20 Bài toán Hình học không gian

60
2a
O
CB
A D
S
a
a
A
B
C
S
60a
a2 CB
A D
S
Bài 1. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú cạnh đỏy 2a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng 600. Tớnh thể tớch 
của hỡnh chúp. 
Giải: 
 Gọi O là tõm của mặt đỏy thỡ ( )SO ABCD do đú SO là đường cao 
 của hỡnh chúp và hỡnh chiếu của SB lờn mặt đỏy là BO, 
 do đú 
 060SBO  (là gúc giữa SB và mặt đỏy) 
 Ta cú, 
  
tan . tan . tan
2
SO BDSBO SO BO SBO SBO
BO
    
02. tan60 6a a  
 Vậy, thể tớch hỡnh chúp cần tỡm là 
31 1 1 4 6. . . 2 .2 . 6
3 3 3 3
aV B h AB BC SO a a a    
Bài 2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, 

BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuụng gúc 
với mặt phẳng (ABC).Tớnh VS.ABC và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC). 
Giải 
 Theo giả thiết, , , SA AB BC AB BC SA   
 Suy ra, ( )BC SAB và như vậy BC SB 
 Ta cú, 0 3.cos 30
2
aAB AC  và 0.sin 30
2
aBC AC  
2
2 2 2 3 7
4 2
a aSB SA AB a     
 
2 3
.
1 1 3 3 1 3.
2 2 2 2 8 3 24ABC S ABC ABC
a a a aS AB BC V SA S          
 
21 1 7 7.
2 2 2 2 8SBC
a a aS SB BC      
 
3
.
. 2
31 3 8 21( ,( )). ( ,( )) 3
3 24 77
S ABC
S ABC SBC
SBC
V a aV d A SBC S d A SBC
S a 
       
Bài 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB = a, BC = 2a. Hai mặt bờn (SAB) và 
(SAD) vuụng gúc với đỏy, cạnh SC hợp với đỏy một gúc 600. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD. 
Giải 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
      
 Suy ra hỡnh chiếu của SC lờn (ABCD) là AC, do đú 
 060SCA  
 
  2 2 0 2 2tan .tan . tan 60 (2 ) . 3 15SASCA SA AC SCA AB BC a a a
AC
        
 2. .2 2ABCDS AB BC a a a   
 1
2a
60
MO
CB
A D
S
3 2
6
A C
B
S
D
E
30
a
A C
B
S
 Vậy, thể tớch khối chúp S.ABCD là: 
3
21 1 2 15. 15 2
3 3 3ACBD
aV SAS a a     (đvtt) 
Bài 4. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú cạnh đỏy 2a, gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy bằng 600. Tớnh thể tớch 
của hỡnh chúp. 
Giải 
 Gọi O là tõm của mặt đỏy thỡ ( )SO ABCD nờn SO là đường cao 
 của hỡnh chúp. 
 Gọi M là trung điểm đoạn CD. Theo tớnh chất của hỡnh chúp đều 
 0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD
        
(gúc giữa mặt ( )SCD và mặt đỏy) 
 Ta cú, 
  0tan .tan . tan60 3
2
SO BCSMO SO OM SMO a
OM
     
 Vậy, thể tớch hỡnh chúp cần tỡm là: 
31 1 1 4 3. . . 2 .2 . 3
3 3 3 3
aV B h AB BC SO a a a    (đvtt) 
Bài 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với đỏy. Gọi D, E lần 
lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB, SC. Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6. Tớnh thể tớch 
khối chúp S.ADE. 
Giải 
 2 2 2 23 6 3 5SB SA AB     
2 2 2 2 2 2 2 26 3 2 7SC SA AC SA AB BC         
 
2 2
2
2 2
6 4.
5(3 5)
SD SASA SD SB
SB SB
     
 
2 2
2
2 2
6 36.
497
SE SASA SE SC
SC SC
     
 .
1 1 1 6.3.2 6
3 2 6S ABC
V SA AB BC        
 . . .
.
4 36 8646
5 49 245
S ADE
S ADE S ABC
S ABC
V SA SD SE SD SEV V
V SA SB SC SB SC
           
Bài 6. Cho khối chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt đỏy (ABC), tam giỏc ABC vuụng cõn tại B, SA= a, 
SB hợp với đỏy một gúc 300 . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC. 
Giải 
 
( )
( )
SA ABC
SA ABAB ABC
    
 và hỡnh chiếu của SB lờn (ABC) 
là AB, do đú 
 030SBA  
 2
aI M
H
C'
B'
A B
C
A '
60
2a
I
K
A B
C
S
 
  0cot .cot .cot30 3ABSBA BC AB SA SBA a a
SA
      
 
21 1 3. 3. 3
2 2 2ABC
aS AB BC a a   
 Vậy, thể tớch khối chúp S.ABC là: 
2 31 1 3.
3 3 2 2ABC
a aV SAS a     (đvtt) 
Bài 7 Cho hỡnh lăng trụ .ABC A B C   cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a. Hỡnh chiếu vuụng gúc 
của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bờn ( )AA C C  tạo với đỏy một gúc 
bằng 45 . Tớnh thể tớch của khối lăng trụ này. 
Giải 
 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm cỏc đoạn AB,AC,AM 
 Theo giả thiết, 
( ),A H ABC BM AC   
 Do IH là đường trung bỡnh tam giỏc ABM nờn 
||IH BM IH AC  
 Ta cú, ,AC IH AC A H AC IA     
 Suy ra gúc giữa ( )ABC và ( )ACC A  là  o45A IH  
 o 1 3.tan 45
2 4
aA H IH IH MB     
 Vậy, thể tớch lăng trụ là: 
31 1 3 3 3. . .
2 2 2 2 8
a a aV B h BM AC A H a       (đvdt) 
Bài 8. Hỡnh chúp S.ABC cú BC = 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, SAB là tam giỏc vuụng cõn tại S 
và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy. Gọi I là trung điểm cạnh AB. 
 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuụng gúc với mặt đỏy ( )ABC . 
2) Biết mặt bờn (SAC) hợp với đỏy (ABC) một gúc 600. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC. 
Giải 
 Do SAB vuụng cõn tại S cú SI là trung tuyến nờn SI AB 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI ABC
AB SI SAB
       
 Gọi K là trung điểm đoạn AC thỡ IK ||BC nờn IK AC 
 Ta cũn cú, AC SI do đú AC SK 
 Suy ra, gúc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là 
 060SKI  
 Ta cú, 
 01. tan tan 60 3
2
SI IK SKI BC a     
và 2 22 2 3 2 2AB SI a AC AB BC a      
 Vậy, 
3
.
1 1 1 1 2 62 2 2 3
3 3 2 6 3S ABC ABC
aV S SI AC BC SI a a a             (đvtt) 
 3
O M
A C
B
S
30
60a
B'
CA
A' C'
B
60 O
C
B
A
D
S
Bài 9. Cho khối chúp S.ABC cú ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cú cạnh bằng 2, 3SA a . Tớnh thể 
tớch khối chúp S.ABC theo a. 
Giải 
 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM. 
 Do ABC và SBC đều cú cạnh bằng 2a nờn 
2 3
2
aSM AM SA SAM     đều SO AM (1) 
 Ta cú, 
BC SM
BC SOBC OM
    
 (2) 
 Từ (1) và (2) ta suy ra ( )SO ABC (do , ( )AM BC ABC ) 
 Thể tớch khối chúp S.ABC 
31 1 1 1 3. 3 33 2
3 3 2 6 2 2
a aV B h AM BC SO a a             (đvtt) 
Bài 10 Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là một tam giỏc vuụng tại A và AC = a, 
 060C  . 
Đường chộo BC' của mặt bờn BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một gúc 030 . Tớnh thể tớch của 
khối lăng trụ theo a. 
Giải: 
 Ta cú, ( )
AB AC
AB ACC AAB AA
      
, do đú AC  là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của BC  lờn ( )ACC A  . Từ đú, gúc giữa BC  và ( )ACC A  
là 
 030BC A  
 Trong tam giỏc vuụng ABC, 0. tan60 3AB AC a  
 Trong tam giỏc vuụng ABC  , 0.cot30 3. 3 3AC AB a a    
 Trong tam giỏc vuụng ACC  , 2 2 2 2(3 ) 2 2CC AC AC a a a      
 Vậy, thể tớch lăng trụ là: 3
1 1. . . 3 2 2 6
2 2
V B h ABACCC a a a a       (đvdt) 
Cõu 11. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng 600. Tớnh 
diện tớch xung quanh và thể tớch của hỡnh nún cú đỉnh S và đỏy là đường trũn ngoại tiếp đỏy hỡnh 
chúp đó cho. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Gọi O là tõm của hỡnh vuụng ABCD. Do S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn 
 ( )SO ACBD 
 Suy ra, OB là hỡnh chiếu vuụng gúc của SB lờn mp(ABCD) 
 Do đú, 
 060SBO  . Kết hợp, 2
2
ar OB  ta suy ra: 
 4
0
0 0
2 6.tan60 3
2 2
2 2
cos 60 2 cos60
a ah SO OB
OB al SB a
    
   

 Diện tớch xung quanh của mặt nún: 22. . 2
2xq
aS r l a a       (đvdt) 
 Thể tớch hỡnh nún: 
2 3
21 1 6 6. .
3 3 2 2 12
a a aV r h       (đvtt) 
Cõu 12. Cho khối chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt đỏy (ABC), tam giỏc ABC vuụng cõn tại B, SA= 
a, SB hợp với đỏy một gúc 300 .Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 
( )
( )
SA ABC
SA ABAB ABC
    
 và hỡnh chiếu của SB lờn (ABC) 
là AB, do đú 
 030SBA  
 
  0cot .cot .cot30 3ABSBA BC AB SA SBA a a
SA
      
 
21 1 3. 3. 3
2 2 2ABC
aS AB BC a a   
 Vậy, thể tớch khối chúp S.ABC là: 
2 31 1 3.
3 3 2 2ABC
a aV SAS a     (đvtt) 
Cõu 13. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh đỏy bằng 6 , đường cao h = 2. Hóy tớnh diện tớch của mặt 
cầu ngoại tiếp hỡnh chúp đú. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Giả sử hỡnh chúp đều đó cho là S.ABC cú O là chõn đường cao xuất 
 phỏt từ đỉnh S. Gọi I là điểm trờn SO sao cho IS = IA, thỡ 
IS IA IB OC R    
 Do đú, I là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp. 
 Theo giả thiết, SO = 2 2IO R   
 và 
2 2 6. 3 2
3 3 2
OA AM    
 Trong tam giỏc vuụng IAO, ta cú 
2 2 2 2 2 3(2 ) 2 4 4 2 0
2
IA OI OA R R R R            
 Vậy, diện tớch mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp là 
2
2 34 4 9
2
S R  
       (đvdt) 
Cõu 14. Cho hỡnh lăng trụ .ABC A B C   cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a. Hỡnh chiếu vuụng gúc 
của A xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bờn ( )AA C C  tạo với đỏy một gúc 
bằng 45 . Tớnh thể tớch của khối lăng trụ này. 
 5
60
a
a 2 M
A C
B
S
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Gọi H,M,I lần lượt là trung điểm cỏc đoạn AB,AC,AM 
 Theo giả thiết, 
( ),A H ABC BM AC   
 Do IH là đường trung bỡnh tam giỏc ABM nờn 
||IH BM IH AC  
 Ta cú, ,AC IH AC A H AC IA     
 Suy ra gúc giữa ( )ABC và ( )ACC A  là  o45A IH  
 o 1 3.tan 45
2 4
aA H IH IH MB     
 Vậy, thể tớch lăng trụ là: 
31 1 3 3 3. . .
2 2 2 2 8
a a aV B h BM AC A H a       (đvdt) 
Cõu 15. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với mặt đỏy. Gúc 
 060SCB  , BC = a, 2SA a . Gọi M là trung điểm SB. 
1) Chứng minh rằng (SAB) vuụng gúc (SBC). 
2) Tớnh thể tớch khối chúp MABC 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 
( )
( )( )
BC SA SAB
BC SABBC AB SAB
      
 (do SA cắt BC) 
 Mà ( )BC SBC nờn ( ) ( )SBC SAB 
 Ta cú, 
 0. tan . tan60 3SB BC SCB a a   
2 2 2 2( 3) ( 2)AB SB SA a a a     
 
21 1 1 2
2 2 2 4MAB SAB
aS S SA AB        
 Thể tớch khối chúp M.ABC: 
2 31 1 1 2 2
3 3 3 4 12MAB
a aV B h S BC a          (đvdt) 
Cõu 16. Cho hỡnh lăng trụ đứng .ABC A B C   cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, BC = a, mặt 
( )A BC tạo với đỏy một gúc 030 và tam giỏc A BC cú diện tớch bằng 2 3a . Tớnh thể tớch khối 
lăng trụ .ABC A B C   . 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Do 
BC AB
BC A BBC AA
     
 (hơn nữa, ( )BC ABB A  ) 
 Và 
( )
( )
( ) ( )
BC AB ABC
BC AB A BC ABA
BC ABC A BC
        
 là gúc giữa ( )ABC và ( )A BC 
 Ta cú, 
22.1 2. 3. 2 3
2
A BC
A BC
S aS A B BC A B a
BC a

       
 6


0
0
.cos 2 3.cos 30 3
.sin 2 3.sin 30 3
AB A B ABA a a
AA A B ABA a a
   
    
 Vậy, l.t ruù
31 1 3 3. . 3 3
2 2 2ABC
aV Bh S AA AB BC AA a a a            (đvtt) 
Cõu 17. Hỡnh chúp S.ABC cú BC = 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, SAB là tam giỏc vuụng cõn tại S 
và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy. Gọi I là trung điểm cạnh AB. 
1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuụng gúc với mặt đỏy ( )ABC . 
2) Biết mặt bờn (SAC) hợp với đỏy (ABC) một gúc 600. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Do SAB vuụng cõn tại S cú SI là trung tuyến nờn SI AB 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI ABC
AB SI SAB
       
 Gọi K là trung điểm đoạn AC thỡ IK ||BC nờn IK AC 
 Ta cũn cú, AC SI do đú AC SK 
 Suy ra, gúc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC) là 
 060SKI  
 Ta cú, 
 01. tan tan 60 3
2
SI IK SKI BC a     
và 2 22 2 3 2 2AB SI a AC AB BC a      
 Vậy, 
3
.
1 1 1 1 2 62 2 2 3
3 3 2 6 3S ABC ABC
aV S SI AC BC SI a a a             (đvtt) 
Cõu 18. Cho khối chúp S.ABC cú ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cú cạnh bằng 2, 3SA a . Tớnh thể 
tớch khối chúp S.ABC theo a. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM. 
 Do ABC và SBC đều cú cạnh bằng 2a nờn 
2 3
2
aSM AM SA SAM     đều SO AM (1) 
 Ta cú, 
BC SM
BC SOBC OM
    
 (2) 
 Từ (1) và (2) ta suy ra ( )SO ABC (do , ( )AM BC ABC ) 
 Thể tớch khối chúp S.ABC 
31 1 1 1 3. 3 33 2
3 3 2 6 2 2
a aV B h AM BC SO a a             (đvtt) 
Cõu 19. Cho một hỡnh trụ cú độ dài trục 2 7OO   . ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 8 cú cỏc đỉnh nằm 
trờn hai đường trũn đỏy sao cho tõm của hỡnh vuụng là trung điểm của đoạn OO  . Tớnh thể tớch của hỡnh 
trụ đú. 
 7
30
60a
B'
CA
A' C'
B
B
A
O
S
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
 Giả sử , ( )A B O và , ( )C D O 
 Gọi H,K,I lần lượt là trung điểm cỏc đoạn AB,CD và OO  
 Vỡ 7 4IO IH   nờn O H 
 Theo tớnh chất của hỡnh trụ ta cú ngay OIH và OHA 
 là cỏc tam giỏc vuụng lần lượt tại O và tại H 
 Tam giỏc vuụng OIH cú 2 2 3OH IH OI   
 Tam giỏc vuụng OHA cú 2 2 5r OA OH HA    
 Vậy, thể tớch hỡnh trụ là: 2 2. . . .5 .2 7 50 7V B h r h      (đvtt) 
Cõu 20. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là một tam giỏc vuụng tại A và AC = a, 
 060C  . Đường chộo BC' của mặt bờn BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một gúc 030 . Tớnh thể 
tớch của khối lăng trụ theo a. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
: Ta cú, ( )
AB AC
AB ACC AAB AA
      
, do đú AC  là hỡnh chiếu 
vuụng gúc của BC  lờn ( )ACC A  . Từ đú, gúc giữa BC  và ( )ACC A  
là 
 030BC A  
 Trong tam giỏc vuụng ABC, 0. tan60 3AB AC a  
 Trong tam giỏc vuụng ABC  , 0.cot30 3. 3 3AC AB a a    
 Trong tam giỏc vuụng ACC  , 2 2 2 2(3 ) 2 2CC AC AC a a a      
 Vậy, thể tớch lăng trụ là: 3
1 1. . . 3 2 2 6
2 2
V B h ABACCC a a a a       (đvdt) 
Cõu 21. Một hỡnh nún cú thiết diện qua trục là một tam giỏc vuụng cõn cú cạnh gúc vuụng bằng a. 
a) Tớnh diện tớch xung quanh và diện tớch toàn phần của hỡnh nún. 
b) Tớnh thể tớch của khối nún tương ứng. 
BÀI GIẢI CHI TIẾT. 
  Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hỡnh nún (như hỡnh vẽ) 
 Tam giỏc SAB cõn tại S và là tam giỏc cõn nờn SA = SB = a. 
 Do đú, 2 2 2AB SA SB a   và 1 2
2 2
aSO OA AB   
 Vậy, diện tớch xung quanh và diện tớch toàn phần của hỡnh nún : 
xq
22 2
2 2 2
a a aS rl       ; 
tp xq
2
2
2 22
2 2
a aS S r a  
         
 Thể tớch khối nún: 
2
3
21 1 2 2 2
3 3 2 2 12
a a aV r h  
       