Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Học Lớp 5 (Có đáp án)

Bài 1:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
                                            (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)
            Giải
Ta có SMIC= 1/2 SMCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
           SMIC=SMIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
        Cho ta:      SAMC=SBMC       (SBMC=SMIC+SMIB).
        Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
        Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
        Vậy:                 SAMN=SBMN 
Bài 2:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?
         Hướng dẫn tìm cách giải
Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.
Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.
            Giải
Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có SABK = SCBK   (K trung điểm AC)     ==>  SABK = 1/2 SABC
Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
         (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==>  SNOK=SBOM )
Tứ giác ABMN có:   SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK =   SABC
Vậy M chính là điểm cần tìm.
Bài 3:    (Bài giải của thầy Nguyễn Ngọc Phương_B Phú Lâm)
            Một miếng vườn trồng cây ăn trái có chiều dài 25m, chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?
        Cách 1:
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 25 - 1 ) : 2 = 12 (m) 
Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 15 - 1 ) : 2 = 7 (m) 
Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông) 
        Đáp số : 336 mét vuông 
        Cách 2:
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Diện tích miếng vườn : 25 x 15 = 375 (mét vuông) 
Diện tích lối đi theo chiều dài : 25 x 1 = 25 (mét vuông) 
Diện tích lối đi theo chiêu rộng : 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông) 
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông) 
        Đáp số : 336 mét vuông 
        Cách 3:
 Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn. 
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Chiều rộng phần đất còn lại : 15 - 1 = 14 (m) 
Chiều dài phần đất còn lại : 25 - 1 = 24 (m) 
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây : 24 x 14 = 336 (mét vuông) 
        Đáp số : 336 mét vuông
Bài 4 
        Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
                                                                                (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35) 
            Giải
        2 tam giác MPN và NPD có phần chung là tam giác NOP. Mà SDOP - SMON = 3,5cm2. 
        Nên SNPD - SMPN = 3,5cm2 .
Mặt khác   SNPD  = ¼ SABCD  (NDP có đáy bằng ½ chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD) và  SMPN = 1/6 SABCD (MPN có đáy bằng 1/3 chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD).
Hay:   ¼ SABCD - 1/6 SABCD = 1/12 SABCD = 3,5cm2
Diện tích hình chữ nhật:   3,5 x 12 = 42 (cm2)
          Đáp số:  42 cm2
Bài 5
        Trong hình vẽ, ABCD và CEFG là hai hình vuông. Biết EF = 12 cm. Hãy tính diện tích tam giác AEG. 
                                                                                    (Đề thi toán quốc tế  Tiểu học ở Hồng Kông) 
            Giải
    Nối AC.
    Ta có  SACE = SACG  (đáy CE=CG cạnh hình vuông nhỏ, đường cao AB=AD cạnh hình vuông lớn).
    Hai tam giác này có phần chung là ACI. 
    Suy ra SCIE = SAIG   
    Mà SAEG = SAIG + SGIE = SCIE + SGIE = SGEC
    Diện tích tg GEC bằng với diện tích tg. AEG
        12 x 12 : 2 = 72 (cm2)
                Đáp số:   72 cm2
Bài 6:   Nuôi cá sấu
        Một trại nuôi cá sấu có một hồ nước hình vuông, ở giữa hồ người ta chữa một đảo nhỏ hình vuông cho cá sấu bò lên phơi nắng. Phần mặt nước còn lại rộng 2000m2. Tổng chu vi hồ nước và chu vi đảo là 200m.
          Tính cạnh hồ nước và cạnh của đảo? 
            Giải
Giả sử ta dời hòn đảo sát với góc của hồ nước. Nối góc đảo và góc hồ (như hình vẽ).
Mặt nước còn lại là 2 hình thang vuông có diện tích bằng nhau (2 đáy bằng nhau và đường cao bằng nhau _ Bằng hiệu của cạnh hồ và cạnh đảo).
Diện tích mỗi hình thang là:        2000 : 2 = 1000 (m2)
Tổng 2 đáy là:               200 : 4 = 50 (m)
Chiều cao hình thang cũng là hiệu cảu cạnh hồ và cạnh đảo:           1000 x 2 : 50 = 40 (m)
Cạnh của đảo là:           (50 – 40) : 2 = 5 (m)
Cạnh của hồ là: 50 – 5 = 45 (m)
            Đáp số:            Cạnh đảo  5 mét  ;  Cạnh hồ  45 mét.
Bài 7: Tính diện tích hình vuông
Cho hình vẽ:   Biết diện tích hình tròn là 251,2cm2. Tính diện tích hình vuông.
            Giải
Hướng giải:
            r x r = 251,2 : 3,14 = 80 
            r x r chính là diện tích hình vuông nhỏ (hình vuông 1/4)
            Diện tích hình vuông lớn:      80 x 4 = 320 (cm2)
Bài 8: Diện tích hình tứ giác
            Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
            Giải
 Hướng giải:
                           SBDE  = 5 x 2 = 10 (cm2)
                            SABD = 10 + 5 = 15 (cm2)
                            SBDC = 15 x 2 = 30 (cm2)
                            SBCDE = SBDE + SBDC
                                         = 10   +   30 = 40 cm2
Bài 9: So sánh diện tích 2 tam giác.
            Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.
    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?
    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2
            Giải
a)   Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC
  Ta có : sAMB = 1/2  sBMC  ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao BA)   hay sBMC = 2 x sAMB
b)       Từ câu a:  sBMC = 2 x sAMB  mà hai tam giác này chung đáy MB nên chiều cao  CI gấp đôi chiều cao AH
Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH
                              Suy ra sBNC = 2 x sANB
sABC = 1/2 sABCD  ( .....)
 sABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2)
 sABCD = 4,5 x 2 =  9 (dm2)
                                                Nguyễn Thị Kim Vân
Bài 10: Tính độ dài đoạn thẳng
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM. 
                Giải
SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
Suy ra      SBEM = SCEM
Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
Bài 11: Tính S chữ nhật ban đầu.
            Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
            Giải
Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ :
Chiều rộng cũ:  !---!
Chiều dài cũ:    !---!---!---!---!
Chiều rộng mới !---!---!---!---!
Chiều dài mới:  !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
                            ( - - - - - -  -- - - - - - 45m - - - -- - -  - - - -)
Do đó 45 m ứng với số phần là :
16 - 1 = 15 (phần)
Chiều rộng ban đầu là :
45 : 15 = 3 (m)
Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :
3 x 12 = 36 (m2) 
Bài 12:  Diện tích tứ giác
          Cho hình thang ABCD như hình bên. Biết diện tích 2 tam giác AED và BCF lần lược bằng 5,2cm2 và 4,8cm2. Tính diện tích hình tứ giác MFNE. 
            Giải
        Nối M với N, ta có: S(ADN) = S(MDN) ( vì hai tam giác có chung đáy DN, đường cao hạ từ A và M xuống đáy DN bằng nhau).
      Vì hai tam giác trên có chung phần diện tích tam giác EDN, nên : S(ADE) = S(MEN) = 5,2 ( cm2).
      Tương tự như vậy ta cũng có S(BFC) = S(MNF) = 4,8 (cm2). 
      Vậy diện tích tứ giác MENF là: 5,2 + 4,8 = 10 ( cm2).
              Đáp số:  10 cm2
Bài 13:   Hiệu 2 diện tích
          Cho hình vuông cạnh 20cm và hình tròn có bán kính 10cm (hình vẽ). Tính diện tích phần không tô đậm của hình vuông và phần không tô đậm của hình tròn. 
            Giải
        Hai hình đã cho có chung phần diện tích tô đậm, nên hiệu diện tích phần không tô đậm của hình vuông và diện tích phần không tô đậm của hình tròn chính bằng hiệu diện tích của hình vuông và hình tròn.
            Hiệu diện tích cần tìm là: (20 x 20) – (10 x 10 x 3,14) = 86 ( cm2). 
Bài 14:   Diện tích hình tam giác
            Cho tứ giác ABCD, M là điểm ở trên cạnh AB sao cho AM = 1/3 BM. Tính diện tích tam gáic MCD biết rằng diện tích tam giác ACD và tam giác BCD tương ứng là 24cm2 và 16cm2.
            Giải
Chiều cao AI và BK lần lượt của 2 tam giác ACD và BCD có tỉ lệ  24/16 = 3/2
Xem AI = 3 đơn vị độ dài thì BK = 2 (đv dài)
Xét 2 tam giác BMN và MAN có chung đường cao kẻ từ N và BM=3MA
Nên S_BMN = 3S_MNA   và có chung đáy MN.
Suy ra: đường cao kẻ từ B gấp 3 lần đường cao kẻ từ A xuống MN.
Hay  KN=3NI
Xem KN = 3 (đơn vị độ dài) và NI= 1 (đơn vị độ dài)  thì  KI=4 (đv dài) 
Diện tích hình thang BAIK = (2+3):2x4 = 10 (đơnvị2)
KBM có đáy KB, cao từ M
SKBM = 2x3:2=3 (đv 2)
Tương tự: SMAI = 1x3:2 = 1,5 (đv2)
SKMI = SKBAI – (SKBM+SMAI)
          = 10 – (3+1,5) = 5,5 (đv2)
Chiều cao MN = 5,5 x 2 : 4 = 2,75 (đv dài) 
Tam giác MCD và  ACD có chung đáy. Tỉ lệ đường cao chính là tỉ lệ diện tích.
SMCD/SACD = 2,75/3
SMCD/24 = 2,75/3
=> SMCD = 24 x 2,75 :3 = 22 (cm2) 
Bài 15:   Diện tích hình thang    
            Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 2/3 CD. AC và BD cắt nhau tại O. Diện tích hình tam giác BOC là 15 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD ?
        Giải
Xét tam giác ABC và ACD có chiều cao bằng nhau và cùng bằng chiều cao hình thang mà đáy AB = 2/3 đáy CD => S_ABC = 2/3 S_ACD.
Mặt khác 2 tam giác này có chung đáy AC => số đo chiều cao từ đỉnh B = 2/3 số đo chiều cao từ đỉnh D.
Xét tam giác BOC và DOC có chung đáy OC chiều cao từ đỉnh B = 2/3 chiều cao từ đỉnh D => S_BOC = 2/3 S_DOC. => S_DOC = 15 : 2 x 3 = 22,5 (cm2)
Vậy S_BCD = 15 + 22,5 = 37,5 (cm2)
S_ABD = 37,5 x 2/3 = 25 (cm2)
Vậy S_ABCD là : 37,5 + 25 = 62,5 (cm2).
                                                                        Nguyễn Xuân Trường
Bài 16:   Tính độ dài đoạn BM
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM.
             Giải
SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
Suy ra      SBEM = SCEM
Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
Bài 17:
        Cho hình thang vuông ABCD , AD= 6cm ; DC = 12cm ; AB = 2/3  DC.
            a)     Tính diện tích hình thang  ABCD.                          
            b)    Kéo dài cạnh bên AD và CB, chúng gặp nhau tại M . Tính độ dài cạnh AM.
                Giải
a) Cạnh AB là : 12 x 2/3 = 8 (cm)
Diện tích ABCD là : (8 + 12) : 2 x 6 = 60 (cm2)
b) -Xét tam giác ABC đáy AB và DBC đáy CD có chiều cao bằng nhau = 6cm mà đáy AB = 2/3 CD => S_ABC = 2/3 S_DBC.
Vẫn xét 2 tam giác ABC và DBC chung đáy BC vì S_ABC = 2/3 S_DBC => chiều cao AK = 2/3 DH.
-Xét tam giác AMC và DMC chung đáy MC mà chiều cao AK = 2/3 DH => S_AMC = 2/3 S_DMC. Mà S_DMC lớn hơn S_AMC là :    12 x 6 : 2 = 36 (cm2)
S_AMC là : 36 : (3-2) x 2 = 72 (cm2) (Toán Hiệu - Tỉ)
Xét tam giác AMC đáy AM, chiều cao CD => AM = 72 x 2 : 12 = 12 (cm)
Bài 18:
        Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 360cm2. Trên cạnh AB lấy 2 điểm M và N sao cho AM=1/2AB, AN=1/3AB. Gọi giao điểm của DM và CN là O. Tính diện tích tam giác MON.
Ta có:
MN = 1/2 AB - 1/3 AB = 1/6 AB
Xét tam giác NMD và MCD có chiều cao = chiều rộng hình chữ nhật mà đáy NM = 1/6 CD => S_NMD = 1/6 S_MCD. Mà S_MCD = 360 : 2 = 180 (cm2) => S_NMD = 180 : 6 = 30 (cm2)
Mặt khác 2 tam giác này chugn đáy MD => Chiều cao tam giác NMD đỉnh N = 1/6 chiều cao tam giác MCD đỉnh C
Xét tam giác NMD và NMC chung đáy NM chiều cao bằng nhau => S_NMD = S_NMC = 30 (cm2)
Xét tam giác NMO và MCO có chung đáy MO chiều cao tam giác NMO = 1/6 chiều cao MCO => S_NMO = 1/6 S_MCO
Vậy diện tích NMO là : 30 : (1 + 6) = 30/7 (cm2)
                                                                                                Nguyễn Xuân Trường
Bài 19:
        Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD lấy N sao cho NC = 1/3xDC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác AMN với diện tích hình tam giác ADN
                                                                                                    Lê Dõng
AB=a  ; BC=b
Diện tích hình chữ nhật:   S=a.b
S_ADN= 2/3a x b : 2 = 1/3 ab = 1/3S
Ta có:
S_AMN = (S_AMC + S_ANC) – S_MCN= (MC x AB :2  + NC x AD : 2) – (NC x MC : 2)
= (1/2b x  a : 2    +  1/3a x b : 2) – (1/3a x 1/2b : 2) 
=     ¼ S              +       1/6S        -      1/12S 
= 5/12 S – 1/12 S = 4/12 S = 1/3 S
Bài 20:
        HCN có diện tích 360 cm2.Tính diện tích HCN với số đo chiều dài và chiều rộng tương ứng là 3/2số đo HCN đã cho
                                                                                                            Võ Thiên Trang
Gọi S=a x b
S_tăng = 3/2a x 3/2b = 9/4 S
Diện tích mới:  360 x 9/4 = 810 (cm2)
Bài 21:
        Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tich tam giác ABC.
                                                                                                              Nguyễn Phúc Duy
Nối A với O. 
Ta có:  SABN = 1/3 SBNC  nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3
Suy ra  SABO = 1/3 SBOC (chung đáy OB)
Tương tự:
SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2
Suy ra      SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)
Từ đó ta có:  SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC
SAOC + SAOB  có 5 phần thì SBOC có 6 phần và SABC có (5+6) 11 phần
Vậy:     AOCB = 6/11 SABC
Bài 22: Tính độ dài
        Cho tam giác ABC có diện tích bằng 900 cm2  và cạnh BC = 45 cm. M là một điểm trên AB sao cho MB = 1/3 AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Tính Độ dài đoạn MN.
                                                                                                    Nguyễn Thị Kim Vân
Ta có:
SCMB = 1/2 SAMC (chung đường cao kẻ từ C, đáy MB=1/2AM)
=>  SCMB = 300 cm2  
=> Đường cao MI = 300 x 2 : 45 = 13  1/3 (cm)             (hỗn số)
Hình thang NMBC cho ta SCMB = SCNB = 300 cm2   (chung đáy CB, đường cao bằng đường cao hình thang)
=>SANB = 900 – 300 = 600 (cm2)
Mặt khác SNMB = 1/2 SNMA   => SNMB = 600 : 3 = 200 (cm2) 
Mà tam giác NMB có đáy NM và đường cao bằng đường cao MI.
Độ dài đoạn MN = 200 x 2 : 13 1/3 = 30 (cm)
Đáp số:   MN = 30cm
Bài 23: Tính cạnh hình vuông
        Có hai tờ giấy hình vuông mà số đo các cạnh hơn kém nhau 8 cm . Đem đặt tờ giấy hình vuông nhỏ nằm trọn trong tờ giấy hình vuông lớn thì phần diện tích còn lại không bị che của tờ giấy lớn là 96 cm2. Tính cạnh mỗi tờ giấy ?
                                                                                            Lê Dõng
Diện tích hình vuông (3)              8 x 8 = 64 (cm2)
Diện tích hình chữ nhật (1).        (96 – 64) : 2 = 16 (cm2)
Cạnh hình vuông nhỏ:                 16 : 8 = 2 (cm)
Cạnh hình vuông lớn:                    2 + 8 = 10 (cm)
Bài 24: Tính S hình thang
        Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, hai đường chéo cắt nhau tại O,biết diện tích tam giác AOB bằng 4 cm2, diện tích tam giác BOC bằng 9 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD. 
                                                                                          Trần Thi Lâm Phuong
Trong hình thang ABCD cho ta: SAOD = SBOC = 9 cm2
Xét 2 tam giác AOB và AOD có chúng đường cao kẻ từ A nên 2 đáy OB và OD sẽ tỉ lệ với diện tích.
Suy ra   OB/OD  = 4/9
Mặt khác, 2 tam giác BOC và DOC có chúng đường cao kẻ từ C nên 2 diện tích sẽ tỉ lệ với 2 đáy.
Mà  OB/OD = 4/9  nên SBOC/SDOC = 4/9
Diện tích tam giác DOC:      9 : 4 x 9 = 20,25 (cm2)
Diện tích hình thang ABCD:   4 + 9 + 9 + 20,25 = 42,25 (cm2)
Bài 25: 
        Người ta đưa cho Mai và Minh mỗi bạn một tờ bìa hình chữ nhật có chu vi là 100cm và có các kích thước như nhau rồi yêu cầu cắt thành 3 hình chữ nhật bằng nhau. Sau khi cắt tổng chu vi các hình chữ nhật của Mai cắt được hơn tổng chu vi các hình chữ nhật của Minh cắt được  là 40cm. Em hãy tính diện tích của tờ bìa ban đầu.
Khi cắt thành 3 hình chữ nhật bằng nhau thì tổng chu vi 3 hình sẽ dài hơn chu vi cũ 4 lần đường cắt.
Chiều dài hơn chiều rộng:  40 : 4 = 10 (cm)
Nửa chu vi hình chữ nhật:  100 : 2 = 50 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật:   (50 – 10) : 2 = 20 (cm)
Chiều dài hình chữ nhật:   50 – 20 = 30 (cm)
Diện tích tờ bìa hình chữ nhật:  30 x 20 = 600 (cm2)
Bài 26:
        Đường kính của một hình tròn tăng 10% thì diện tích hình tròn đó tăng bao nhiêu %?
                                                                             Xuan Hung
Đường kính tăng 10% thì bán kính cũng tăng 10%
Công thức tính S= r x r x 3,14.
Bán kính tăng 10% thì:
S(tăng) = 110%r x 110%r x 3,14 = 121% x r x r x 3,14 = 121%S
Diện tích tăng: 121% - 100% = 21%.
                                                                                Toán Tiểu Học Pl
Bài 27: Xếp hình lập phương
        Người ta xếp những hình lập phương nhỏ cạnh 1 cm thành 1 hình hộp chữ nhật có kích thước 1,6 dm ; 1,2dm ; 8 cm. Sau đó người ta sơn 6 mặt của hình vừa xếp được . Tính số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt,  2 mặt.
                                                                        Nguyễn Thị Kim Tiền
Các hình lập phương sơn 1 mặt không kề bên góc và cạnh (mặt chính)
Các hình lập phương sơn 2 mặt nằm ở cạnh không là góc.
Ta có:
*.2 hình chữ nhật  16 x 12
2 hình chữ nhật  12 x 8
2 hình chữ nhật  16 x 8
Số hình lập phương sơn 1 mặt: (16-2)x(12-2)x2 + (12-2)x(8-2)x2 + (16-2)x(8-2)x2 = 568 (hình sơn 1 mặt)
*.4 cạnh 16cm
4 cạnh 12cm
4 cạnh 8cm
Số hình lập phương sơn 2 mặt: (16-2)x4 + (12-2)x4 + (8-2)x4 = 120 (hình sơn 2 mặt) 
Bài 28: Diện tích tam giác
        Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình thangBMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O 
a/ So sánh diện tích 2 hình tam giác OMB và OEN
b/ So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB   
                        ( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )
                                                    Nguyễn Ngọc Phương
(Chưa biết 2 điểm M và E của hình thang BMNE)
Điểm E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2 đường chéo hình thang.
a).
BMNE là hình thang nên SMBE=SNBE (có chúng đáy BE, đường cao bằng đường cao hình thang), 2 tam giác này có phần chung là OBE nên SOMB=SOEN
b).
Do AN=NC nên SABN=SCBN
S_EMC=S_CBN – S_OMB + S_OEN  mà S_OMB = S_OEN       (cm trên)
Suy ra:  S_EMC=S_CBN
Tương tự:
S_AEMB=S_ABN – S_OEN + S_OMB mà S_OEN = S_OMB       (cm trên)
Suy ra:  S_AEMB=S_ABN
Ta đã có SABN=SCBN
Vậy:  S_EMC=S_AEMB    (điều phải chứng minh)
            b).Nhanh hơn
Do AN=NC nên SABN=SCBN= 1/2 SABC
S_EMC=S_CBN – S_OMB + S_OEN  mà S_OMB = S_OEN       (cm trên)
Suy ra:  S_EMC=S_CBN = 1/2SABC
Vậy:  S_EMC=S_AEMB    (điều phải chứng minh)
Bài 29:  
        1).Cho tam giác ABC có diện tích 600cm2. D là trung điểm cạnh BC. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. AD cắt BE tại M. Tính diện tích tam giác AME.
                                                                                            Huỳnh Thị Thanh
Ta có:
-S_ABD=S_ACD  (có CD=BD, đường cao chúng từ A và có chúng đáy AD nên 2 đường cao kẻ từ B và C bằng nhau)
-AE=1/3AC hay AE=1/2EC
-S_ABE=1/2S_CBE (AE=1/2EC, đường cao chung từ B và có chung đáy EB nên đường cao từ C gấp 2 lần đường cao từ A).
Nên:
S_ABM=S_ACM  (chung đáy AM, 2 đường cao bằng nhau –cmt-) (1)
S_CMD=S_BMD  (chung đáy MD, 2 đường cao bằng nhau –cmt-)  (2)
S_MBC=2S_MBA (chung đáy MB, cao từ C gấp 2 lần cao từ A)     (3)
Từ (1), (2) và (3) cho ta:
S_ABM=S_ACM = S_CMD=S_BMD = 600 : 4 = 150 (cm2)
Mà: 
S_ABE=1/3S_ABC= 600:3 = 200 (cm2)                             
S_AME = S_ABE-SABM = 200-150= 50 (cm2)
Bài 30:
        Cho tam giác ABC. Điểm M trên AC sao cho AM = 1/4 AC. Điểm N trên BC sao cho diện tích tam giác MCN bằng diện tích tứ giác AMNB. Tính tỉ số giữa BN và BC?
                                                                                          Huỳnh Thị Thanh
Chọn điểm N trên BC và giả sử S_MCN=S_AMNB.
Nối AN.
Do AM=1/4AC hay AM=1/3MC
Ta có:  S_MNC=3S_AMN   (MC=3AM, chung đường cao từ N)
Để S_AMNB=SMNC thì S_ANB=(3-1)S_AMN=2S_AMN
Diện tích ABC có 3+1+2=6 (phần) thì S_ANB có 2 phần hay S_ANB=1/3S_ABC. 
Suy ra:  BN=1/3BC
Bài 31: Tính kích thước tấm kính.
        Có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính bằng 1/2 chiều dài của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90 dm2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm kính đó.
                                                                                                    Toán Tiểu Học Pl
dùng phương pháp ghép hình ta có :
Nếu gọi chiều rộng tấm kính nhỏ là một phần thì chiều dài tấm kính nhỏ ( cũng là chiều rộng tấm kính lớn ) là hai phần và chiều dài tấm kính lớn là bốn phần bằng nhau.
Ghép 2 tấm kính lại ( như đề bài ) ta được một hình chữ nhật có chiều dài là 5 phần và chiều rộng là 2 phần.
Ta chia hình chữ nhật vừa ghép này thành 10 hình vuông nhỏ bằng nhau mỗi hình vuông nhỏ có cạnh là 1 phần .
Diện tích 1 hình vuông nhỏ là :  90 : 10 = 9 dm2
Cạnh mỗi hình vuông nhỏ là 3 dm2 ( 3 x 3 = 9 ) ; Cũng là chiều rộng tấm kính nhỏ.
Chiều dài tấm kính nhỏ , hay chiều rộng tấm kính lớn :  3 x 2 = 6 dm
Chiều dài tấm kính lớn :  6 x 2 = 12 dm
Đáp số : Tấm kính nhỏ : 3dm và 6 dm
             Tấm kính lớn  : 6dm và 12 dm
                                                                                            Nguyễn Ngọc Phương 
Bài 32:
    Quãng đường AB dài 96km. Cùng một lúc, xe ô tô đi từ A và xe gắn máy đi từ B, chạy ngược chiều, gặp nhau cách A là 64km. Nếu xe gắn máy đi trước 45 phút thì hai xe gặp nhau cách A 52km. Tính vận tốc mỗi xe.
                                                                                                    ndphithanh
45’ = 3/4 giờ
Nếu khởi hành cùng lúc gặp nhau cách B: 96-64= 32 (km)
Tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe máy:   64/32 = 2  (vận tốc xe ô tô 2 lần vận tốc xe máy).
Xe máy đi trước 45’ thì đến C, 2 xe gặp nhau ở K.
Đoạn KC dài:  52 : 2 = 26 (km)
45’ xe máy chạy được:  96 – (52+26) = 18 (km)
Vận tốc xe máy: 18 : 3 x 4 = 24 (km/giờ)
Vận tốc ô tô:   24 x 2 = 48 (km/giờ)
Đáp số:  24 km/giờ và 48 km/giờ 
                                                                                            Toán Tiểu Học Pl
Bài 33:
Một tờ giấy hình vuông có diện tích là 72 cm2 thì đường chéo của tờ giấy đó dài bao nhiêu?
Cắt và ghép thành 2 hình vuông nhỏ, mỗi hình có diện tích:
72 : 2 = 36 (cm2)
Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh hình vuông nhỏ bằng 6cm.
Cạnh hình vuông nhỏ bằng ½ đường chéo hình vuông lớn.
Đường chéo hình vuông lớn là:
6 x 2 = 12 (cm) 
Đáp số:  12 cm
Bài 34:
Hình vuông ABCD và hình chữ nhật MNPQ có chu vi bằng nhau.
Hãy so sánh cạnh hình vuông và cạnh của hình chữ nhật. Hãy so sánh diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật.
Chu vi:
Do chu vi 2 hình bằng nhau nên nửa chu vi 2 hình cũng bằng nhau.
Gọi a là cạnh hình vuông; b và c là cạnh hình chữ nhật.
Ta có  a+a = b+c     =>   (a+a)/2 = (b+c)/2
Hay a = (b+c)/2
a là trung bình cộng của b và c.
Diện tích:
Giả sử cạnh hình vuông là 10m thì cạnh hình chữ nhật có thể là: 11 và 9; 12 và 8; 
Diện tích hình vuông là:  10 x 10 = 100 (m2)
Diện tích hình chữ nhật có thể là:
*. 11 x 9 = 99 (m2)
*. 12 x 8 = 96 (m2)
Cạnh hình chữ nhật có độ lệch với cạnh hình vuông càng lớn thì diện tích càng giảm (giảm về đến 0 nếu cạnh hình chữ nhật là 20 và 0. Không còn là hình chữ nhật)
Đến đây xin nói thêm:
Nếu chu vi các hình bằng nhau thì diện tích hình tròn lớn nhất.
Chu vi hình tròn là 40m thì bán kính là:
40 : 3,14 : 2 = 6,369427 (m)
Diện tích hình tròn:
6,369 x 6,369 x 3,14 = 127,3714 (m
Bài 35:
    Một miếng đất hình chữ nhật nếu bớt chiều dài 8m.Chiều rộng tăng 5m ta được miếng đất hình vuông Diện tích hình vuông ít hơn diện tích hình chữ nhật 122m .Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu ?
Chiều dài hơn chiều rộng:   8 + 5 = 13 (m)
SOBCK = SMNOA + 122
=>  SNPCK = SMNOA + 122 + 8x5
                   = SMNOA + 162
Mà NPCK và MNOA có MN = NK (cạnh hình vuông)
và NP hơn NO là :  8 – 5 = 3 (m)
Cạnh hình vuông:          162 : 3 = 54 (m)
Chiều dài hình chữ nhật:     54 + 8 = 62 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật:   54 – 3 = 51 (m)
Diện tích hình chữ nhật:     62 x 51 = 3162 (m2)
Đáp số:    3162 m2.
Bài 36:
    Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 8m. Người ta chia mảnh đất làm 2 phần, một phần để làm vườn, một phần để đào ao nuôi cá. Diện tích phần đất làm vườn bằng 1/2 mảnh đất. Chu vi phần đất làm vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật.
Chu vi vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất thì nửa chu vi vườn cũng bằng 2/3 nửa chu vi mảnh đất. Gọi chiều dài miếng đất là a = 8m, chiều rộng là b (b>0 và b<8).
*.Trường hợp 1:
Nếu mỗi cạnh vườn bằng 2/3 cạnh của miếng đất thì chu vi cũng bằng 2/3 chu vi miếng đất nhưng diện tích sẽ bằng 2/3 x 2/3 = 4/9 diện tích miếng đất.  (loại)
*.Trường hợp 2:
Cắt 2 miếng đất theo chiều dài để có diện tích bằng ½ diện tích miếng đất thì:
Pđất/2   = 8 + b            (P là chu vi)
Pvườn/2 = 8 + b/2
Mà:   8 + b/2 = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b
=>   b/6 = 8 – 16/3 = 8/3
=>   b = 8/3 x 6 = 16
b=16 > 8 (8m là chiều dài)         (loại)
*.Trường hợp 3:
Cắt 2 miếng đất theo chiều rộng thì:
Pđất/2   = 8 + b
Pvườn/2 = 8/2 + b
Mà:   8/2 + b = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b
=>   b/3 = 16/3 – 4 = 4/3
=>   b = 4/3 x 3 = 4
Diện tích mảnh đất: 8 x 4 = 32 (m2) 
Đáp số : 32 (m2)
Bài 37
    Cho tam giác ABC.
D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.
M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.
a) Em hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại sao ?
b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 .Hãy tính diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.
a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:
BED, BME, BAM  (cạnh đáy ED=ME=AM, chung đường cao kẻ từ B)
BAE, BMD       (cạnh đáy AE=MC=2AM, chung đường cao kẻ từ B).
b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC chung đường cao kẻ từ E.
Nên SEBD = 2/3 SECD    =>    SDEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm2)
*.Theo đề bài ta có AD = ED x 3  (AM=ME=ED)
2 tam giác ABD và EBD có: AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.
Nên SABD = SEBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm2)
Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC
Vậy SABC = SABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm2)
*.SAEC = SABC – SABD – SEDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm2)
Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2)  và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:
Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ  8/10 (4/5).
Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 =  16/3 (cm2)
Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 =  20/3 (cm2)
2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích
Tỉ lệ của AN và NC là  16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5 
Bài 38
    Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN cắt nhau tại O . Chứng minh rằng OA  = 2 x OM
                                                                        Vi Hoang Van
SABN = SCBN  (có AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)
Nếu xemNB là cạnh đáy thì 2 đường cao từ A và C xuống NB bằng nhau. Hai đường cao này chính là 2 đường cao của 2 tam giác AOB và COB có chung đáy OB.
Suy ra: SAOB = SCOB.
Mà SOBM = SOMC = ½ SOBC = ½ SAOB  (CM=MB, chung đường cao từ O).
Suy ra: SAOB = SOBM x 2.
2 tam giác AOB và MOB có chung đường cao kẻ từ B. Nên 2 đáy OA và OM tỉ lệ với diện tích.
OA = OM x 2 
Bài 39
    Tăng độ dài cạnh một hình vuông thêm 4cm thì diện tích hình vuông tăng thêm 664cm2. Tìm diện tích hình vuông đó.
Diện tích hình vuông nhỏ ở góc:
4 x 4 = 16 (cm2)
Diện tích 1 hình chữ nhật.
(664 – 16) : 2 = 324 (cm2)
Cạnh hình vuông ba