Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Năm học 2015-2016

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 12/10/2015
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm giá trị của x để A = . 
Bài 2: (4,5 điểm) 
Tính 
 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:.
 c) Giải phương trình: .
Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 không thể là số chính phương.
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 b) tanB.tanC = . 
 c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
 d) .
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Số báo danh:................. 
Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
 Hướng dẫn chấm này có 03 trang
Yêu cầu chung: 
Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
Yêu cầu cụ thể: 
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a(2,0đ) 
Vậy .
0,25
0,5
1,0
0,25
b(2,0đ) Ta có: 
Vậy x = thì A = 
0,75
1,0
0,25
2
 a(1,5đ) Ta có 
1,0
0,5
b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 Þ x2 – x = 1 Þ (x2 – x)3 = 1 
Þ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1.
Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 Þ x2 = x + 1 
Þ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
.
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 Û 
 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được: 
Đặt , được phương trình: (t/m) 
 Khi đó: Û x4 – 36x2 + 324 = 0 Û x2 = 18. 
Suy ra : (t/m) hoặc (loại) 
 + Nếu x < –3: Khi đó: : PT vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: . 
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
3
a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6).
Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.
Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.
Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.
1,0
0,5
0,25
0,25
b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 
= n4(n2-1) + 2n2(n+1) 
= n2(n+1)(n3-n2 +2) 
= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] 
= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] 
Ta có: (n-1)2 1)
 (n-1)2 +1 không thể là số chính phương
 Vậy A không thể là số chính phương
0,5
0,5
0,5
0,5
4
A
B
C
H
D
E
F
a(2,0đ) 
* Ta có: SABC = .BC.AD.
DABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = BC.AB.sinB.
DABE vuông ở E có AE = AB.cosA 
 DBFC vuông ở F có BF = BC.cosB 
 DACD vuông ở D có CD = AC.cosC 
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
b(1,5đ) Xét DABD có tanB = ; DACD có tanC = 
suy ra tanB.tanC = (1)
Do (cùng phụ với ) nên DBDH ~ DADC (g.g) Þ BD.DC = DH.DA 
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) Chứng minh được DAEF ~ DABC (g.g) .
 Tương tự được nên mà BE ^ AC = 900. Từ đó suy ra Þ EH là phân trong của DDEF. 
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DDEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DDEF.
0,5
0,5
0,5
d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
Dễ thấy DCHE ~ DCAF(g.g) 
Tương tự có ; . 
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Đặt Þ và .
Ta có: Þ
	.
Do đó: .
Tương tự: .
	.
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Người làm đáp án: Người thẩm định:
................................................... ........................................
................................................... Người duyệt: