5 Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7

ĐỀ THI HSG TOÁN 7
ĐỀ 1
Câu 1 (3 điểm):
 Chứng minh rằng: A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102
Câu 2 (3 điểm):Tìm x, biết:
a. |x| + |x + 2| = 3               
b. |3x - 5| = |x + 2|
Câu 3 (3 điểm):Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Các đường trung trực của tam giác gặp nhau tại O. Các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Gọi I, K, R theo thứ tự là TĐ của HA, HB, HC.
a) Chứng minh: HO và IM cắt nhau tại Q là trung điểm của mỗi đoạn.
b) Chứng minh: QI = QM = QD = OA/2
c) Hãy suy ra các kết quả tương tự như kết quả ở câu b.
Câu 4 (1 điểm):Tìm giá trị của x để biểu thức A = 10 - 3|x - 5| đạt giá trị lớn nhất.
ĐỀ 2
Bài 1: (2 điểm)Cho biểu thức:
a) Tính giá trị của A tại x = 1/4
b) Tìm giá trị của x để A = - 1
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (3 điểm)
a) Tìm x biết: 
b) Tính tổng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006
c) Cho đa thức: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm
Bài 3. (1 điểm) Hỏi tam giác ABC là tam giác gì biết rằng các góc của tam giác tỉ lệ với 1, 2, 3.
Bài 4. (3 điểm)Cho tam giác ABC có góc B bằng 600. Hai tia phân giác AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I.
a) Tính góc AIC
b) Chứng minh IM = IN
Bài 5. (1 điểm)Cho biểu thức:
.
Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
ĐỀ 3
Câu 1:1. Tính:
2. Rút gọn:
3. Biểu diễn số thập phân dưới dạng phân số và ngược lại:
Câu 2:Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở được 912 m3 đất. Trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm được 1,2; 1,4; 1,6 m3 đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1 và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối.
Câu 3:
a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x + 1)2 + (y + 3)2 + 1
Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) và góc C = 800. Trong tam giác sao cho MBA = 30o và MAB = 10o. Tính góc MAC.
Câu 5:Chứng minh rằng: nếu (a,b) = 1 thì (a2, a + b) = 1.
ĐỀ 4
Bài 1 (4 điểm): 
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
b) CMR: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N
Bài 2 (4 điểm): 
 a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 
 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp 7A1, số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) CMR: BM = CN
b) CMR: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. CMR: KC AC.
ĐỀ 5
Bài 1 (4 điểm) Tính:
a. b. B = 	
Bài 2 (4 điểm) Tìm x, y ,z biết: 
a. = và x + y = 55
b. và x + 2y - 3z = -24
Bài 3 ( 4đ)
a)Cho M = . Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất.
b)Tìm x sao cho: 
Bài 4 ( 6 điểm)
	Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a. Chứng minh góc BEH = góc ACB.
	b. Chứng minh DH = DC = DA.
	c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.
Bài 5 (2 điểm)Chứng minh rằng : (a, b Î Z )