFAÞđpcm.
4/¿Vì AMB là tam giác đềuÞgóc OMA=30oÞOM=2OA=2OB=2R
¿Gọi diện tích cần tính là S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB
Ta có AB=AM==RÞS AMBO=BA.OM= .2R. R= R2Þ Squạt==ÞS= R2-=
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 55:
 Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.
C/m AMN=BMC.
C/mDANM=DBMC.
DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE^Ax.
Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC.
Hình 55 554
1/C/m AMN=BMA.
 Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) và do NM^DCÞNMC=1v vậy:
AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1vÞ AMN=BMA.
2/C/m DANM=DBCM:
Do cung AM=MB=90o.Þdây AM=MB và MAN=MBA=45o.(DAMB vuông cân ở M)ÞMAN=MBC=45o.
Theo c/mt thì CMB=AMNÞ DANM=DBCM(gcg)
3/C/m EF^Ax.
Þ AND=CNB
 Do ADMN ntÞAMN=AND(cùng chắn cung AN)
 Do MNBC ntÞBMC=CNB(cùng chắn cung CB)
Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)
Ta lại có AND+DNA=1vÞCNB+DNA=1v ÞENC=1v mà EMF=1v ÞEMFN nội tiếp ÞEMN= EFN(cùng chắn cung NE)Þ EFN=FNB
Þ EF//AB mà AB^Ax Þ EF^Ax.
4/C/m M cũng là trung điểm DC:
Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).
ÞDNMC vuông cân ở MÞ MN=NC. Và DNDC vuông cân ở NÞNDM=45o.
ÞDMND vuông cân ở MÞ MD=MNÞ MC= DM Þđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 56:
 Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD^AB; CE^MA; CF^MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF.
C/m AECD nt.
C/m:CD2=CE.CF
Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE.
C/m IK//AB.
Hình 56 554
1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối)
2/C/m: CD2=CE.CF.
Xét hai tam giác CDF và CDE có:
-Do AECD ntÞCED=CAD(cùng chắn cung CD)
-Do BFCD ntÞCDF=CBF(cùng chắn cung CF)
Mà sđ CAD=sđ cung BC(góc nt chắn cung BC)
 Và sđ CBF=sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)ÞFDC=DECu
Do AECD nt và BFCD nt ÞDCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)ÞDCF=DCEv.Từ uvà vÞDCDF∽DCEDÞđpcm.
3/Gọi tia đối của tia CD là Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD và 
xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECDÞ xCF= xCE.Þđpcm.
4/C/m: IK//AB.
Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)
Do ADCE ntÞCDE=CAE(cùng chắn cung CE)
ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt cùng chắn 1 cung)ÞCBA=CDI.trong DCBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vÞDKCI nội tiếpÞ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)ÞKIC=BACÞKI//AB.
Bài 57:
 Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P>R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn.
C/m BM/ / OP.
Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành.
AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng.
Hình 57 554
1/ C/m:BM//OP:
Ta có MB^AM (góc nt chắn nửa đtròn) và OP^AM (t/c hai tt cắt nhau)
Þ MB//OP.
2/ C/m: OBNP là hình bình hành:
 Xét hai D APO và OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) và do NB//AP Þ POA=NBO (đồng vị)ÞDAPO=DONBÞ PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) Þ OBNP là hình bình hành.
3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:
Ta có: PM^OJ và PN//OB(do OBNP là hbhành) mà ON^ABÞON^OJÞI là trực tâm của DOPJÞIJ^OP. 
-Vì PNOA là hình chữ nhật ÞP; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, mà MN//OPÞ MNOP là thang cânÞNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn cung NM) Þ ÞDIPO cân ở I. Và KP=KOÞIK^PO. Vậy K; I; J thẳng hàng.
& 
Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.
C/m DABI vuông cân
Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC.AI=AD.AJ.
C/m JDCI nội tiếp.
Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH^AB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH.
Hình 58 554
1/C/m DABI vuông cân(Có nhiều cách-sau đây chỉ C/m 1 cách):
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)ÞDABC vuông ở C.Vì OC^AB tại trung điểm OÞAOC=COB=1v
Þ cung AC=CB=90o. ÞCAB=45 o. (góc nt bằng nửa số đo cung bị chắn)
DABC vuông cân ở C. Mà Bt^AB có góc CAB=45 o Þ DABI vuông cân ở B.
2/C/m: AC.AI=AD.AJ.
Xét hai DACD và AIJ có góc A chung sđ góc CDA=sđ cung AC =45o.
Mà D ABI vuông cân ở BÞAIB=45 o.ÞCDA=AIBÞ DADC∽DAIJÞđpcm
3/ Do CDA=CIJ (cmt) và CDA+CDJ=2vÞ CDJ+CIJ=2vÞCDJI nội tiếp.
4/Gọi giao điểm của AK và DH là N Ta phải C/m:NH=ND
-Ta có:ADB=1v và DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ÞKDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v và KDB+KDJ=1vÞKJD=JDKÞDKDJ cân ở K ÞKJ=KD ÞKB=KJ.
-Do DH^ và JB^AB(gt)ÞDH//JB. Aùp dụng hệ quả Ta lét trong các tam giác AKJ và AKB ta có:
;Þ mà JK=KBÞDN=NH.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 59:
 Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M.
Chứng minh: NMBO nội tiếp.
CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB
C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM
Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều.
1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối)
2/C/m CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB:
-Do AB^CD tại trung điểm O của AB và CD.ÞCung AD=DB=CB=AC=90 o.
Þsđ AMD=sđcungAD=45o.
Hình 59 554
sđ DMB=sđcung DB=45o.ÞAMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ÞEMC=CMA=45o.Vậy CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB.
3/C/m: AM.DN=AC.DM.
Xét hai tam giác ACM và NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt)
Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)ÞDAMC∽DDMNÞđpcm.
4/Khi ON=NM ta c/m DMOB là tam giác đều.
Do MN=ONÞDNMO vcân ở NÞNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v và NOM+MOB=1vÞOMB=MOB.Mà OMB=OBM ÞOMB=MOB=OBMÞDMOB là tam giác đều.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 60:
 Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d.
C/m: CD=CE.
Cmr: AD+BE=AB.
Vẽ đường cao CH của DABC.Chứng minh AH=AD và BH=BE.
Chứng tỏ:CH2=AD.BE.
Chứng minh:DH//CB.
1/C/m: CD=CE:
 Do AD^d;OC^d;BE^dÞAD//OC//BE.Mà OH=OBÞOC là đường trung bình của hình thang ABEDÞ CD=CE.
2/C/m AD+BE=AB.
Theo tính chất đường trung bình
Hình 60 554
của hình thang ta có:OC=ÞBE+AD=2.OC=AB.
3/C/m BH=BE.Ta có:
sđ BCE=sdcung CB(góc giữa tt và một dây)
sđ CAB=sđ cung CB(góc nt)ÞECB=CAB;DACB cuông ở CÞHCB=HCA
ÞHCB=BCEÞ DHCB=DECB(hai tam giác vuông có 1 cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau) ÞHB=BE.
-C/m tương tự có AH=AD.
4/C/m: CH2=AD.BE.
DACB có C=1v và CH là đường cao ÞCH2=AH.HB. Mà AH=AD;BH=BE
Þ CH2=AD.BE.
5/C/m DH//CB.
Do ADCH nội tiếp Þ CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt) Þ CDH=ECB ÞDH//CB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 61:
 Cho DABC có: A=1v.D là một điểm nằm trên cạnh AB.Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G.
C/m CAFB nội tiếp.
C/m AB.ED=AC.EB
Chứng tỏ AC//FG.
Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy.
Hình 61 554
1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC)
2/C/m DABC và DEBD đồng dạng.
3/C/m AC//FG:
Do ADEC nội tiếp ÞACD=AED(cùng chắn cung AD).
Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)ÞACF=CFGÞAC//FG.
4/C/m AC; ED; FB đồng quy:
AC và FB kéo dài cắt nhau tại K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng.
BA^CK và CF^KB; ABÇCF=DÞD là trực tâm của DKBCÞKD^CB. Mà DE^CB(góc nt chắn nửa đường tròn)ÞQua điểm D có hai đường thẳng cùng vuông góc với BCÞBa điểm K;D;E thẳng hàng.Þđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 62:
 Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O).M là điểm di động trên d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn..Hạ OH^d tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K.
C/m: MHIK nội tiếp.
2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2.
CMr khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định.
Hình 62 554
1/C/m MHIK nội tiếp. (Sử dụng tổng hai góc đối)
2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2.
-Xét hai tam giác OIM và OHK có O chung.
Do HIKM nội tiếpÞIHK=IMK(cùng chắn cung IK) ÞDOHK∽DOMI ÞÞOH.OI=OK.OM u
OPM vuông ở P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:OP2=OK.OMv.Từ uvà vÞđpcm.
4/Theo cm câu2 ta có OI=mà R là bán kính nên không đổi.d cố định nên OH không đổi ÞOI không đổi.Mà O cố định ÞI cố định.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 63:
 Cho D vuông ABC(A=1v) và AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối của tia HB lấy HD=HB rồi từ C vẽ đường thẳng CE^AD tại E.
C/m AHEC nội tiếp.
Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và DAHE cân.
C/m HE2=HD.HC.
Gọi I là trung điểm AC.HI cắt AE tại J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH.
EC kéo dài cắt AH ở K.Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi.
1/C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E và H)
2/C/m CB là phân giác của ACE 
Do AH^DB và BH=HD ÞDABD là tam giác cân ở A ÞBAH=HAD mà BAH=HCA (cùng phụ với góc B).
Do AHEC nt ÞHAD=HCE (cùng chắn cung HE) ÞACB=BCE
Þđpcm
Hình 63 554
-C/m DHAE cân: Do HAD=ACH(cmt) và AEH=ACH(cùng chắn cung AH) ÞHAE=AEHÞDAHE cân ở H.
3/C/m: HE2=HD.HC.Xét 2 DHED và HEC có H chung.Do AHEC nt ÞDEH=ACH( cùng chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) ÞDEH=HCE ÞDHED∽DHCEÞđpcm.
4/C/m DC.HJ=2IJ.BH:
ðDo HI là trung tuyến của tam giác vuông AHCÞHI=ICÞDIHC cân ở I ÞIHC=ICH.Mà ICH=HCE(cmt)ÞIHC=HCEÞHI//EC.Mà I là trung điểm của ACÞJI là đường trung bình của DAECÞJI=EC.
ðXét hai DHJD và EDC có: -Do HJ//Ecvà EC^AEÞHJ^JD ÞHJD=DEC=1v và HDJ=EDC(đđ)ÞDJDH~DEDCÞ
ÞJH.DC=EC.HD mà HD=HB và EC=2JIÞđpcm
5/Do AE^KC và CH^AK AE và CH cắt nhau tại DÞD là trực tâm của DACKÞKD^AC mà AB^AC(gt)ÞKD//AB
-Do CH^AK và CH là phân giác của DCAK(cmt)ÞDACK cân ở C và AH=KH;Ta lại có BH=HD(gt),mà H là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ABKDÞ ABKD là hình bình hành.Nhưng DB^AKÞ ABKD là hình thoi.Bài 64:
 Cho tam giác ABC vuông cân ở A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE ^Bx tại E.Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F.
C/m FD^BC,tính góc BFD
C/m ADEF nội tiếp.
Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF 
Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào?
Hình 64 554
1/ C/m: FD^BC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtròn).Hay BE^FC; và CA^FB.Ta lại có BE cắt CA tại DÞD là trực tâm của DFBCÞFD^BC.
Tính góc BFD:Vì FD^BC và BE^FC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng vuông góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45oÞBFD=45o
2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối.
3/C/m EA là phân giác của góc DEF.
Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(DABC vuông cân ở A)
ÞAEB=45o.Mà DEF=90oÞFEA=AED=45oÞEA là phân giác
4/Nêùu Bx quay xung quanh B :
-Ta có BEC=1v;BC cố định.
-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động trên đường tròn đường kính BC.
-Giới hạn:Khi Bxº BC Thì EºC;Khi BxºAB thì EºA. Vậy E chạy trên cung phần tư AC của đường tròn đường kính BC.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 65:
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM.
 1/cm: ACMP nội tiếp.
 2/Chứng tỏ AB//DE
 3/C/m: M; P; Q thẳng hàng.
Hình 65 554
 Q
 M
 P
 D E
 A C O B
1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối)
2/C/m AB//DE:
Do ACMP nội tiếp ÞPAM=CPM(cùng chắn cung PM)
Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếpÞMCD=DEM(cùng chắn cung MD).Ta lại có:
Sđ PAM=sđ cung AM(góc giữa tt và 1 dây)
Sđ ABM=sđ cung AM(góc nội tiếp)
ÞABM=MEDÞDE//AB
3/C/m M;P;Q thẳng hàng:
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v ÞMPC=MCQ.
Ta lại có DPCQ vuông ở CÞMPC+PQC=1vÞMCQ+CQP=1v hay CMQ=1vÞPMC+CMQ=2vÞP;M;Q thẳng hàng.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 66:
 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K.
C/m: IA2=IM.IB .
C/m: DBAF cân.
C/m AKFH là hình thoi.
Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được.
Hình 66 554
 I
 F
 M
 H
 E K
 A B
1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB và IAM đồng dạng)
2/C/m DBAF cân:
Ta có sđ EAB=sđ cung BE(góc nt chắn cung BE)
Sđ AFB =sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ở ngoài đtròn)
Do AF là phân giác của góc IAM nên IAM=FAMÞcung AE=EM
Þ sđ AFB=sđ(AB-AE)= sđ cung BEÞFAB=AFBÞđpcm.
3/C/m: AKFH là hình thoi:
Do cung AE=EM(cmt)ÞMBE=EBAÞBE là phân giác của Dcân ABF
Þ BH^FA và AE=FAÞE là trung điểm ÞHK là đường trung trực của FA ÞAK=KF và AH=HF.
Do AMÞBF và BH^FAÞK là trực tâm của DFABÞFK^AB mà AH^AB ÞAH//FK ÞHình bình hành AKFH là hình thoi.
5/ Do FK//AIÞAKFI là hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp thì AKFI phải là thang cânÞgóc I=IAMÞDAMI là tam giác vuông cân ÞDAMB vuông cân ở MÞM là điểm chính giữa cung AB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 67:
 Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh:
COMNP nội tiếp.
CMPO là hình bình hành.
CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của M.
Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định.
1/c/m:OMNP nội tiếp:(Sử dụng hai điểm M;N cùng làm với hai đầu đoạn OP một góc vuông.
2/C/m:CMPO là hình bình hành:
Ta có: CD^AB;MP^ABÞCO//MP.u
 C
 K
 A O M B
 N
 D P y
Hình 67 554
Do OPNM nội tiếpÞOPM=ONM(cùng chắn cung OM).
DOCN cân ở O ÞONM=OCMÞOCM=OPM.
Gọi giao điểm của MP với (O) là K.Ta có PMN=KMC(đ đ) ÞOCM=CMK ÞCMK=OPMÞCM//OPv.Từ u và v ÞCMPO là hình bình hành.
3/Xét hai tam giác OCM và NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtròn)
ÞNCD là tam giác vuông.ÞHai tam giác vuông COM và CND có góc C chung.
ÞDOCM~DNCDÞCM.CN=OC.CDw
Từ w ta có CD=2R;OC=R.Vậyw trở thành:CM.CN=2R2 không đổi.vậy tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của vị trí của M.
4/Do COPM là hình bình hànhÞMP//=OC=RÞKhi M di động trên AB thì P di động trên đường thẳng xy thoả mãn xy//AB và cách AB một khoảng bằng R không đổi.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 68:
 Cho DABC có A=1v và AB>AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng minh:
AFHE là hình chữ nhật.
BEFC nội tiếp
AE. AB=AF. AC
FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Chứng tỏ:BH. HC=4. OE.OF.
Hình 68 554
 A
 E O
 F
 B I H K C
1/ C/m: AFHE là hình chữ nhật. BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtròn); EAF=1v(gt) Þđpcm.
2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE là hình chữ nhật.ÞDOAE cân ở O ÞAEO=OAE. Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)ÞAEF=ACB mà AEF+BEF=2vÞBEF+BCE=2vÞđpcm
3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xét hai tam giác vuông AEF và ACB có AEF=ACB(cmt) ÞDAEF~DACBÞđpcm
4/ Gọi I và K là tâm đường tròn đường kính BH và CH.Ta phải c/m FE^IE và FE^KF.
-Ta có O là giao điểm hai đường chéo AC và DB của hcnhật AFHEÞEO=HO; IH=IK cùng bán kính); AO chungÞ DIHO=DIEO ÞIHO=IEO mà IHO=1v (gt)Þ IEO=1vÞ IE^OE tại diểm E nằm trên đường tròn. Þđpcm. Chứng minh tương tự ta có FE là tt của đường tròn đường kính HC.
5/ Chứng tỏ:BH.HC=4.OE.OF.
Do DABC vuông ở A có AH là đường cao. Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:AH2=BH.HC. Mà AH=EF và AH=2.OE=2.OF(t/c đường chéo hình chữ nhật)Þ BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF 
Bài 69:
 Cho DABC có A=1v AH^BC.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E.
Tính góc DOE.
Chứng tỏ DE=BD+CE.
Chứng minh:DB.CE=R2.(R là bán kính của đường tròn tâm O)
C/m:BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính DE.
 E
 I
 A
Hình 69 554
 D 2
4
 1 2 3 
1
H O
C
 B 
1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chungÞHai tam giác vuông DOB bằng DOAÞO1=O2.Tương tự O3=O4.ÞO1+O4=O2+O3.
Ta lại có O1+O2+O3+O4=2vÞ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o. 
2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) và DE=DA+AE
ÞDE=DB+CE.
3/Do DDE vuông ở O(cmt) và OA^DE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt)
ÞR2=AD.AE. 
4/Vì DB và EC là tiếp tuyến của (O)ÞDB^BC và DE^BCÞBD//EC.Hay BDEC là hình thang.
Gọi I là trung điểm DEÞI là tâm đường tròn ngoại tiếp DDOE.Mà O là trung điểm BCÞOI là đường trung bình của hình thang BDECÞOI//BD.
Ta lại có BD^BCÞOI^BC tại O nằm trên đường tròn tâm IÞBC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DDOE.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 70:
 Cho DABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.Gọi HD là đường kính của đường tròn (A;AH).Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E.
Chứng minh DBEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE.C/m:AI=AH.
C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 
C/m:BE=BH+DE.
Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K.Và AH=2R.Tính diện tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K.
 D E
Hình 70 554
 I
 A
 —K
 C H B
1/C/m:DBEC cân:.Xét hai tam giác vuông ACH và AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE là tiếp tuyến của (A)ÞHD^DE và DH^CB gt)ÞDE//CHÞDEC=ECHÞDACH=DAEDÞCA=AEÞA là trung điểm CE có BA^CEÞBA là đường trung trực của CEÞDBCE cân ở B.
2/C/m:AI=AH. Xét hai tam giác vuông AHB và AIB(vuông ở H và I) có AB chung và BA là đường trung trực của Dcân BCE(cmt) ÞABI=ABH ÞDAHB=DAIB ÞAI=AH.
3/C/m:BE là tiếp tuyến của (A;AH).Do AH=AIÞI nằm trên đường tròn (A;AH) mà BI^AI tại IÞBI là tiếp tuyến của (A;AH) 
4/C/m:BE=BH+ED.
Theo cmt có DE=CH và BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE Þđpcm.
5/Gọi S là diện tích cần tìm.Ta có:
S=S(A)-S(K)=pAH2-pAK2=pR2-
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 71:
 Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ.Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC tại P.
C/m:Q;N;C thẳng hàng.
CP.CB=CN.CQ.
C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM.
Hình 71 554
1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:
Gọi Tâm của đường tròn đường kính AM là O và đường tròn đường kính DC là I.
-Do AQMD nội tiếp nên ADM+AMQ=2v
Mà ADM=1v ÞAQM=1v và DAQ=1vÞAQMD là hình chữ nhật.
ÞDQ là đường kính của (O) ÞQND=1v(góc nt chắn nửa đường tròn
 A Q B
 O P
 N
 H
 D I M C
-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtròn tâm I)ÞQND+DNC=2vÞđpcm.
2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vuông CPN và CBQ đồng dạng (có góc C chung)
3/Gọi H là giao điểm của AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm trên đường tròn tâm O,đường kính AM.
-Do QBCM là hcnhậtÞDMQC=DBQC.
Xét hai tam giác vuông BQC và CDP có:QCB=PDC(cùng bằng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vuông)ÞDBQC=DCDPÞDCDP=DMQCÞPC=MC.Mà C=1vÞDPMC vuông cân ở CÞMPC=45o và DBC=45o(tính chất hình vuông) ÞMP//DB.Do AC^DBÞMP^AC tại HÞAHM=1vÞH nằm trên đường tròn tâm O đường kính AM.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 72:
 Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K.
C/m:DAHK cân.
Gọi I là giao điểm của BE với CD.C/m:AI^DE
C/m CEKI nội tiếp.
C/m:IK//AB.
DABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC.
1/C/m:DAKH cân:
sđ AHK=sđ(DB+AE)
sđ AKD=sđ(AD+EC)
(Góc có đỉnh nằm trong đường tròn)
Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)
ÞAHK=AKDÞđpcm.
 A
 E
 D H K
 I ·O
 B C
Hình 72 554
2/c/m:AI^DE
Do cung AE=ECÞABE=EBC(góc nt chắn các cung bằng nhau)ÞBE là phân giác của góc ABC.Tương tự CD là phân giác của góc ACB.Mà BE cắt CD ở IÞI là giao điểm của 3 đường phân giác của DAHKÞAI là phân giác tứ 3 mà DAHK cân ở AÞAI^DE.
3/C/m CEKI nội tiếp:
Ta có DEB=ACD(góc nt chắn các cung AD=DB) hay KEI=KCIÞđpcm.
4/C/m IK//AB
Do KICE nội tiếpÞIKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn cung BC)ÞBAC=IKCÞIK//AB.
5/DABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC:
Nếu AI//EC thì EC^DE (vì AI^DE)ÞDEC=1vÞDC là đường kính của (O) mà DC là phân giác của ACB(cmt)ÞDABC cân ở C.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 73:
 Cho DABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E.
C/m góc DA’C=DA’E
C/m DA’DC=DA’DE
Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào?
C/m BAC=2.CEB
1/C/m DA’C=DA’E
Ta có DA’E=AA’B (đđ
Và sđAA’B=sđAB
CA’D=A’AC+A’CA (góc ngoài DAA’C)
Mà sđ A’AC=sđA’C
SđA’CA=sđAC
Hình 73 554
 A
 E
 O A’
 D
 B C
ÞsđCA’D=sđ(A’C+AC)= sđ AC.Do dây AB=ACÞCung AB=AC
ÞDA’C=DA’E.
2/C/m DA’DC=DA’DE.
Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1vÞđpcm.
3/Khi AA’ quay xunh quanh A thì E chạy trên đường nào?
Do DA’DC=DA’DEÞDC=DEÞAD là đường trung trực của CE ÞAE=AC=ABÞKhi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường tròn tâm A;bán kính AC.
4/C/m BAC=2.CEB
Do DA’CE cân ở A’ÞA’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngoài DA’EC).
Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)ÞBAC=2.BEC.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 74:
 Cho DABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB.O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC.H là giao điểm OM với AC>
C/m:OM//BC.
Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D.Cmr:MBCD là hình bình hành.
Tia AM cắt CD tại K.Đường thẳng KH cắt AB ở P.Cmr:KP^AB.
C/m:AP.AB=AC.AH.
Gọi I là giao điểm của KB với (O).Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng.
Hình 74 554
 D
 K C
 I
 M Q H
 A P O B
1/C/m:OM//BC. Cung AM=MC(gt)ÞCOM=MOA(góc ở tâm bằng sđ cung bị chắn).Mà DAOC cân ở OÞOM là đường trung trực của DAOCÞOM^AC.MàBC^AC(góc nt chắn nửa đường tròn)Þđpcm.
2/C/m BMCD là hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) và CD//MB (gt) Þđpcm.
3/C/ KP^AB.Do MH^AC(cmt) và AM^MB(góc nt chắn nửa đtròn); MB//CD(gt)ÞAK^CD hay MKC=1vÞMKCH nội tiếpÞMKH=MCH(cùng chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM) ÞHAK=HKAÞDMKA cân ở HÞM là trung điểm AK.Do DAMB vuông ở M ÞKAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)ÞMBA=MKH hay KAP+AKP=1vÞKP^AB.
4/Hãy xét hai tam giác vuông APH và ABC đồng dạng(Góc A chung)
5/Sử dụng Q là trực tâm cuỉa DAKB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 75:
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot^ EF, nó cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm).
1.Cmr DABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp.
2.Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K.Tính sđ độ của góc HOK
3.Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp.
4.Chứng minh rằng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHOK.
 A
 K
 H S I
 D
 P M N Q
 B E O F C
Hình 75 554
1/Cm DABC là tam giác đều:Vì AB và AC là hai tt cắt nhau ÞCác DAPO; AQO là các tam giác vuông ở P và Q.Vì IA=IO(gt)ÞPI là trung tuyến của tam gíac vuông AOPÞPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)ÞPO=IO=PIÞDPIO là tam giác đềuÞPOI=60o.ÞOAB=30o.Tương tự OAC=30oÞBAC=60o.Mà DABC cân ở A(Vì đường caoAO cũng là phân giác) có 1 góc bằng 60o ÞABC là tam giác đều.
2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)
ÞGóc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:
POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120oÞHOK=60o.
3/
Bài 76:
 Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt nhau ở F.
C/m:ABCD là thang cân.
Chứng tỏ FD.FA=FB.FC.
C/m:Góc AED=AOD.
C/m AOCF nội tiếp.
 F
Hình 76 554
1/ C/m ABCD là hình thang cân:
Do ABCD là hình thang ÞAB//CDÞBAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)ÞBDC=ACD
Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)ÞADC=BCD
Vậy ABCD là hình thang cân.
2/c/m FD.FA=FB.FC
C/m Hai tam giác FDB và 
 A B
 E
 D C
 O
DFCA đồng dạng vì Góc F chung và FDB=FCA(cmt)
3/C/m AED=AOD:
·C/m F;O;E thẳng hàng: Vì DDOC cân ở OÞO nằm trên đường trung trực của Dc.Do ACD=BDC(cmt)ÞDEDC cân ở EÞE nằm tren đường trung trực của DC.Vì ABCD là thang cân ÞDFDC cân ở FÞF nằm trên đường trung trực của DCÞF;E;O thẳng hàng.
·C/m AED=AOD.
Ta có:Sđ AED=sđ(AD+BC)= .2sđAD=sđAD vì cung AD=BC(cmt)
Mà sđAOD=sđAD(góc ở tâm chắn cung AD)ÞAOD=AED.
4/Cm: AOCF nội tiếp:
+
 Sđ AFC= sđ(DmC-AB)
 Sđ AOC=SđAB+sđ BC
 Sđ (AFC+AOC) =sđ DmC-sđAB+sđAB+sđBCu.
Mà sđ