DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT Câu 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình trên khi m = 6. b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: . Đáp án: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0 ∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2. b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2). Mặt khác theo bài ra thì (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4) Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn. Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho khi m = 3. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2. Đáp án: a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0. Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = . b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 Phương trình (1) có nghiệm (*). Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. Suy ra: ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 = 2 x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0 m2 + m – 2 = 0 . Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm. Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7. Đáp án: a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, "m Î R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = ± 1. Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆0 - 3 – 4m0 4m (1). Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = 3m2 = 4 m = ± 2. Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. Câu 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1-x2 = 4 Đáp án: a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9 Theo hệ thứcViét ta có Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Câu 6: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1) a) Giải phương trình với m = 5 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2. Đáp án: a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0. ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = ; x2 = b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*) Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 m2 - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*)) Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm. Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0. b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình. Đáp án: a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0. b) Phương trình có 2 nghiệm khi: ∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng m. Ta có x1.x2 = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 . Với m = ta có phương trình: x2 - 3x + x2 - 6x + 5 = 0 Khi đó x1 + x2 = Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Đáp án: a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: ∆’ (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 m2 - m + 4 > 0 đúng Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m Theo hệ thức Vi ét ta có: Ta có = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10 4m2 - 6m + 10 = 10 c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có: x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Câu 9: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để - x1x2 = 7 Đáp án: a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 < 0 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: (2m)2 - 3 . ( -1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1. Câu 10: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0 a) Giải phương trình với m = -2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6. Đáp án: a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = b) Ta có ∆ = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m = 1 - 16m. Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0 Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m. Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6 m2 + 5m - 6 = 0 Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6. Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - 6 là giá trị cần tìm. Câu 11: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1) Giải phương trình (1) khi m = 2. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2) Đáp án: a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0 Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3 b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: 3 - m 0 m 3 (1) Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : = 5 (x1+ x2) (x+ x)2- 2x1x2 = 5 (x1 + x2) 42 - 2 (m +1) = 5.42 (m + 1) = - 4 m = - 3 Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3 Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn Đáp án: x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0 a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5 b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi: (-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1 Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1). Đáp án: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0 x (x2 - 2mx + m2) + x - m = 0 x (x - m)2 + (x - m) = 0 (x - m) (x2 - mx + 1) = 0 Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m. Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = m2 - 4 > 0 . Vậy các giá trị m cần tìm là: Câu 14: Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi . b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn . Đáp án: a) Với , ta có phương trình: . Các hệ số của phương trình thoả mãn nên phương trình có các nghiệm: , . b) Phương trình có biệt thức nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi . Theo định lý Viet, ta có: . Điều kiện đề bài . Từ đó ta có: . Phương trình này có tổng các hệ số nên phương trình này có các nghiệm . Vậy các giá trị cần tìm của là . Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198. Đáp án: Phương trình có nghiệm khi 0ó p2 + 4q 0; gọi x1, x2 là 2 nghiệm. - Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198 ó (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z ) Nên ta có : x1 - 1 1 -1 199 -199 x2 - 1 199 -199 1 -1 x1 2 0 200 -198 x2 200 -198 2 0 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên: (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0) Câu 16: Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi . b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: . Đáp: a) Khi phương trình trở thành ; . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Khi đó theo định lí Vi-et ta có: (1) và (2). Điều kiện bài toán (do (1)) (3). Từ (1) và (3) ta có: . Thay vào (3) ta được: , thoả mãn điều kiện. Vậy . Câu 17: Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi và . b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: . Đáp án: Khi và ta có phương trình: . Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1). Bài toán yêu cầu (2). Từ hệ (2) ta có: , kết hợp với (1) được . Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm. Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆0 1 – 4m0 (1). Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được: (m – 1)2 = 9 m2 – 2m – 8 = 0. Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. Câu 19: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7. Đáp án: a) Ta có = m2 + 1 > 0, "m Î R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7 (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = . Câu 20: Cho phương trình (1) với là tham số. a) Giải phương trình khi . b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = . Đáp án: a) Với phương trình trở thành . nên phương trình có hai nghiệm , . b) Phương trình có biệt thức với mọi . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm . Khi đó theo định lý Viet thì . Biểu thức A = = == = . Do nên , suy ra A ³ . Dấu bằng xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , đạt được khi . Câu 21: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm. Đáp án: a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0 Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0 Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: . Câu 22: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: Đặt = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt ó (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0. +) (1) Có 2 nghiệm khác dấu m + 1 m < -1 +) = 0 m2 - 3m = 0 Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại. Vậy m < - 1 hoặc m = 0. Câu 23: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: a) Với m = 2, ta có phương trình (x2 - x - 2)(x - 1) = 0 Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2 b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1 . - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = - ; m = 0. Câu 24: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 4. b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0 Đặt x2 = t , với ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 t1 = 1; t2 = 4 Từ đó, ta được: . Vậy phương trình có 4 nghiệm b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt óphương trình (2): 1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 . 2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu . Vậy m = hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt Câu 25: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1. Đáp án: a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0 Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3 b) Phương trình có nghiệm > 0 1 - m > 0 m < 1 Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1) (2) Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 m2 + 2m - 4 = 0 = 1 + 4 = 5 => = nên m = -1 + (loại); m = - 1 - (T/m vì m < 1). Vậy giá trị m cần tìm là: Câu 26: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Đáp án: a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0 = 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6. Phương trình (1) có nghiệm m2 + 6m (2) Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3) Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: (4) Từ (3), (4), ta có: (TMĐK (2)) Vậy các giá trị m cần tìm là . Câu 27: Cho phương trình: (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và . Đáp án : a) Do nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Vì là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có: , . Do đó: . và P =. Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: . Câu 28: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Đáp án: a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2 b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì Mà theo ĐL Vi-ét ta có: Từ ta có: thoả mãn (*) Vậy m phải tìm là -2. Câu 29:Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0 a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đáp án: a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi: ÛÛ Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: Û Û Cộng 2 vế pt trên ta đợc: 4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Tài liệu đính kèm: