Bài ôn tập lớp 9 môn Đại số - Bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn

Bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn
Dạng 1: Khụng giải PT xột số nghiệm của PT bậc 2: 
Bài 1: Khụng giải Pt xột xem mỗi PT sau cú bao nhiờu nghiệm 
a) x2 – 2x – 5= 0 ( Cú 2 nghiệm phõn biệt ) 
b) x2 + 4x + 4= 0 ( PT cú nghiệm kộp ) 
c) x2 – x + 4 = 0 (PT vụ nghiệm ) 
d) x2 – 5x + 2=0 ( PT cú 2 nghiệm phõn biệt ) 
*) Nhận xột : 
- Với a và c trỏi dấu thỡ PT luụn cú 2 nghiệm phõn biệt 
- Với a và c cựng dấu thỡ khụng xỏc định được số nghiệm của PT mà phải nhờ dấu của đen ta 
Dạng 2: Dùng công thức nghiệm (CT nghiệm thu gọn ) để giảI PT bậc 2
Bài 1: GiảI các PT sau : 
a) x2 – 11x + 38 = 0 b) 5x2 – 6x + 27 = 0 
c) x2 – ( )x+ 4 = 0 d) 
Bài 2: Giải PT sau : 
*) Nhận xột : 
Cần đưa cỏc hệ số của PT bậc hai về dạng đơn giản nhất để ỏp dụng cụng thức nghiệm 
Dạng 3: Tìm ĐK của tham số để PT có nghiệm , vô nghiệm , có nghiệm kép :
Bài 1: Cho phương trỡnh : x2 – 4x + 3m – 1= 0 (1) ( ’= 5- 3m ) 
Tỡm m để PT (1) cú 2 nghiệm phõn biệt 
Tỡm m để PT(1) cú nghiệm 
Bài 2: Cho PT: x2 – 2m x + 4 =0 (2) ( ’= m2 - 8 )
Tỡm m để PT(2) cú nghiệm 
Tỡm m để PT(2) vụ nghiệm 
Bài 3: Cho PT : x2 – 2( m- 1)x – 4m = 0 ( 3) ( ’= (m+1)2 )
Tỡm m để PT(3) cú nghiệm 
Tỡm m để PT(3) cú 2 nghiệm phõn biệt 
Bài 4: Cho PT: x2 – 2( m+1) x – 4m – 5= 0 ( 4) ( ’= (m-1)2 +5 )
Tỡm m để PT(4) cú nghiệm 
Cú giỏ trị nào của m để PT(4) vụ nghiệm ? 
..............................................................................................................................................................
Bài 1: Với những giá trị nào của m thì mỗi PT sau có nghiệm kép ? Tìm nghiệm kép đó ? 
a) mx2 + 2(m + 2) x + 9 = 0 b) x2 – 2(m - 4) x+( m2 + m + 3 ) = 0 
c)( m + 1) x2 – m3x + m2 ( m – 1) = 0 d) (m + 3) x2 – mx +m = 0 
Hướng dẫn giải : 
ĐK : 
Baì 2: Tìm giá trị của m để PT sau vô nghiệm : 
mx2 – 2(m – 1) x + m + 1= 0 
( m2 – 4) x2 + 2(m + 2) x + 1= 0 
Hướng dẫn giải : 
*) TH1: Xét a = 0 
*) TH2: Xét a # 0 , thì < 0 
Bài 3 : Tìm k để PT sau có 2 nghiệm phân biệt :
kx2 – 2(k – 1) x + k + 1= 0 
x2 – 4x + k = 0 ( k là số nguyên dương ) 
2x2 – 6x + k + 7 = 0 ( k là số nguyên âm ) 
Bài 4 : Cho PT : mx2 + 6( m – 2) x + 4m – 7 = 0 
Tìm giá trị của m để PT đã cho 
Có nghiệm kép 
Có 2 nghiệm phân biệt 
Vô nghiệm 
Dạng 4: Chứng minh PT luôn có nghiệm , vô nghiệm :
Bài 1: CMR: PT sau luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m 
x2 –( m – 1)x2 – 5 = 0 
x2 – 2(m +2)x - 4m - 10 = 0 
Bài 2: Cho PT : mx2 – (2m + 1) x+ (m + 1) = 0 ( 1) 
CMR : PT (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 
Tìm giá trị của m để PT ( 1) có nghiệm > 2 
Bài32: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác . CMR : các PT sau vô nghiệm 
x2 +(a + b + c ) x + (ab + bc + ca ) = 0 
a2x2 + (a2 + b2 – c2 )x + b2 = 0 
Bài 4: CMR: Nếu PT : ax2+bx+ c = 0 ( a # 0) : có nghiệm thì PT 
( m – 2n )x2 + 2( m – 2n )x + 4ac – b2 = 0 ( m # 2 n ) cũng có 2 nghiệm phân biệt 
Bài 5: Cho PT : ax2 + bx + c = 0 ( a > 0 ) . CMR: Nếu b > a + c thì PT luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Bài 6: Cho các PT : x2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0 trong đó : . CMR: ít nhất 1 trong 2 PT có nghiệm 
Bài 7 : Cho các PT : ax2 + 2bx + c = 0 ( 1) 
 bx2 + 2cx + a = 0 (2) 
 cx2 + 2ax + b = 0 (3) 
Trong đó a , b , c # 0 . CMR : có ít nhất 1 PT có nghiệm 
Dạng 5: Giải và biện luận PT bậc 2:
Bài 1: GiảI và biện luân các PT sau : ( m – 4) x2 + m - 2 = 0 
Bài 2: Giải và biện luận nghiệm của PT bậc hai ẩn x theo m 
x2 – 2( m+ 1) x + m(m + 2) = 0 b) 2x2 + mx + m2 =0 
 c)m2x2 – mx – 2 = 0 d) mx2 – x + 1= 0 
Dạng 6 : Sự tương giao của đường thẳng và đường cong : 
Bài 1: Cho đường thẳng (d) y = 2x – 5 và (P) y = 3x2 
Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng 2 cách 
Bài 2: Cho (d) y = 2(m +1) x – 1 và (P) y = x2 . Tìm m để 
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 
( d) tiếp xúc với ( P) 
( d) khụng cắt (P) 
Bài 3: ( Thi vào 10 năm học 2015-2016) 
Cho hàm số y = x2 ( P) và y = ( 5m-1)x – 6m2 + 2m ( d) 
Tỡm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt 
Gọi x1 và x2 là hoành độ giao điểm của P và (d) . Tỡm m để x12 +x22 = 1
Bài 3: Cho hệ PT : 
Giải hệ Pt với m = - 1 
Tỡm m để 2 đường thẳng cú PT(1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trờn parabool (P) y= - x2 
Dạng 7 : Tìm ĐK của tham số để PT có nghiệm TMĐK cho trước của biến 
Bài 1: Cho 2 PT : x2 + mx + 1= 0 (1) và x2 – ( m + 1) x – 2m = 0 
Tìm m để 2 PT có ít nhất 1 nghiệm chung 
Bài 2 : Cho PT : x2 + (2m -1)x – 10 =0 (1) và 3x2 + ( 4m – 3 )x – 22= 0 (2) Tìm m để 2 PT có ít nhất 1 nghiệm chung 
Bài 3: Cho hệ PT : 
Giải hệ Pt với m = - 1 
Tỡm m để 2 đường thẳng cú PT(1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trờn parabool (P) y= - x2 
28)Thỏi Bỡnh: Bài 3 (2 điểm): 
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m thỡ:
	a. Đường thẳng (d) luụn đi qua một điểm cố định, tỡm tọa độ điểm đú.
	b. Đường thẳng (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A,B.
2)Tỡm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)(m=-1)
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG CONG
Hàm số 
Hàm số 
PT hoành độ GĐ
Biểu thức đen ta 
Số nghiệm của PT
Số giao điểm của (P) và (d) 
y= ax2 
y= bx + c 
ax2 – bx – c = 0
Hoặc 
+) > 0 => PT cú 2 nghiệm PB
+) = 0 => PT cú nghiệm kộp 
+) PT vụ nghiệm
+) (P) và (d) cú 2 điểm chung 
+) (P) và(d) cú 1 điểm chung 
+) (P) và (d) khụng cú điểm chung 
+)= 0 => PT cú nghiệm kộp ú m = 1
+)> 0 => PT cú 2 nghiệm PB ú m # 1 
+) (P) và(d) cú 1 điểm chung 
+) (P) và (d) cú 2 điểm chung 
> 0 với mọi m 
+) (P) và (d) luụn cú 2 điểm chung 
Bài tập về định lí Vi ét và các ứng dụng của định lí Vi ét
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc 2 
A. Lí thuyết 
*) Chú ý : Chỉ vận dụng được với ĐK: PT bậc 2 có nghiệm (
 Nếu PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 Có : 
+) a + b + c = 0 , thì PT có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = c/a
+) Nếu a – b + c = 0 , thì PT có 2 nghiệm x1 = -1 ; x2 = -c/a 
B. Bài tập : 
1) UD1: KHễNG GIẢI PT , NHẨM NGHIỆM CỦA PT BẬC 2
BàI 1: Không giảI PT hãy tìm các nghiệm của mỗi pT sau : 
a) 7x2- 4x – 11= 0 b) 2005 x2 + 2010x + 5 = 0 
c) d) 
Bài 2: Không giảI PT tìm các nghiệm của mỗi PT sau : 
a) 3x2 + ( 3- 2m ) x – 2m = 0 b) –(m – 2) x2 + ( m – 1) x - 1= 0 
c)( m – n ) x2 + 2( m + n ) x – 3m – n = 0 d) 
2) UD2: Tìm 2 số biết tổng và tích : 
A.Lí thuyết : 
+) Nếu có 2 số a và b TMĐK : a + b = S và a.b = P , thì 2 số a và b là nghiệm của PT bậc 2 :
 x2 – Sx + P = 0 +)ĐK để có 2 số đó : S2 – 4P 0 
B.Bài tập : 
Bài 1: Tìm 2 số a và b biết : 
a + b = 7 và a.b = 12 b) a+b = và a.b = 3
c)a + b = - và a.b = - 1 d) a- b = n và a. b = 6n2 
Hướng dẫn giải : d) a- b = a + ( - b ) = n và a( - b ) = 6n2 
Nên a và - b là 2 nghiệm của PT : x2 – n x – 6n2 = 0 
Giải PT được x1 = 3n và x2 = - 2n , Nên 
3) UD3: Vận dụng phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử : 
A.Lí thuyết :
+) Nếu PT bậc 2 : ax2 +bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức bậc 2 : ax2 +bx + c phân tích được thành nhân tử : ax2 + bx + c = a ( x – x1) ( x – x2) ( BT 33/ SGK / 54) 
B.Bài tập : 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
a) 2x2 + 6x - 1 b) – x2 – 2mx + ( m2 +1) 
4)UD4: Tìm 1 nghiệm khi biết 1 nghiệm kia của PT bậc 2 
A. Lí thuyết : 
+) Cách 1:Thay x1 đã biết vào PT tìm được giá trị của tham số m , rồi giải PT đó tìm nghiệm còn lại 
+) Cách 2: áp dụng ĐL vi ét : 
Biết 1 nghiệm x1 thay vào tổng hoặc tích để tìm nghiệm còn lại 
+) Cách 3: Nhẩm nghiệm : Nếu biết a+ b+ c = 0 hoặc a – b + c = 0 
B. Bài tập : 
BàI 1: Cho PT : x2 + 3x - m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để PT có nghiệm 
Xác định m để PT có 1 nghiệm bằng – 2 . Tìm nghiệm còn lại 
Hướng dẫn giải : 
ĐK :
C1: Thay x1 = - 2 tìm m = - 2 ( TMĐK ) , rồi giải PT tìm x2 = - 1
Cách 2: Theo ĐL Vi ét ta có : x1 + x2 = - 2 , biết x1= - 2 , thay tìm x2 = - 1
Bài 2: Cho PT : x2 + ( m + 1) x + 5- m = 0 
Tìm m để PT có nghiệm bằng – 1 
Tìm nghiệm còn lại 
Bài 3: Cho PT : x2 – 2px + 5 = 0 . 
Tìm p biết PT có nghiệm bằng 2
Tìm nghiệm còn lại 
Bài 4: Cho PT : x2 + 5x + q = 0 
Tìm q biết PT có nghiệm bằng 5 
Tìm nghiệm còn lại 
Bài 5: Cho PT : ( m – 3) x2 + (m + 5) x – m + 7 = 0 (1) 
Xác định giá trị của m để PT có 1 nghiệm x1 = 1 
Tìm nghiệm còn lại 
Bài 6: Cho PT : ( m – 4) x2 – 2mx + m – 2 = 0 
Tìm m để PT có nghiệm 
Tìm nghiệm còn lại 
5)UD5 : Xét dấu các nghiệm của pT bậc 2 
A. Lí thuyết : 
Cho PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
+) PT có 2 nghiệm tráI dấu khi a và c : trái dấu 
+) PT có 2 nghiệm cùng dấu khi 
+) PT có 2 nghiệm cùng dấu dương khi : 
+) PT có 2 nghiệm cùng dấu âm khi : 
+) PT có 2 nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm dương khi : 
+)PT có 2 nghiệm trái dấu nghiệm dương có GTTĐ lớn hơn nghiệm âm khi : 
B. Bài tập : 
Bài 1: Không giải PT xác định dấu các nghiệm của pT bậc 2: 
a) x2 – 18x + 17 = 0 b) x2 – 2x – 1 = 0 
c) x2 – 15x + 56 = 0 d) = 0 
Bài 2: Cho PT : ( 2m – 1) x2 – ( 3m + 4) x + m + 3 = 0 ( 1) Xác định m để PT có 2 nghiệm trái dấu 
Bài 3: Cho PT : x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 
Tìm m để PT có nghiệm 
Tìm m để PT có 2 nghiệm đều dương 
Bài 4: Cho PT : x2 – 2( m – 1) x + m – 3 = 0 
 Xác định m để PT có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau 
Bài 5: Cho PT : x2 – 2( m – 1) x + 2m – 5 = 0 
CMR: PT luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m 
Tìm m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ? Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ? 
Bài 6: Cho PT : x2 + 3x – m + 1= 0 . Tỡm m để PT cú ớt nhất 1 nghiệm khụng õm 
Bài 7: Cho PT : ( m – 1) x2 + 2x + m = 0 . Tìm giá trị của m để PT có ít nhất 1 nghiệm không âm 
Bài 8: ( Trớch đề thi vào 10 - năm học 2012-2013) 
Cho PT : x2 + mx - m - 1= 0 (1) ( m là tham số ) 
CMR: Với mọi m thỡ phương trỡnh (1) luụn cú nghiệm 
Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú ớt nhất một nghiệm khụng dương 
Bài 9: Cho phương trỡnh : x2 +3x -m +1=0 (*)
Tỡm m để PT (*) cú ớt nhất một nghiệm õm 
Tỡm m để PT (*) cú ớt nhất một nghiệm õm 
Tỡm m để PT (*) cú ớt nhất một nghiệm khụng õm 
Tỡm m để PT (*) cú ớt nhất một nghiệm khụng dương 
Bài 10 : Cho PT : 3mx2 + 2(2m +1) x + m = 0 (1) . Xỏc định m để PT cú 2 nghiệm õm 
6)UD6: Tính giá trị của BT theo các nghiệm của PT bậc 2 
A. Lý thuyết : 
Vận dụng định lí Vi ét ta có nếu PT bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thì : 
*) Cách giải : 
+) Tìm ĐK để PT bậc 2 có nghiệm : 0 
+) Tính tổng và tích 2 nghiệm theo ĐL Vi ét 
+) Biến đổi biểu thức cần tìm theo tổng và tích các nghiệm rồi thực hiện phép tính 
B. Bài tập : 
Bài 1: Cho PT bậc 2 : x2 - 2x + 1 = 0 . Không giải PT tính giá trị các biểu thức sau : 
a) x12 + x22 b) x12 - x22 c)  x13 + x23 d) x13 - x23 e) 
Bài 2: Cho PT :. Có 2 nghiệm là : x1; x2 . Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3: Cho PT : 2x2 – 3mx – 2 = 0 . Không giải PT tính giá trị biểu thức sau theo m : 
a) b)
7)UD7:Tìm cực trị của các biểu thức giữa 2 nghiệm của 1 PT bậc 2
A. Lí thuyết 
B. Bài tập : 
Bài 1: Cho PT : 2x2 – 3mx – 2 = 0 
CMR: Với mọi m PT luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của PT . Tìm giá trị của m để S = x12+ x22 đạt giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó ? 
Bài 2: Cho PT : x2 – ( 2m + 5) x – m – 10 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 Tìm giá trị của m để biểu thức : x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 3: Cho PT : x2 – ( m + 1) x + m = 0 . Tìm m để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất 
Bài 4 : Cho PT : x2 – 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0 ( m là tham số ) 
Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm x1; x2 TMĐK : 10x1x2+x12+ x22 đạt giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị đó ? 
Bài 5: Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của PT : x2 – 2(m - 3) x – 2(m – 1) =0 . Tìm giá trị của m để biểu thức sau A= x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó 
Bài 6 : Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của PT: x2 – mx + (m2 +1) = 0 . Tìm giá trị của m để biểu thức sau : A= x12 +x22 đạt giá trị lớn nhất , tìm giá trị lớn nhất đó 
Bài 7: ( Trớch đề thi vào 10 - năm học 2011-2012)
Cho phương trỡnh : x2 - 2(m+2)x+ 2m + 1= 0 ( m là tham số ) 
CMR: Phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m 
Tỡm m sao cho biểu thức đạt giỏ trị lớn nhất 
Bài 8: Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của PT : 2x2 + 2( m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = /x1x2- 2x1 – 2x2 / 
Bài 9: Cho PT : x2 – mx + m – 1 = 0 
CMR: PT luôn có nghiệm với mọi m 
Gọi x1; x 2 là 2 nghiệm của PT . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
8) UD8: Tìm ĐK của tham số m để PT bậc 2 có 2 nghiệm TMĐK cho trước của biến 
A. Lí thuyết : 
+) B1: Dùng ĐK để PT bậc 2 có nghiệm : a # 0 và 
+) B2: áp dụng ĐL Vi ét viết tổng và tích 2 nghiệm 
+) B3: Kết hợp với ĐL Vi ét và GT tìm m 
+) B4: Đối chiếu với ĐK của: a# 0 và 
B . Bài tập : 
Bài 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm của PT sau : x2 + ( m – 2) x + m + 5 = 0 
TMĐK : x12 + x22 = 10 
Bài 2: Cho PT: x2 – 7x + q = 0 . Biết hiệu 2 nghiệm = 11 . Tìm q và 2 nghiệm của PT 
Bài 3: Cho PT : x2 – qx + 50 = 0 . Tìm q và 2 nghiệm của PT , biết PT có 2 nghiệm và nghiệm này bằng 2 nghiệm kia 
Bài 4: Cho PT: x2 – ( m + 3) x + 2(m + 2) = 0 .Tìm m để PT có 2 nghiệm TMĐK : x1= 2x2
Bài 5: Cho PT : x2 + 2(m – 1) x – (m +1) =0 
Tìm m để PT có một nghiệm nhỏ hơn 1 , một nghiệm lớn hơn 1
Tìm giá trị của m để PT có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 
Bài 6: Cho PT bậc 2 : ( k + 1) x2 – 2( k + 2) x + k – 3= 0 
Xác định k để ( 4x1 + 1)(4x2+1) = 18 
Bài 7: Cho PT: x2 – 2( m – 2) x + ( m2 + 2m – 3) = 0 . Tìm các giá trị của m để PT có 2 nghiệm phân biệt TMĐK : 
Bài 8: Cho PT : x2 + mx+1=0 . Tìm giá trị của m để PT có 2 nghiệm x1; x2TMĐK :
Bài 9: Tìm giá trị của m để PT : 2x2 – 4x + 5(m -1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 
Bài 10 : Cho PT : x2 –(m – 1) x – m = 0 .Tìm m để sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1 
Bài 11: Xác định hệ số k của PT : 3x2 –(k+1)x + k = 0 có 2 nghiệm là : 
 a) 2 số đối nhau b) Hai số nghịch đảo nhau 
Bài 12 : Cho PT x2 – 2(m + 1) x + m2 + 3 = 0 
Xác định m để PT có nghiệm bằng 2
Xác định m để PT có 2 nghiệm TMĐK : x12 + x22 = 9 
Bài 13: Cho PT : x2 – (m + 1) x + m = 0 . Tìm m để tổng lập phương các nghiệm bằng 9 
Bài 14: Cho các phương trình sau : 
 a) x2 + kx + 2 = 0 b) x2 – (2k + 3)x + 4k + 2= 0 
Xác định k để các PT trên có 2 nghiệm mà hiệu 2 nghiệm là 1 
Bài 15 : Tìm các hệ số p và q của PT : x2 + px + q = 0 . Sao cho 2 nghiệm của PT TMĐK : 
9)UD9 : Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với tham số m 
A.Lí thuyết : 
+) B1: Dùng ĐK để PT bậc 2 có nghiệm : a # 0 và 
+) B2: áp dụng ĐL Vi ét viết tổng và tích 2 nghiệm 
+) B3: Tìm cách biến đổi khử tham số từ tổng và tích được hệ thức cần tìm 
+) B4: Đối chiếu với ĐK của: a# 0 và 
B)Bài tập : 
Bài 1: Cho PT : x2 – ( k -1)x + 1= 0 . Giả sử PT có 2 nghiệm x1; x2 . Tìm 1 hệ thức giữa x1; x2 độc lập với k 
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT : (k – 1) x2 – 2kx + k – 4 = 0 
Không giải PT hãy tìm 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số k 
Bài 3: Giả sử PT: x2 + 2mx – 4 + m = 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với m 
Bài 4: Cho PT: x2 – 2( m -1) x + m – 3= 0 ( 1) 
Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của PT (1) . Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m 
Bài 5 : Cho PT : x2 – ( m + 2) x + (2m -1) = 0 có các nghiệm x1; x2 Lập 1 hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m 
Bài 6: Cho PT : x2 – (k - 3)x + 2k + 1=0 có các nghiệm là x1 và x2 . Tìm một hệ thức độc lập với k đối với các nghiệm của PT trên 
Bài 7: Cho PT : mx2 – 2( m + 1) x + m + 3 = 0 (1)
Xác định m để PT ( 1) có nghiệm 
Giả sử PT có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy tìm hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m 
10) UD10 : Chứng minh mối quan hệ giữa các nghiệm của 1 HOẶC 2 PT :
A. Lí thuyết : 
B. Bài tập : 
Bài 1: Cho PT : x2 – 2x – m2 = 0 (1)
CMR: PT (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m # 0 
CMR: Nghiệm của PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT: m2x2 + 2x – 1= 0 
Bài 2: Cho PT : x2 + mx + n = 0 có : 3m2 = 16 n . CMR: trong các nghiệm của PT có 1 nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia 
Giải : Theo ĐL Vi ột cú : 
Mà 3m2 = 16 n=> 3m2 - 16 n= 0 ú 3(x1+ x2) 2 – 16 x1x2 = 0 ú 3x12 – 10x1x2+ 3x22 = 0 
ú ( x1 – 3x2)(3x1- x2) = 0 ú x1 = 3x2 hoặc x2= 3x1 
11)UD11 : Lập PT bậc 2 biết quan hệ giữa các nghiệm của nó 
ALí thuyết :
B.Bài tập :
Bài 1: Cho PT bậc 2: x2 – 2kx + 1= 0 (1) . Lập PT bậc 2 sao cho các nghiệm của nó gấp 3 lần các nghiệm của PT (1) 
Hướng dẫn Gải: 
+)Xét ĐK của 
+) áp dụng đL: Vi ét tìm tổng 2 nghiệm bằng 2k ; tích 2 nghiệm bằng 1 
+) Mà PT mới có 2 nghiệm : Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia nên ta có : 
Nên : chọn a= 1 ; thì b = -6k ; c = 9 . Thì PT là : y2 – 6ky + 9 = 0 
Bài 2: Giả sử x1 ; x2 là các nghiệm của pT : 2x2 – 7x – 3 = 0 . Hãy lập PT bậc 2 có các nghiệm là : 
Bài 3: Gọi a và b là 2 nghiệm của PT : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Không giải PT . hãy lập PT bậc 2 có hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là : 
Bài 4: Cho pT bậc 2: x2 – 2x – m2 = 0 có các nghiệm x1 và x2 . Lập PT bậc 2 có các nghiệm là y1 và y2 sao cho : y1 = x1 – 3 và y2 = x2 – 3 
Bài 5: Lập PT bậc 2 có 2 nghiệm bằng : 
Bình phương của các nghiệm của PT : x2 – 2x – 1 = 0 
Nghịch đảo của các nghiệm của PT x2 + mx – 2 = 0 
Bài 6 : Cho phương trình : x2 +mx + 2= 0 (1) có các nghiệm là x1 và x2 lập Phương trình bậc hai sao cho các nghiệm y1 và y2 của nó : 
Gấp hai lần nghiệm của PT (1) 
b) Là số đối của các nghiệm của PT (1) 
Bài 7 : Cho PT bậc 2: ax2 +bx + c = 0 có các nghiệm là x1 ; x2 . Lập PT bậc hai sao cho các nghiệm y1 ; y2 sao cho x1 + y1 = 0 ; x2 + y2 = 0 
12) UD12: áp dụng giảI hệ PT : 
Bài 1: GiảI hệ PT : 
Giải : Đặt x + y = S và xy = P ,ta có :x2 + y2 = ( x + y)2 – 2xy 
Ta có : 
Từ ( 1’) Rút P thế vào (2’) tìm được S1 = - 7 ,S2 = 5 
+) Với S1 = - 7 có P 1 = 18 có hệ PT : Hệ PT vô nghiệm 
+) Với S2 = 5 có P2 = 6 , có hệ PT : Giả hệ PT ta được 
 x= 2 và y = 3 hoặc x = 3 và y = 2
Bài 2: Cho hệ PT : .
 Tìm các giá trị của m để hệ PT 1 nghiệm TMĐK : x > 0 ; y > 0 
GiảI : Đặt u = x + y ; v = xy . Theo đề bài ta có : 
u ; v là 2 nghiệm của PT : t2 – ( m +1) t + m = 0 
t = 1 hoặc t = m . Ta có : 
Nếu : b) 
Bài tập tổng hợp : 
Bài 1: Cho PT : x2 + (4m +1) x + 2(m – 4) = 0 (1)
Tỡm m để PT cú 2 nghiệm x1 ; x2 . TMĐK : x1 - x2 = 17 
Tỡm m để biểu thức A= (x1 - x2 )2 cú GTNN 
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa 2 nghiệm khụng phụ thuộc vào m