35 Bài tập hệ thức lượng trong tam giác (Có lời giải)

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho có a = 12, b = 15, c = 13
Tính số đo các góc của
Tính độ dài các đường trung tuyến của
Tính S, R, r
Tính
HS: Tự giải
Cho có AB = 6, AC = 8, 
Tính diện tích 
Tính cạnh BC và bán kính R
HS: Tự giải
Cho có a = 8, b = 10, c = 13
 co góc tù hay không?
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Tính diện tích 
HS: Tự giải
Cho có tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác
HS: Tự giải
Cho AC = 7, AB = 5 và tính BC, S, , R
HS: Tự giải
Cho có và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC
HS: Tự giải
Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích . Tính cạnh BC
HS: Tự giải
Tính bán kính đường tròn nội tiếp biết AB = 2, AC = 3, BC = 4
HS: Tự giải
Tính của có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức 
 HS: Tự giải
Cho . CMR
HS Tự giải
Gọi G là trọng tâm và M là điểm tùy ý. CMR
HS Tự giải
Cho có b + c =2a. CMR
HS Tự giải
Cho biết 
Tính các cạnh và các góc còn lại của 
Tính chu vi và diện tích 
HS Tự giải
Cho biết . Tính , cạnh b,c của tam giác đó
HS Tự giải
Cho biết ; ; . Tính và cạnh c.
HS Tự giải 
Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?
 HS Tự giải
2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.
 HS Tự giải
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Tính .
A
B
C
M
N
Hướng dẫn giải: 
Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc 
với nhau thì .
Mặt khác 
Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng.
A
B
C
D
a. 
b. 
c. 
Hướng dẫn giải: 
a. Trước hết chứng minh công 
bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.
 ,, 
Mà 
b. 
Tương tự 
c. Ta có 
A
B
C
P
M
N
D
G
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, . Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải: 
Gọi D là điểm đối xứng của A qua 
 trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
Dễ thấy 
Mà có ba cạnh 
Bài 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng 
B
C
A
D
a
b
c
d
x
Với 
Hướng dẫn giải: 
Do ABCD nội tiếp nên
Trong tam giác có 
 Trong tam giác có 
Do đó 
Với 
Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Bài 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là chứng minh rằng tam giác có một góc bằng .
Hướng dẫn giải: 
Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác 
Với thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất 
Tính .
Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có 
 a. 
B
A
C
O
 b. 
Hướng dẫn giải: 
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp
 Ta có 
Từ hình vẽ:
Từ (1) và (2) 
Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 
Hướng dẫn giải: 
Theo Hê rong 
 Tam giác ABC vuông tại A
Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Mà 
Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
Hướng dẫn giải: 
a. BĐT 
 b. 
 c. Từ 
 Nên x, y,z dương thì áp dung vào CM
 + 
 + 
 d. 
Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải: 
C
A
C’
B
C
A
C’
B
C’
C
A
B
Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB
Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông, 
 + B là góc tù
Bài 29. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
 Hướng dẫn giải: 
 Ta có 
Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các cạnh bé nhất.
Hướng dẫn giải: 
 khi tam giác đều
Bài 31. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải: 
 Tương tự 
Nên 
Bài 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
 a. 
 b 
 c. 
Hướng dẫn giải: 
a. 
Mà 
b. 
c. 
Ta có 
 Tương tự , 
Công lại ta có 
Bài 33. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải: 
Bài 34. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng có một góc tù.
Hướng dẫn giải: 
Mà 
Bài 35. Tam giác ABC có thì có tính chất gì?
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Mà 
Vậy tam giác ABC có thì tam giác ABC đều.