Tổng hợp phương trình - Hệ phương trình - bất phương trình trong các đề thi thử 2014

LỚP TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (2014)
11a Nguyễn Trường Tộ - Đn Chuyên đề : PT-HPT-BPT
www.nhomtoan.com .........................
TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2014
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải hệ phương trình {
8x3 − y3 = 63 (1)
y2 + 2x2 + 2y − x = 9 (2)
Hướng dẫn : Lấy (1) + 6.(2)⇒ (2x− 1)3 = (y + 2)3. Đs : (2; 1); (−1/2; 4).
Câu 2. Giải hệ phương trình {
9y3(3x3 − 1) = −125 (1)
45x2y + 75x = 6y2 (2)
Hướng dẫn : Chia (1) cho y3, (2) cho y2, đặt u = 3x; v =
5
y
. Đs : (2/3; 5); (1/3; 5/2).
Câu 3. Giải hệ phương trình {
y3 + 3y2 + y − 22x+ 21 = (2x+ 1)√2x− 1 (1)
2x2 − 11x+ 9 = 2y (2)
Hướng dẫn : Lấy (1)− 2.(2)⇒ (y + 1)3 + 2(y + 1) = (√2x− 1)3 + 2√2x− 1. Đs : (1; 0); (5; 2).
Câu 4. Giải hệ phương trình {
x4 − 4x2 + y2 − 6y + 9 = 0 (1)
x2y + x2 + 2y − 22 = 0 (2)
Hướng dẫn : Đặt a = x2−2; b = y−3, suy ra (a; b) = {(2; 0); (0; 2)}. Đs : (2; 3); (−2; 3); (√2; 5); (−√2; 5).
Câu 5. Giải hệ phương trình {
x3 − 6x2y + 9xy2 − 4y3 = 0 (1)√
x− y +√x+ y = 2 (2)
Hướng dẫn : (1)⇔ (x− y)2(x− 4y) = 0. Đs : (2; 2); (32− 8√15; 8− 2√15).
Câu 6. Giải hệ phương trình {
2
√
x2 + 3y −√y2 + 8x− 1 = 0 (1)
x(x+ 8) + y(y + 3)− 13 = 0 (2)
Hướng dẫn : Đặt a =
√
x2 + 3y; b =
√
y2 + 8x,⇒ (a; b) = (2; 3). Đs : (1; 1); (−5;−7).
Câu 7. Giải hệ phương trình 
9(x2 + y2) + 2xy +
4
(x− y)2 = 13 (1)
2x+
1
x− y = 3 (2)
Hướng dẫn : Đặt a = x+ y; b = x− y + 1
x− y ⇒ (a; b) = {(1; 2); (5/3; 4/5)}. Đs : (1; 1).
Câu 8. Giải hệ phương trình {
(x− y)(x2 + xy + y2 + 3) = 3(x2 + y2) + 2 (1)
4
√
x+ 2 +
√
16− 3y = x2 + 8 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)3 = (y + 1)3 ⇔ y = x − 2; (2) ⇔ 4√x+ 2 + √22− 3x = x2 + 8 ⇔
Liên hợp hai lần nhé !. Đs : (2; 0); (−1;−3).
Câu 9. Giải hệ phương trình 
(√
2x− 1− 1) 2y−1 = 2− 2√2− x
x
(1)
log2 x = −y + 2 (2)
Hướng dẫn : Rút (2) thay vào (1) :
√
2x− 1− 1 = 1−√2− x ⇔ Bình phương !. Đs : (1; 2); 17/9; 2−
log2
17
9
.
Câu 10. Giải hệ phương trình{
x+ 3 = 2
√
(3y − x)(y + 1) (1)
x
√
2y − 1 +√x+ 12 = 12 (√6− 2y +√4− x) (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (√y + 1−√3y − x) (3√y + 1 +√3y − x) = 0. Thay vào (2), dùng tính đơn điệu,
suy ra duy nhất nghiệm. Đs : (4; 5/2).
Câu 11. Giải hệ phương trình {
ln(x+ 1) + ln(y + 1) = ln(x− 2y + 1) (1)
x2 − 12xy + 20y2 = 0 (2)
Hướng dẫn : (2) là phương trình đẳng cấp thuần nhất, chia y2. Đs : (0; 0).
Câu 12. Giải hệ phương trình {
xy2 + 4y2 + 8 = x(x+ 2) (1)
x+ y + 3 = 3
√
2y − 1 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (x+ 4)(y2 − x+ 2) = 0. Khi x = y2 + 2, thay vào (2)
y2 + y + 5 = (y2 − y + 1) + (2y − 1) + 5 > (2y − 1) + 5 > 2
√
5(2y − 1) > 3
√
2y − 1⇔ Vô lý
. Đs : (−4; 10 + 3√10).
Câu 13. Giải hệ phương trình 
√
2x+ y
4x+ 2y + 2
+
√
3x+ 1
x− 1 = 2 (1)
12x+ 4y = 5(x− 1)(2x+ y + 1) (2)
Hướng dẫn :(2)⇔ 1
2x+ y + 1
+
1
x− 1 =
5
4
, đặt a =
√
2x+ y
4x+ 2y + 2
; b =
√
3x+ 1
x− 1 . Đs : (5;−10).
Câu 14. Giải hệ phương trình {
x4 + y2 − 8x2 − 6y = 1 (1)
x2y + 2x2 + y = 38 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x2 − 4; b = y − 3. Đs : (√3; 8); (−√3; 8); (3; 2); (−3; 2).
Câu 15. Giải hệ phương trình {
x3 − x2y = x2 − x+ y + 1 (1)
x3 − 9y2 + 6(x− 3y)− 15 = 3 3√6x2 + 2 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (x− y)(x2 + 1) = x2 + 1, thay vào (2)
(x− 1)3 + 3(x− 1) = (6x2 + 2) + 3 3
√
6x2 + 2⇔ . . .⇔ x3 − 9x2 + 3x− 3 = 0⇔ (x+ 1)3 = 2(x− 1)3
. Đs :
(
3
√
2 + 1
3
√
2− 1;
2
3
√
2− 1
)
.
Câu 16. Giải hệ phương trình {
(4x2 + 1)x+ (y − 1)√1− 2y = 0 (1)
4x2 + y2 + 4y + 2
√
3− 4x = 3 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (2x)3 +2x = (√1− 2y)3 +√1− 2y, thay vào (1)⇔ (2x− 1).f(x) = 0. Đs : (1/2; 0).
Câu 17. Giải hệ phương trình  1 + xy +
√
xy = x (1)
1
x
√
x
+ y
√
y =
1√
x
+ 3
√
y (2)
Hướng dẫn :Chia (1) cho x, đặt a =
1√
x
; b =
√
y. Đs : (1; 0).
Câu 18. Giải hệ phương trình{
x2y2 + 4x2y − 3xy2 + x2 + y2 = 12xy + 3x− 4y + 1 (1)
3x2 − 2y2 = 9x+ 8y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (x2−3x+1)(y2+4y+1) = 2; (2)⇔ 3(x2−3x)−2(y2+4y) = 3. Đặt a = x2−3x; b =
y2 + 4y. Đs : (
3−√13
2
; 0); (
3 +
√
13
2
; 0); ....
Câu 19. Giải hệ phương trình {
10x− xy − y = 2 (1)
30x2 − xy2 − 2xy − x− y = 1 (2)
Hướng dẫn :(1) chia x; (2) chia x2. Đặt a =
1
x
; b = y + 1. Đs : (1; 4); (1/5; 0); (1/2; 2); (1/3; 1).
Câu 20. Giải hệ phương trình {
x4 + x2y2 − y2 = y3 + x2y + x2 (1)
2y3 −√5− 2x2 − 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x2 − y − 1)(x2 + y2). Thay x2 = y + 1 vào (2), xét hàm, suy ra nghiệm duy nhất.
Đs : (
√
2; 1); (−√2; 1).
Câu 21. Giải hệ phương trình {
(4y − 1)(√x2 + 1) = 2x2 + 2y + 1 (1)
x4 + x2y + y2 = 1 (2)
Hướng dẫn :Xem (1) là một phương trình bậc 2 theo
√
x2 + 1. Đs : (0; 1).
Câu 22. Giải hệ phương trình { √
x+ 2 +
√
y − 2 = 4 (1)√
x+ 7 +
√
y + 3 = 6 (2)
Hướng dẫn :(1) + (2); (1)− (2), đặt a = √x+ 7 +√x+ 2; b = √y + 3 +√y − 2. Đs : (2; 6).
Câu 23. Giải hệ phương trình {
2x2(4x+ 1) + 2y2(2y + 1) = y + 32 (1)
x2 + y2 − x+ y = 1
2
(2)
Hướng dẫn :(2)⇔
(
x− 1
2
)2
+
(
y +
1
2
)2
= 1, đặt a = x− 1
2
; b = y +
1
2
. Thay vào (1)
(1)⇔ (4a2 + 11a+ 15)(a− 1) + 2b2(b− 1) = 0 (3)
Dựa vào điều kiện suy ra V T (3) 6 0⇒ a = 1; b = 0. Đs : (3/2; 1/2).
Câu 24. Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
x+ 3 = 2
√
(3y − x)(y + 1) (1)(
√
3y − 2−
√
x+ 5
2
)
.m = xy − 2y − 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ 3(y + 1)− (3y − x) = 2√3y − x.√y + 1 ⇔ . . . ⇔ √y + 1−√3y − x = 0. Thay vào
(2)
(y − 2)
[
2m√
3y − 2 +√y + 2 − (2y + 1)
]
= 0
Đs : (−∞; 7√6/9); 10.
Câu 25. Giải hệ phương trình { √
x2 + 21 =
√
y − 1 + y2 (1)√
y2 + 21 =
√
x− 1 + x2 (2)
Hướng dẫn :Lấy (1)− (2)⇔ √x2 + 21+√x− 1+x2 =√y2 + 21+√y − 1+ y2, xét hàm, suy ra x = y.
Đs : x = 2.
Câu 26. Giải hệ phương trình { √
x+ y +
√
x− y = 4 (1)
x2 + y2 = 128 (2)
Hướng dẫn :Bình phương hai lần (1), rút được y2 = 16x− 64, thay vào (2). Đs : (8; 8); (8;−8).
Câu 27. Giải hệ phương trình {
xy + x− 1 = 3y (1)
x2y − x = 2y2 (2)
Hướng dẫn :(1) chia cho y, (2) chia cho y2. đặt a = x− 1
y
; b =
x
y
. Đs : (1±√2; 1±√2); (2; 1); (−1;−1/2).
Câu 28. Giải hệ phương trình{
x2 + xy + x+ 3 = 0 (1)
(x+ 1)2 + 3(y + 1) + 2
(
xy −√x2y + 2y) = 0 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ xy = −x2 − x− 3, thay vào (2)⇔ 3. y
x2 + 2
− 2
√
y
x2 + 2
− 1 = 0. Đs : (−1; 3).
Câu 29. Giải hệ phương trình {
2y3 − 2x3 = 3 (1)
y = 4x3 − x+ 3 (2)
Hướng dẫn :Thay (1) vào (2), suy ra y+x = 2x3+2y3 ⇔ (x+y)(x2−xy+y2− 1
2
) = 0. Từ x2−xy+y2 = 1
2
suy ra y2 6 2
3
;x2 6 2
3
. Đánh giá :|y3 − x3| 6 |x3| + |y3| 6 2(√2/3)3 < 3/2 ⇒ vô nghiệm. Đs :
(− 3√3/4; 3√3/4).
Câu 30. Giải hệ phương trình {
x+ y +
√
x2 − y2 = 12 (1)
y
√
x2 − y2 = 12 (2)
Hướng dẫn :Đặt a =
√
x2 − y2; b = x+ y ⇒ (a; b) = {(4; 8); (3; 9)}. Đs : (5; 3); (5; 4).
Câu 31. Giải hệ phương trình { √
xy +
√
x−√y = −x+ 2y (1)
3 log3(x+ 2y + 6) = 2 log2(x+ y + 2) + 1 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ √x−√y = 0, thay vào (2)⇔ 3 log3(x+ 2) = 2 log2(x+ 1). Đs : (7; 7).
Câu 32. Giải hệ phương trình {
(x− y)(x2 + xy + y2 + 3) = 3(x2 + y2) + 2 (1)√
x− 2 +√2− y = x2 − 6x+ 11 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (x− 1)3 = (y + 1)3. Đs : (3; 1).
Câu 33. Giải hệ phương trình {
x+
√
x2 − 2x+ 5 = 3y +√y2 + 4 (1)
x2 − y2 − 3x+ 3y + 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :Lấy (1) + (2)⇔ (x− 1)2 +√(x− 1)2 + 4 = y2 +√y2 + 4. Đs : (3/2; 1/2); (3/4; 1/4).
Câu 34. Giải hệ phương trình {
log2 x = 2
y+2 (1)
4
√
x+ 1 + xy
√
4 + y2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (xy2 − 4)(4x + xy2 + 4) = 0 ⇔ x = 4
y2
, thay vào (1), xét hàm, suy ra nghiệm duy
nhất. Đs : (4;−1).
Câu 35. Giải hệ phương trình{
(53− 5x)√10− x+ (5y − 48)√9− y (1)√
2x− y + 6 + x2 = √−2x+ y + 11 + 2x+ 66 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (5(10− x) + 3)√10− x = (5(9− y) + 3)√9− y, xét hàm, suy ra y = x − 1. Đs :
(9; 8).
Câu 36. Giải hệ phương trình { √
x− 2−√y − 1 = 27− x3 (1)
(x− 2)4 + 1 = y (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ √y − 1 = (x − 2)2,thay vào (1) ⇔ √x− 2 + x3 − x2 + 4x − 31 = 0, xét hàm VT,
chứng minh đồng biến, suy ra nghiệm duy nhất. Đs : (3; 2).
Câu 37. Giải hệ phương trình {
27x3y3 + 7y3 = 8 (1)
9x2y + y2 = 6x (2)
Hướng dẫn :Nhân (2) với 7y, rồi trừ vế theo vế với (1). Đs : (− 3√7/19;− 3√19/7); ....
Câu 38. Giải hệ phương trình {
7x3 + y3 + 3xy(x− y)− 12x2 + 6x = 1 (1)
3
√
4x+ y + 1 +
√
3x+ 2y = 4 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (2x− 1)3 = (x− y)3, thay vào (2), đặt a = 3√3x+ 2; b = √x+ 2⇒ a = 2; b = 2.
Đs : (2;−1).
Câu 39. Giải hệ phương trình {
(3x+ y)(x+ 3y)
√
xy = 14 (1)
(x+ y)(x2 + y2 + 14xy) = 36 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x+ y; b =
√
xy, suy ra hệ đẳng cấp theo a, b.
Đs : (
3− 2√2
2
;
3 + 2
√
2
2
); (
3 + 2
√
2
2
;
3− 2√2
2
).
Câu 40. Giải hệ phương trình {
12x+ 3y − 4√xy = 16 (1)√
4x+ 5 +
√
y + 5 = 6 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = 4x+ y; b = 4xy,rút thế, suy ra a = 8; b = 16. Đs : (1; 4).
Câu 41. Giải hệ phương trình {
5x2 − 3y = x− 3xy (1)
x3 − x2 = y2 − 3y3 (2)
Hướng dẫn :Hệ đẳng cấp !. Đs : (0; 0); (1/2; 1/2); (−1; 1).
Câu 42. Giải hệ phương trình  x2 + 3y
√
x2 − 1
y
= 1 + 4y (1)
3
√
x+ 6 +
√
x+ y − x2 = y (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ x
2 − 1
y
+ 3
√
x2 − 1
y
− 4 = 0⇔ . . .⇔ y = x2 − 1. Thay vào (2)
3
√
x+ 6 +
√
x− 1 = x2 − 1⇔ . . .⇔ (x− 2).f(x) = 0
. Đs : (2; 3).
Câu 43. Giải hệ phương trình{
4
√
1 + 2x2y − 1 = 3x+ 2√1− 2x2y +√1− x2 (1)
2x3y − x2 = √x4 + x2 − 2x3y√4y2 + 1 (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y + 2y√4y2 + 1 = 1
x
+
1
x
√
1
x2
+ 1. Xét hàm, suy ra 2y =
1
x
, thay vào (1), đặt
a =
√
x+ 1; b =
√
1− x. Đs : (−3/5;−5/6); (0; t) t ∈ R .
Câu 44. Giải hệ phương trình {
5x3 + 7y3 + 2xy = 38 (1)
4x3 − 3y3 − 7xy = −4 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ x3 = xy + 2; (2)⇔ y3 = 4− xy. Nhân vế theo vế, suy ra : xy = 2. Đs : ( 3√4; 3√2).
Câu 45. Giải hệ phương trình {
x2 − y(x+ y) + 1 = 0 (1)
(x2 + 1)(x+ y − 2) + y = 0 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ x2 + 1 = y(x+ y). Thay vào (2)⇔ (x+ y − 1)2 = 0. Đs : (0; 1); (−1; 2).
Câu 46. Giải hệ phương trình{ √
x2 + 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1)
2(2y3 + x3) + 3y(x+ 1)2 + 6x(x+ 1) + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(2)⇔ 2
(
x+ 1
y
)3
+ 3
(
x+ 1
y
)2
+ 4 = 0⇔ . . .⇔ x = −2y − 1. Đs : (−14/9; 5/18).
Câu 47. Giải hệ phương trình {
x2 − 5y + 3 + 6√y2 − 7x+ 4 = 0 (1)
y(y − x+ 2) = 3x+ 3 (2)
Hướng dẫn :Xem (2) là phương trình bậc hai theo y, suy ra : y = −3; y = x+ 1. Đs : (1; 2); (4; 5).
Câu 48. Giải hệ phương trình {
x2 + 1 + y(x+ y) = 4y (1)
(x+ y − 2)(x2 + 1) = y (2)
Hướng dẫn :Chia (1); (2) cho y, rồi đặt a =
x2 + 1
y
; b = x+ y. Đs : (1; 2); (−2; 5).
Câu 49. Giải hệ phương trình 
1√
x
+
y
x
=
2
√
x
y
+ 2 (1)
y
√
x2 + 1 = 2x+
√
3x2 + 3 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ y = 2x; y = −√x, thay vào (2), xét hàm. Đs : (√3; 2√3).
Câu 50. Giải hệ phương trình {
x(3x− 7y + 1) = −2y(y − 1) (1)√
x+ 2y +
√
4x+ y = 5 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ y = 3x+ 1; y = x = 2y. Đs : (2; 1); (17/25; 76; 25).
Câu 51. Giải hệ phương trình {
x3 − 3x = y3 − 3y2 + 2 (1)√
x− 1 +√y − 2 = 2 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1). Xét hàm, suy ra x = y − 1. Đs : (2; 3).
Câu 52. Giải hệ phương trình {
1 +
√
2x+ y + 1 = 4(2x+ y)2 +
√
6x+ 3y (1)
(x+ 1)
√
2x2 − x+ 4 + 8x2 + 4xy = 4 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (4x+ 2y − 1).f(x) = 0⇔ 4x+ 2y = 1, thay vào (2). Xét hàm, suy ra đồng biến. Đs
: (1/2;−1/2).
Câu 53. Giải hệ phương trình {
2y3 + 2x
√
1− x = 3√1− x− y (1)
2x2 + 2xy
√
1 + x = y + 1 (2)
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1), suy ra y =
√
1− x. Thay vào (2)
(2)⇔ √1− x = 2x2 − 1 + 2x
√
1− x2; đặt x = cos t
Đs : cos(3pi/10);
√
2. sin(3pi/20).
Câu 54. Giải hệ phương trình {
(
√
x+ 1− 1)3y (1)
y + log3 x = 1 (2)
Hướng dẫn :(2)⇔ 3y = 3
x
, thay vào (1) :
√
x+ 1 = 1 +
√
4− x. Đs : (3; 0).
Câu 55. Giải hệ phương trình {
3x+3y−2 + 6.3y
2+4x−2 = 35y−3x + 2.3(y+1)
2
(1)
1 + 2
√
x+ y − 1 = 3 3√3y − 2x (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (34x−2−32y)(27y−x+6.3y2) = 0⇔ y = 2x−1, thay vào (2) : 1+2√3x− 2 = 3. 3√4x− 3,
đặt a =
√
3x− 2; b = 3√4x− 3. Đs : (1; 1); (11/4; 9/2).
Câu 56. Giải hệ phương trình {
2x(x2 + 3)− y(y2 + 3) = 3xy(x− y) (1)
(x2 − 2)2 = 4(2− y) (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ x3+3x = (y−x)3+3(y−x), xét hàm, suy ra y = 2x. Đs : (−1+√3;−2+2√3); (−1−√
3;−2− 2√3).
Câu 57. Giải hệ phương trình {
y3 + 5y − 2xy(y − 1) = 4x2 + 10x (1)
x2 − 6√2x+ 5 + 18 = y (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (2x− y)(2x+ y2 + 5) = 0, suy ra y = 2x, thay vào (2)
x2 + 18 = 2x+ 6
√
2x+ 5⇔ (x− 2)2 + (√2x+ 5− 3)2 = 0
. Đs : (2; 4).
Câu 58. Giải hệ phương trình{ √
5x2 + 2xy + 2y2 +
√
2x2 + 2xy + 5y2 = 3(x+ y) (1)√
2x+ y + 1 + 2 3
√
7x+ 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2)
Hướng dẫn :(Đề THPT Chu Văn An - Lần 2) . Đánh giá (1), suy ra x = y, thay vào (2)⇔ (x2−x).f(x) =
0. Đs : (0; 0); (1; 1).
Câu 59. Giải hệ phương trình {
(x+ y)(x+ 4y2 + y) + 3y4 = 0 (1)√
x+ 2y2 + 1− y2 + y + 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (x+y+y2)(x+y+3y2) = 0. Đs : (−4+√13; 1−
√
13
2
); (−2;−1); (−4−√13; 1 +
√
13
2
).
Câu 60. Giải hệ phương trình { √
x− 1(1− 2y)− y + 2 = 0 (1)
y(y +
√
x− 1) + x− 4 = 0 (2)
Hướng dẫn :Đặt a =
√
x− 1, suy ra hệ theo a; y, suy ra 2(a− y)2 + 3(a− y) = 0.
Đs : (2; 1); (
19− 3√13
8
;
3 +
√
13
4
).
Câu 61. Giải hệ phương trình 
2x+
1
x+ y
= y + 3 (1)
x2 + y2 +
1
(x+ y)2
= xy + 2 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x − y; b = x + 1
x+ y
, suy ra hệ theo a; b, suy ra (a; b) = (1; 2); (2; 1). Đs :
(1; 0); (3/2; 1/2).
Câu 62. Giải hệ phương trình 
x+
3x− y
x2 + y2
= 3 (1)
y − x+ 3y
x2 + y2
= 0 (2)
Hướng dẫn :(1).y + (2).x ⇔ 2xy − 1 = 3y ⇔ x = 3y + 1
2y
, thay vào (2) ⇔ 4y4 − 3y2 − 1 = 0. Đs :
(2; 1); (1;−1).
Câu 63. Giải hệ phương trình{
3x2 − 2x− 5 + 2x√x2 + 1 = 2(y + 1)√y2 + 2y + 2 (1)
x2 + 2y2 = 2x− 4y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1)− (2)⇔ x2 + x√x2 + 1 = (y + 1)2 + (y + 1)√(y + 1)2 + 1, xét hàm, suy ra x = y + 1.
Đs : (−1;−2); (5/3; 2/3).
Câu 64. Giải hệ phương trình { √
x− 1 +√y − 1 = 1 (1)
2x2 − 3xy + y2 = y − 2x (2)
Hướng dẫn :(2)⇔ y2 − (3x+ 1)y + 2x2 + 2x = 0⇔ y = x+ 1; y = 2x. Đs : (1; 2).
Câu 65. Giải hệ phương trình {
y2 − (x2 + 2)y + 2x2 = 0 (1)√
x+ 4 +
√
x− 4− 2√y − 16 = 2x− 12 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ y = 2; y = x2. Đs : (5; 25).
Câu 66. Giải hệ phương trình {
4 + 9.3x
2−2y = (4 + 9x
2−2y).72y−x
2+2 (1)
4x + 4 = 4x+ 4
√
2y − 2x+ 4 (2)
Hướng dẫn :Đặt t = x2 − 2y, (1)⇔ 4 + 3
t+2
7t+2
=
4 + 32t
72t
⇔ t+ 2 = 2t. Đs : 1;−1/2.
Câu 67. Giải hệ phương trình {
4x2 + 4xy + y2 + 2x+ y − 2 = 0 (1)
8
√
1− 2x+ y2 − 9 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1)⇔ (2x+ y − 1)(2x+ y + 2) = 0. Đs : (0; 1); (1/2;−3).
Câu 68. Giải hệ phương trình {
x2 + 1 =
√
y − 1 + 2x (1)
y2 + 1 =
√
x− 1 + 2y (2)
Hướng dẫn :(1)− (2)⇔ x = y. Đs : (1; 1); (2; 2).
Câu 69. Giải hệ phương trình 
x√
x2 − 1 +
y√
y2 + 1
= 2014 (1)
x√
x2 + 1
+
y√
y2 − 1 = 2014 (2)
Hướng dẫn : Lấy(1)− (2)⇔ x = y. Đs : (∞;−1); (1;+∞).
Câu 70. Giải hệ phương trình { √
x2 − 2y + 2 + y = 2x (1)
x3 + 2x2 = (x2 + 3x− y)y (2)
Hướng dẫn : (2)⇔ (x− y)(x2 + 2x− y) = 0. Đs : (1; 1).
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải bất phương trình √
x+ 2 + x2 − x− 2 6 √3x− 2 (1).
Hướng dẫn : Liên hợp hai căn, suy ra (x− 2).f(x) 6 0. Chứng minh f(x) > 0. Đs : 2/3 6 x 6 2.
Câu 2. Giải bất phương trình
x3 + (3x2 − 4x− 4)√x+ 1 6 0 (1).
Hướng dẫn : Đặt y =
√
x+ 1, chia hai vế cho y3, suy ra x 6 y. Đs : −1 6 x 6 (1 +√5)/2.
Câu 3. Giải bất phương trình √
x+
3 + x
3− x < 1 (1).
Hướng dẫn : Câu này cho điểm nhé !. Đs : (3; 9).
Câu 4. Giải bất phương trình
2
√
1− 2
x
+
√
2x− 8
x
> x (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ 4√x− 2 + 2√x > √2x2 + 4x⇔ (√x2 − 2x− 2)2 6 0. Đs : [−2; 0); 1 +√5.
Câu 5. Giải bất phương trình
1
2
log2(2 + x) + log1/2(4− 4
√
18− x) 6 0 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ √2 + x 6 4− 4√18− x, đặt t = 4√18− x, suy ra 2 6 t 6 4 . Đs : −2 < x 6 2.
Câu 6. Giải bất phương trình
3
(
2x2 − x
√
x2 + 3
)
< 2(1− x4) (1).
Hướng dẫn : Đặt t = x
√
x2 + 3. Đs : −
√
−3 +√10
2
< x < 1.
Câu 7. Giải bất phương trình √
2x− 3 + 2√x+ 2 > 3 4
√
2x2 + x− 6 (1).
Hướng dẫn : Chia hai vế cho
√
x+ 2. Đs :
3
2
6 x 6 5.
Câu 8. Giải bất phương trình
6x2
(
√
2x+ 1 + 1)2
> 2x+
√
x− 1 + 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ x − 3√2x+ 1 + 4 > √x− 1 ⇔
(√
2x+ 1− 3
2
)2
>
(√
x− 1 + 1
2
)2
. Đs : x >
10 + 4
√
5.
Câu 9. Giải bất phương trình
2x
√
x+
5− 4x√
x
>
√
x+
10
x
− 2 (1).
Hướng dẫn :Đặt t =
√
x2 − 2x+ 10 . Đs : x > 0.
Câu 10. Giải bất phương trình
2
√
x2 + x+ 1
x+ 4
+ x2 − 4 6 2√
x2 + 1
(1).
Hướng dẫn :(1)⇔ 2
(√
x2 + x+ 1
x+ 4
− 1
)
+ x2 − 3 6 2−
√
x2 + 1√
x2 + 1
⇔ . . .⇔ (x2 − 3).f(x) 6 0 .
Đs : −√3 6 x 6 √3.
Câu 11. Giải bất phương trình
1−√1− 4x2
x
< 3 (1).
Hướng dẫn :Liên hợp ! . Đs : [−1/2; 0); (0; 1/2].
Câu 12. Giải bất phương trình
3− 2√x2 + 3x+ 2
1− 2√x2 − x+ 1 > 1 (1).
Hướng dẫn : 1− 2√x2 − x+ 1 
√
13− 1
6
.
Câu 13. Giải bất phương trình
4(x+ 1)2 < (2x+ 10)(1−√3 + 2x)2 (1).
Hướng dẫn : Liên hợp vế phải, (1)⇔ 4(x+ 1)2 < (2x+ 10)4(x+ 1)
2
(1 +
√
3 + 2x)2
⇔ (1 +√3 + 2x)2 < 2x+ 10 .
Đs : [−3/2; 1); (1; 3).
Câu 14. Giải bất phương trình √
x+ 1 +
√
5− x > 2− x (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé. Đs : [2− 2√2; 5].
Câu 15. Giải bất phương trình
(
√
x+ 3 +
√
x+ 1)(
√
x2 + 4x+ 3− 1) > 2 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ (√x+ 1− 1)(√x+ 3 + 1) > 0. Đs : x > 0.
Câu 16. Giải bất phương trình
4
√
x+ 1 + 2
√
2x+ 3 6 (x− 1)(x2 − 2) (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ 4(√x+ 1−2)+2(√2x+ 3−3) 6 x3−x2−2x−12⇔ (x−3).f(x). Đs : x = −1;x > 3.
Câu 17. Giải bất phương trình
√
x2 − 3x+ 2−
√
2x2 − 3x+ 1 > x− 1 (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : (−∞; 1/2); 1.
C. PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình √
x− 2 +√4− x = 2x2 − 5x− 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (√x− 2 − 1) + (√4− x − 1) = 2x2 − 5x − 3 ⇔ (x − 3).f(x) = 0, chứng minh
f(x) = 0 vô nghiệm . Đs : x = 3.
Câu 2. Giải phương trình √
−12 + 8x− x2 + 1 = 2√
x− 2 +√6− x.
Hướng dẫn : Đặt t =
√
x− 2 +√6− x. Đs : (2; 6).
Câu 3. Giải phương trình
log3(x
2 + x+ 1)− log3 x = 2x− x2.
Hướng dẫn : (1)⇔ log3(x2 + x+ 1) + (x2 + x+ 1) = log3(3x) + 3x. Đs : x = 1.
Câu 3. Giải phương trình √
2x2 + 3x+ 1 = −4x+ 1
x
+ 3 (1).
Hướng dẫn : Chia (1) cho x, đặt t =
√
2 +
3
x
+
1
x2
. Đs :
3 +
√
37
14
;
3−√37
14
.
Câu 4. Giải phương trình
2
√
x2 − 7x+ 10 = x+
√
x2 − 12x+ 20 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ 2(√x2 − 7x+ 10− (x+ 1)) = √x2 − 12x+ 20− (x+ 2). Đs : x = 1;x = 15 + 5
√
5
2
.
Câu 5. Giải phương trình √
x3 + 1
x+ 3
+
√
x+ 1 =
√
x2 − x+ 1 +√x+ 3 (1).
Hướng dẫn : Bình phương !. Đs : V n.
Câu 6. Giải phương trình √
x+ 1 +
√
x2 + 2x =
27
√
2
8
x2
√
x (1).
Hướng dẫn : Nhân hai vế (1) cho
√
2, suy ra 1 +
√
x+ 2
x
=
27
4
x2. Xét tính đơn điệu hàm số, suy ra
nghiệm duy nhất . Đs : 2/3.
Câu 7. Giải phương trình
3
√
3x− 5 = 8x3 − 36x2 + 53x− 25 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ 3√3x− 5 = (2x− 3)3 − x+ 2, đặt 2y− 3 = 3√3x− 5⇒ (2y− 3)3 = 3x− 5. Có được
hệ theo x, y, suy ra x = y . Đs : 2;
5 +
√
3
4
;
5−√3
4
.
Câu 8. Giải phương trình √
2x+ 4− 2√2− x = 6x− 4√
x2 + 4
(1).
Hướng dẫn : Đoán nghiệm - liên hợp ! . Đs : 2; 2/3.
Câu 9. Giải phương trình
4(2x2 + 1) + 3(x2 − 2x)√2x− 1 = 2(x3 + 5x) (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ (x− 2)(3x√2x− 1− 2(x2 − 2x+ 1)) = (x− 2) [2(2x− 1) + 3x√2x− 1− 2x2] = 0
. Đs : 2; 4 + 2
√
3; 4− 2√3.
Câu 10. Giải phương trình
√
3x2 − 7x+ 3−
√
x2 − 2 =
√
3x2 − 5x− 1−
√
x2 − 3x+ 4 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ (√3x2 − 7x+ 3−√3x2 − 5x− 1) + (√x2 − 3x+ 4−√x2 − 2) = 0 . Đs : x = 2.
Câu 11. Giải phương trình √
x− 1
x
+
√
x2 − x = 2 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔
(√
x− 1
x
− 1
)
+(
√
x2 − x−1) = 0, liên hợp, suy ra x2−x−1 = 0 . Đs : (1±√5)/2.
Câu 12. Giải phương trình
1
3
log 3√3(x+ 1) +
1
503
log81(x− 3)2012 = 5 log243(4x− 8) (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : 5;−1 + 2√3.
Câu 13. Giải phương trình √
4 + 8x+
√
12− 8x = (1− 2x)2 (1).
Hướng dẫn : Đặt t = 1 − 2x ⇒ t2 6 4, (1) ⇔ 2(√2− t +√2 + t) = t2 6 4, mà (√2− t +√2 + t)2 =
4 + 2
√
4− t2 > 4, suy ra t = ±2 . Đs : −1/2; 3/2.
Câu 14. Giải phương trình √
4x2 + x+ 6 = 4x− 2 + 7√x+ 1 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔
√(
2x− 1√
x+ 1
)2
+ 5 = 2.
2x− 1√
x+ 1
+ 7. Đs :
2−√7
2
.
Câu 15. Giải phương trình
log4
(
x+
3
x
)
+ 1 = log8(x
2 + 7)3 + log1/2(x+ 1) (1).
Hướng dẫn : (1)⇔
√
x+
3
x
=
x2 + 7
2(x+ 1)
⇔ . . .⇔ (x2 − 4x+ 3).f(x) = 0. Đs : 3; 1.
Câu 16. Giải phương trình
5
[
x
√
x2 + 6 + (x+ 1)
√
x2 + 2x+ 7
]
= 13(2x+ 1) (1).
Hướng dẫn : Đặt a =
√
x2 + 6; b =
√
x2 + 2x+ 7⇒ 2x+ 1 = b2 − a2;x = b
2 − a2 − 1
2
. Thay vào (1):
(a− b) (5(a+ b)2 − 26(a+ b) + 5) = 0
Đs : x = −1/2.
Câu 17. Giải phương trình
x(4x2 + 1) + (x− 3)√5− 2x = 0 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ 2x(4x2 + 1) = [(5 − 2x) + 1]√5− 2x, xét hàm, suy ra 2x = √5− 2x . Đs :
x =
−1 +√21
4
.
Câu 18. Giải phương trình
2x(x− 2) = 3
√
x3 + 1 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ −2(x+1)+2(x2−x+1) = 3√(x+ 1)(x2 − x+ 1), đặt a = √x2 − x+ 1; b = √x+ 1
. Đs : x =
5 +
√
37
2
;
5−√37
2
.
Câu 19. Giải phương trình
3x2 − 5 3
√
x3 + 1 + 8x+ 5 = 0 (1).
Hướng dẫn : (1)⇔ (x+ 1)3 + 5(x+ 1) = x3 + 1 + 5 3√x3 + 1, đặt a = x+ 1; b = 3√x3 + 1 . Đs : 0;−1.
Câu 20. Giải phương trình
√
2x+ 1 + 4
√
2x− 1 = √x− 1 +
√
x2 − 2x+ 3 (1).
Hướng dẫn : Đặt a = 4
√
2x− 1, (1) ⇔ a + √a4 + 2 = √x− 1 +
√
(
√
x− 1)4 + 2, xét hàm, suy ra
4
√
2x− 1 = √x− 1. Đs : 2 +√2.
(Còn Nữa !)