Bài ôn tập môn Toán học lớp 9 - Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
	· Định lí Pi-ta-go:	
	· ;	· 
	· 	· 	
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.
	ĐS: , , , .
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH.
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết .
	ĐS: , .
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 10cm, CH = 42 cm. Tính BC, AH, AB và AC.
	ĐS: , , , .
Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là .
	a) Tính cạnh BC.	b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN.
	ĐS: 
Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng và góc A là .
	a) Tính đường chéo BD.	b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC.
	c) Tính HK.	d) Vẽ BE ^ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
	ĐS: 
Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ^ AB. Trên Ox, lấy điểm D sao cho . Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD.
	a) Tính AD, AC và BC theo a.
	b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Chứng minh: AM = AN.
	HD: DABD # DACE Þ . 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC.
	ĐS: . Đặt . Từ AH.BC = AB.AC Þ .
 Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết , tính diện tích hình thang ABCD.
	ĐS: . Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5.
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn a.
	;	;	 ;	
	Chú ý: 
	· Cho góc nhọn a. Ta có: . 
	· Cho 2 góc nhọn a, b. Nếu (hoặc , hoặc , hoặc 	) thì .
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
	Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
a
Tỉ số LG
1
1
4. Một số hệ thức lượng giác
	;	;	 	;
 	;	;	
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các cạnh và góc tam giác ABC.
	ĐS: 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi:
	a) BC = 5cm, AB = 3cm.	b) BC = 13 cm, AC = 12 cm.	c) AC= 4cm, AB=3cm.
	ĐS: a) ; 
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm.
	a) Tính góc B.	b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.
	c) Vẽ AH ^ BI tại H. Tính AH.
	ĐS: 
Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) .
	b) .
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 0	e) 2	f) 0.
Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a, tính các tỉ số lượng giác còn lại của a: 
	a) 	b) 	c) 	d) 
	ĐS: a) 	b) 
Cho góc nhọn a. Biết . Tính .
	ĐS: .
Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết . Tính .
	ĐS: .
Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: a) 	b) 2	c) 	d) 1	e) 	f) 1.
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) 
	ĐS: 
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.
	a) Chứng minh:	.
	b) Có thể xảy ra đẳng thức không?
	ĐS: a) Vẽ đường cao AH. Chú ý: .	b) không.
III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
	Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
	;	
	;	
Giải tam giác vuông ABC, biết và:
	a) 	b) 
	ĐS: a) 	b) .
Cho tam giác ABC có . Tính diện tích tam giác ABC.
	ĐS: . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC.
Cho tứ giác ABCD có . Tính diện tích tứ giác.
	ĐS: . Vẽ BH ^ CD. Tính DH, BH, CH.
Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết , . Tính diện tích tứ giác ABCD.
	ĐS: . Vẽ AH ^ BD, CK ^ BD. Chú ý: .
Chứng minh rằng:
	a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
	b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
	ĐS: a) Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH. 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m.
	a) Chứng minh tam giác ABC vuông.	b) Tính .
	ĐS: 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63.
	a) Tính độ dài AH.	b) Tính độ dài AD.
	ĐS: a) AH = 84	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6.
	a) Tính AB, AC, BC, BH.	b) Tính diện tích tam giác ABC.
	ĐS: a) , , 	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25.
	a) Tính AB, AC, BC, CH.	b) Tính diện tích tam giác ABC.
	ĐS: 
Cho hình thang ABCD có và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O.
	a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.
	b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD.
	c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD.
	ĐS: a) Vẽ AE // BD Þ AB = ED và AE ^ AC. 	b) S = 150	
	c) .
Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
	ĐS: S = 210. Vẽ BE // AC (E Î CD) Þ .
Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
	a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
	b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
	ĐS: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm Þ DABC vuông tại A.
	b) r = 9cm. Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. .
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết . Tinh chu vi DABC
	ĐS: .
 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
	a) Chứng minh .	b) Chứng minh đồng dạng CDB.
	c) Tính tổng .
	ĐS: a) 	c) .
 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
	a) Tính .	b) Tính diện tích hình thang ABCD.
	ĐS: a) 	b) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE.
	a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm.	b) Tính .
	c) Chứng minh .	d) Chứng minh: .
	ĐS: a) , , 	b) 
	d) .
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh là một tam giác vuông.
	ĐS: Chứng minh .
Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
	a) .	b) .
	ĐS: a) Chứng minh 	b) 
Cho ABC vuông tại A có . Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.
	ĐS: ; ; ; .
 Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:
	a) DANL #DABC	b) 
	ĐS: 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có , BC = 4cm.
	a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính , AH, AM, HM, HC.
	b) Chứng minh rằng: .
	ĐS: a) ; ; ; ; 
	b) .
 Cho tam giác ABC cân tại A, có , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC.
	a) Tính AD, DC.	b) Kẻ CK BD. Giải tam giác BKC.
	c) Chứng minh rằng .
	ĐS: 
 Cho tam giác ABC có AB = 1, , . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AD (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC.
	a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH.	
	b) Chứng minh .
	c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF.	
	d) Chứng minh . Từ đó suy ra AD = AF.
	e) Chứng minh rằng .
	ĐS: 
 Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) .
	c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền , đường cao AH = 4.
	d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền , một góc nhọn bằng .
	ĐS: 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
	a) Giải tam giác vuông ABC. 	b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH.
	c) Tính: EA.EB + AF.FC.
	ĐS: a) , , 	b) 	c) .