Đề tài Ứng dụng các đạo hàm để giải toán trung học phổ thông

֠
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH 
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG YÊN PHONG SỐ 2 
-------------------------- 
NGUYỄN VĂN XÁ 
ðỀ TÀI 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM 
ðỂ GIẢI TỐN 
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 
(BỘ MƠN TỐN) 
Năm học 2011 – 2012 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH 
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG YÊN PHONG SỐ 2 
-------------------------- 
NGUYỄN VĂN XÁ 
ðỀ TÀI 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM 
ðỂ GIẢI TỐN 
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 
(BỘ MƠN TỐN) 
Năm học 2011 – 2012 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC 2 
PHẦN MỘT – MỞ ðẦU 3 
PHẦN HAI – NỘI DUNG 4 
CHƯƠNG MỘT – CỞ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI 4 
CHƯƠNG HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 6 
2.1. Ứng dụng đạo hàm để tính tổng và tìm hệ số của đa 
thức ......... ............................................................................... 6 
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn ................................ 8 
2.3. Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của 
đồ thị hàm số .......................................................................... 10 
2.4. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số ...... 12 
2.5. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số .............. 14 
2.6. Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức và 
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ..................... 17 
2.7. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ........................... 19 
2.8. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương 
trình, hệ phương trình ............................................................. 19 
N BA – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 
PHẦN MỘT ------------------------------------------------------------------------------ 
MỞ ðẦU 
1. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI 
 ðạo hàm là một nội dung quan trọng của tốn học bậc THPT. Nĩ vừa là 
đối tượng, nhưng hơn thế nĩ là cơng cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề 
phức tạp của tốn THPT. 
 Vận dụng đạo hàm để giải tốn THPT là một nội dung trọng tâm của 
chương trình ơn thi Tốt nghiệp THPT, luyện thi ðại học, và bồi dưỡng học sinh 
giỏi. 
 Qua việc thực hiện đề tài này, tác giả mong muốn làm rõ các khía cạnh cĩ 
thể khai thác đạo hàm để giải các bài tốn thường gặp trong chương trình, qua 
đĩ xây dựng cho học sinh những phương pháp chủ đạo và hình thành những kĩ 
năng cơ bản trong việc giải quyết các bài tốn này, phục vụ tốt cho việc dạy và 
học mơn tốn THPT. 
2. MỤC ðÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 
 Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ mối liên hệ giữa đạo hàm với 
một số dạng tốn cơ bản trong chương trình THPT, từ đĩ một cách tự nhiên 
hình thành cho học sinh phương pháp giải các dạng tốn đĩ, cũng làm tiền đề 
để các em cĩ thể tự đọc các tài liệu liên quan tới vấn đề này. 
3. ðỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Các bài tốn ở bậc THPT thường gặp trong kì thi Tốt nghiệp THPT, thi 
tuyển sinh ðại học, thi Học sinh giỏi. 
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
 Phân tích, tổng hợp từ các tài liệu liên quan, hướng dẫn học sinh chia nhĩm 
nghiên cứu theo từng chủ đề cụ thể, từ đĩ đúc rút ra các nhận xét cơ bản và xúc 
tích, trình bày các nhận xét theo một hệ thống logic. 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 
PHẦN HAI -------------------------------------------------------------------------------- 
NỘI DUNG 
------------------------------------------------------------------------- CHƯƠNG MỘT 
CƠ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI 
1.1. ðịnh nghĩa đạo hàm 

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và điểm 0x D.∈ Giả sử tồn tại 
khoảng (a; b) sao cho 0x (a;b) D.∈ ⊂ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 
0
0
x x 0
f (x) f (x )lim A
x x→
−
=
−
 thì số A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 
và kí hiệu là 0f '(x ) hoặc 0y '(x ), khi đĩ 
0
0
0
x x 0
f (x) f (x )f '(x ) lim .
x x→
−
=
−
 ðạo hàm 
của hàm số tại điểm x0 (nếu cĩ) là một hằng số. Hàm số cĩ đạo hàm tại x0 thì 
liên tục tại x0. 

 Khi giải tốn cần lưu ý 
0 0 0
0 0 0
0
x x x x x x0 0 0
f(x) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x )f '(x ) A lim A lim lim A.
x x x x x x+ −→ → →
− − −
= ⇔ = ⇔ = =
− − −

 Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng K thì ta nĩi f(x) 
cĩ đạo hàm trên K và hàm số f '(x), x K,∈ được gọi là (hàm) đạo hàm của f(x) 
trên K. ðạo hàm của hàm số (nếu cĩ) trên một khảng (cĩ thể mở rộng trên một 
tập) là một hàm số. 

 ðạo hàm cấp cao (k) (k 1)f (x) (f (x)) '.−= 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
5 
5 
VD. Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm trên ℝ và thoả mãn 
( ) ( ) ( )f 2x 4 cosx .f x – 2x= với mọi x. Tính f '(0) bằng định nghĩa. 
1.2. Các tính chất của đạo hàm (những cơng thức này được giả sử là hai 
vế đều cĩ nghĩa) 
n n 1 n
n n 1
11) (c) ' 0; (x) ' 1; (x ) ' n.x ; ( x ) .
n. x
−
−
= = = = 
2
2
2
2
12) (sin x) ' cos x; (cos x) ' sin x; (tan x)' 1 tan x ; 
cos x
1(cot x) ' 1 cot x .
sin x
= = − = + =
= − − = −
x x
a
13) (a ) ' a .ln a; (log | x |) ' .
x.ln a
= = 
2
u u 'v uv'4) (u v w)' u ' v' w '; (k.u) ' k.u '; (uv)' u 'v uv'; ( ) ' ; 
v v
(u(v(x))) ' u '(v).v'(x).
−
+ − = + − = = + =
=
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 6 
--------------------------------------------------------------------------- CHƯƠNG HAI 
GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 
2.1. Ứng dụng đạo hàm để tính tổng và tìm hệ số của đa thức 

 Nhờ đạo hàm ta cĩ thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh đẳng thức) 
mà các số hạng thường cĩ dạng (k+1)xkak. 

 ðối với đa thức n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + ta dễ thấy 
(k)
k
f (0)
a ,
k!
= trong đĩ 
qui ước đạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và 
n
0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1), a a a a ... ( 1) a f ( 1).+ + + = − + − + + − = − 
VD1. Cho đa thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 . 
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong đa thức. 2. Tính tổng tất cả các hệ 
số bậc lẻ trong đa thức. 
3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hay bằng 2 trong đa thức. 
HD. 1. Ta cĩ 
12 2010 11 11 2011 10f '(x) 2011(1 x x ) .(1 12x ) 2012(1 x x ) .( 1 11x ).= + − − + − + − + 
ðể cho tiện ta kí hiệu n0 1 nf (x) a a x ... a x= + + + (với n = 12×2011 = 24132). Hệ 
số của số hạng chứa x trong đa thức f(x) là 1 f '(0)a 2011 2012 1.1!= = − = − 
2. Do n0 1 n 0 1 2 3 na a ... a f (1) 2, a a a a ... ( 1) a f ( 1) 0+ + + = = − + − + + − = − = nên 
tổng các hệ số bậc lẻ của f(x) là 1 3 24131 f (1) f ( 1)a a ... a 1.2
− −
+ + + = = 
3. Ta cĩ a0 = f(0) = 2, vậy 
2 3 n 0 1 n 0 1a a ... a (a a ... a ) a a 2 2 ( 1) 1.+ + + = + + + − − = − − − = 
VD2. Chứng minh 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
HD. Ta cĩ 
n n n
n k k n 1 k k 1 n 1 k k
n n n
k 0 k 1 k 1
(1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx− − −
= = =
+ = ⇒ + = ⇒ + =∑ ∑ ∑ 
n
n 1 n 2 k 2 k 1
n
k 1
n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x ,− − −
=
⇒ + + − + = ∑ thay x = 1 vào đẳng thức cuối 
cùng này sẽ thu được 1 2 2 2 n n 2n n nC 2 C ... n C n(n 1)2 , n ,n 2.−+ + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
7 
7 
Nhận xét. Ta cũng cĩ 
2 0 2 1 2 n 2 2 n 1 n 2
n n n nn C (n 1) C ... 2 C 1 C n(n 1)2 , n ,n 2.− − −+ − + + + = + ∀ ∈ ≥ℕ 
Bài tập. 
1. Khai triển f(x) = (1 – x + x2)2011 + (1 + x3)2012 thành dạng 
6030
0 1 6030f (x) a a x ... a x .= + + + Tính tổng 
A = 1 2 3 6029 6030a 2a 3a ... 6029a 6030a .− + + + − 
2. Giả sử n n0 1 n(1 x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên 
dương k (1 k n)≤ ≤ sao cho k 1 k k 1a a a .
2 9 24
− +
= = 
Tính tổng 2 3 4 n2.1.a 3.2.a 4.3.a ... n.(n 1).a .+ + + + − 
3. a) Chứng minh rằng 1 2 3 nn n n nC 2C 3C ... nC (n!.n), n ,n 2.+ + + + ℕ 
b) Chứng minh rằng 0 1 n 2 n 2 n 1 n 1n n n nnC (n 1)C ... ( 1) C ( 1) C 0, *.− − − −− − + + − + − = ∀∈ℕ 
4. Cho 3 5 2n 10 1 2 ny a x a x a x ... a x ...+= + + + + + thoả mãn 2(1 x )y' xy 1, x ( 1;1).− − = ∀ ∈ − 
Tìm các hệ số 0 1 na ,a ,..., a . 
5. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn đẳng thức 3 3n nA C 35(n 1)(n 2).+ = − − 
Tính các tổng sau đây 
1 2 n 2 2 2 3 n 2 n 2 n 1
1 n n n 2 n n n 3
0 1 n
4 5 6 n n n
S C 2C ... nC ; S 2 C 3 C ... ( 1) n C ; S 1 2x 3x ... nx ;
S sinx sin2x ... sinnx; S cosx 2cos2x ... ncosnx; S C 2C ... (n 1)C .
−
= + + + = − + + − = + + + +
= + + + = + + + = + + + +
6. Chứng minh rằng n 0 n 1 1 n 1 n 1n n nn2 C (n 1)2 C ... 2C 2n.3 , n *.− − −+ − + + = ∀ ∈ℕ 
7. Tìm n biết 
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2.C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1)2 C 2005 (n *).++ + + + +− + − + + + = ∈ℕ 
8. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.+ = + + + ∈ℕ Biết rằng 
1 2 n
0 2 n
a a a
a ... 4096.
2 2 2
+ + + = Gọi ka là số lớn nhất trong các số 
0 1 n k ia , a , ..., a , (a max{a ,i 0,n}).= = 
Tính tổng 0 1 2 3 k 1 k 1 nS a a 2a 3a ... (k 1)a (k 1)a ... na− += + + + + + − + + + + 
(Tức là 
n
0 i k
i 1
S a ( i.a ) ka ).
=
= + −∑ 
9. Cho khai triển n n0 1 n(1 2x) a a x ... a x , n *.− = + + + ∈ℕ Biết rằng 
0 1 2a a a 71.+ + = 
Tính tổng 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 nS 1 a 2 a 3 a 4 a (5 1)a 6 a ... n a .= + + + + − + + + 
10. Cho 0 1 2n n nC C C 211.+ + = Tính tổng 
2 0 2 1 2 2 2 n
n n n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
1 C 2 C 3 C (n 1) CS ... .
A A A A +
+
= + + + + 
11. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 
200
1 2 2 3 n 1 n
n n n n
2 1C 3C 3 C ... 3 C .
3
−
−
+ + + + = 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
8 
8 
12. Chứng minh rằng 
0 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1100.C .( ) 101.C .( ) ... 199.C .( ) 200.C .( ) 0.
2 2 2 2
− + − + = 
13. Cho 2 2 2 2
2 3 4 n
1 1 1 1 2011
... , n , n 2.
2012A A A A
+ + + + = ∈ ≥ℕ Tính tổng tất cả các hệ số 
bậc lớn hơn 2 của đa thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n. 
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 

 Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và các tính chất của 
đạo hàm ta cĩ thể tính được một số gới hạn ở dạng vơ định. 

 ðể tính giới hạn 0
0
 cĩ dạng 
0x x
f (x)lim , f (0) 0,
x→
= ta vận dụng trực tiếp định 
nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, thu được 
0x x
f (x)lim f '(0).
x→
= 

 Nếu các hàm f(x) và g(x) cĩ đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 và f(x0) = 
g(x0) = 0, 0g '(x ) 0≠ thì 0
0 0
0
00
x x 00 0
x x x x 0 0 0
x x0 0
f(x) f(x )f(x) f(x ) lim
x xx x f '(x )f(x)lim lim ,g(x) g(x ) g(x) g(x )g(x) g'(x )lim
x x x x
→
→ →
→
−−
−−
= = =
− −
− −
(dạng vơ định 0).
0
 Các dạng vơ định 0, 0. , - , 1 , 0 ...∞∞ ∞ ∞ ∞
∞
 ta biến đổi về dạng 
0
0
 để áp dụng tính chất trên. 
VD3. Tính giới hạn 
132 3
32 3 x
x 1 x x 0
1 x x 1 x x1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim(1 sin x) .
tan(x 1)→ →−∞ →
− + − − +
= + + + = +
−
HD. 1) Xét 32 3f (x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1)= − + − − + = − trên một lân cận của 
điểm x0 = 1. Nhận thấy 
2
2
2 3 23
2x 1 3x 1f '(x) , g '(x) 1 tan (x 1),
2 1 x x 3 (1 x x )
− −
= − = + −
− + − +
 f(1) = g(1) = 0, 
1f '(1) , 
6
= − g '(1) 1 0,= ≠ nên 
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
f (x) f (x) 0 f (x) f (1) f (x) f (1)limf (x) f '(1) 1x 1 x 1 x 1 x 1A lim lim lim lim .g(x) g(x) 0 g(x) g(1) g(x) g(1)g(x) g '(1) 6lim
x 1 x 1 x 1 x 1
→
→ → → →
→
− − −
− − − −
= = = = = = = −
− − −
− − − −
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
9 
9 
32 3 2 33
x x
1 12)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ).
x x→−∞ →−∞
+ + + = − + + + ðặt 1t
x
= thì 
t 0→ khi x .→ −∞ Ta cĩ 
3 3 2
t 0
1 t 1 tB= lim .
t→
+ − +
 Xét 3 3 2f (t) 1 t 1 t , = + − + cĩ 
2
3 2 23
t tf '(t) ,
(1 t ) 1 t
= −
+ +
 f(0) = 0, f '(0) 0,= nên 
3 3 2
t 0 t 0 t 0 t 0
1 t 1 t f (t) f (t) 0 f (t) f (0)B= lim lim lim lim f '(0) 0.
t t t 0 t 0→ → → →
+ − + − −
= = = = =
− −
3) Ta luơn cĩ thể chọn được một lân cận của điểm x0 = 0 sao cho trên lân cận 
đĩ 1 + sinx > 0. ðặt 
1
x
ln(1 sin x)M (1 sin x) , N ln(M) .
x
+
= + = = Xét hàm 
f (x) ln(1 sin x),= + cĩ cos xf '(x) ,
1 sin x
=
+
f(0) = 0, f '(0) 1.= Như vậy 
x 0 x 0 x 0 x 0
ln(1 sin x) f (x) f (x) f (0)lim N lim lim lim f '(0) 1.
x x x 0→ → → →
+ −
= = = = =
−
 Suy ra 
x 0
1 lim NN 1x
x 0 x 0 x 0
C lim(1 sin x) lim M lim e e e e.→
→ → →
= + = = = = = Vậy 
1
x
x 0
C lim(1 sin x) e.
→
= + = 
Bài tập. 
14. Tính các giới hạn sau đây 
x
x x x x
2
0 0 0 1
e + sin2x cos3x 1 1 2x 3x 4 x 2 x 3 2x1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
ln 1 + 4x tan5x 1 cosx sin(1 x)1 2x 1→ → → →
− − + + − − + −
− − −
− +
x
x x
x
x x x
x
n m
1 0
3
1
tan xx a
20 a 0
2
x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin 3x5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; 
x 1 x 1 2cos x
cos( cos x)ln(cos x) sin x 28) lim ;9) lim ( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sin x) ; 
sin a sin(tan x)x
→ → →
−
→ → → →
− + + −
≠ ∈
− −
≠
ℕ
pi
pi
pi
pi
x x
2 9
x
0
1 1 (x +2005) 1 5x - 200512) lim (cos sin ) ;13) lim ; 
x x x→±∞ →
−
+
x
3
23 30 x 1
2 sin 2x sin x
3 3x x 0 x 0
n n
m mx a
1 1 x x 214) lim ; 15) lim ;
sin(x 1)3x(1 1 4x ) 2x( (1 6x) 1 6x 1)
x x 2x e e x sin 2011x16) lim ;17) lim ; 18) lim ; 
sin x x sin 2012xx x 3x
x a19) lim (a ;m, n *).
x a
→ →−
→+∞ → →
→
  + + 
−
  ++ + + + + + 
− + − −
+
− +
−
∈ ∈
−
ℝ ℕ
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
10 
10 
2.3. Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) (C) cĩ đạo hàm tại x = x0 thì tiếp tuyến của (C) tại điểm 
M(x0; f(x0)) cĩ phương trình là 0 0 0 0y f '(x )(x x ) f (x ); f '(x )= − + là hệ số gĩc 
của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0; f(x0)). 

 Nếu tiếp tuyến của (C) y = f(x) cĩ hệ số gĩc k thì hồnh độ tiếp điểm thoả 
mãn PT k f '(x).= 

 ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ 
phương trình sau cĩ nghiệm ax b f (x) ,
a f '(x)
+ =

=
 và nghiệm x0 của hệ này chính là 
hồnh độ tiếp điểm. 
VD4. Tìm a, b để hàm số 
2
3 2
x ax b khi x 2
y
x x 8x 10 khi x 2
 + + ≤
= 
− − + >
 cĩ đạo hàm tại điểm 
x0 = 2 và khi đĩ hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cĩ 
hồnh độ x0 = 2. 
HD. ðể hàm số cĩ đạo hàm tại điểm x0 = 2 thì trước hết nĩ phải liên tục tại 
điểm này. Ta phải cĩ 
3 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b)
4 2a b 2 b 2a 6.
+ − + −→ → → →
= = ⇔ = − − + = + +
⇔ + + = − ⇔ = − −
Lúc này ta viết lại 
2
3 2
x ax 2a 6 khi x 2
y .
x x 8x 10 khi x 2
 + − − ≤
=
− − + >
 Hàm số này cĩ đạo hàm tại điểm 
x0 = 2 thì 
3 2
x 2 x 2 x 2
y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2)lim lim lim
x 2 x 2 x 2+ − +→ → →
− − − − + − −
= ⇔ =
− − −
2
x 2
(x ax 2a 6) ( 2)lim 0 a 4
x 2−→
+ − − − −
= ⇔ = +
−
 a 4 b 2.⇔ = − ⇒ = Vậy với a = –4, b = 2 thì 
hàm số đã cho cĩ đạo hàm tại điểm x0 = 2 và y '(2) 0.= Khi đĩ tiếp tuyến cần 
tìm là y 0.(x 2) ( 2) y 2.= − + − ⇔ = − 
VD5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến đi qua 
tâm đường trịn nội tiếp tam giác cĩ ba đỉnh là ba điểm cực trị của (C). 
HD. Dễ thấy (C) cĩ ba điểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm 
đường trịn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các đường thẳng 
OA, OB, AB lần lượt cĩ phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + 1 = 0. Cĩ d(I, 
OA) = d(I, OB) = d(I, AB) m m 1 m 2 2 (do 1 m 0).
2
⇔ = + ⇔ = − − < < Vậy 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
11 
11 
I(0;2 2).− ðường thẳng đi qua I cĩ hệ số gĩc a cĩ phương trình 
y ax 2 2= + − (d) (tiếp tuyến của đồ thị hàm số là đường thẳng cĩ hệ số gĩc). 
ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ phương trình 
4 2
3
x 2x ax 2 2 (1)
4x 4x a (2)

− = + −

− =
 cĩ nghiệm. Thế (2) vào (1) ta được 
4 23x 6x 2 2 0− + − = 
3 3 2
x .
3
±
⇔ = ± Tương ứng ta tìm được 4 giá trị của a là 
4 3 3 2 3 3 3 2
a .
3 3
+ ± +
= ± Do đĩ 
tìm được 4 tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu bài tốn 
4 3 3 2 3 3 3 2y .x 2 2.
3 3
+ ± +
= ± + − 
Bài tập. 
15. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 
2
x 2x + 4
x 2
−
−
 biết tiếp 
tuyến vuơng gĩc với đường thẳng x – 3y + 2 = 0. 
16. Cho x 2y (C).
2x 3
+
=
+
 a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ 
độ một tam giác cân. 
b) Viết PTTT của (C) tại các điểm cĩ toạ độ nguyên của (C). 
c) Chứng minh rằng khơng cĩ tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm 3I( ; 2).
2
− − 
17. Tìm m biết rằng tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất của đồ thị (C): y = x3 – 
3mx2 + 4m3 là một đường thẳng tạo với hai trục toạ độ tam giác cĩ diện tích 
bằng 25 .
6
18. Viết PTTT của đồ thị (C): 3 21y x x
3
= − 
a) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0). 
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 
19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp 
tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(–1;1). 
20. Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng y = x + m với đồ thị 
x 1y (C)
2x 1
− +
=
−
 và k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm 
m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. 
21. a) Tìm trên trục Oy những điểm mà từ đĩ kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị 
hàm số y = x4 sao cho 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau. 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
12 
12 
b) Tìm trên đường thẳng y = 6 những điểm cĩ thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ 
thị hàm số 3 2y 2x 9x 12x 1= − + + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc 
với nhau. 
22. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 
tiếp xúc với trục Ox. 
23. Viết PTTT của đồ thị 3 x 1(C) : y
x 1
−
=
+
 tại giao điểm của đồ thị này với trục 
tung. 
24. a) Viết PTTT của xy (C)
x 1
=
−
 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) tới 
tiếp tuyến là lớn nhất. 
b) Viết PTTT của 4x 3y (C)
x 1
−
=
−
 biết tiếp tuyến hợp với trục hồnh gĩc 450. 
c) Chứng minh đồ thị 
2
2
x 3x 1y (C)
x 1
− +
=
+
 cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B. 
Tính cosin của gĩc tạo bởi hai tiếp tuyến của (C) tại A và tại B. 
d) Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên đồ thị 3y x 3x 2(T).= − + Các tiếp 
tuyến của (T) tại A, B, 
C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C. Chứng minh 
A’, B’, C’ thẳng hàng . 
25. Tìm a, b để hàm số 
3
2
x khi x 1
f (x)
ax b khi x 1
 ≤
= 
+ >
 cĩ đạo hàm tại x0 = 1, khi đĩ 
hãy viết PTTT của đồ thị hàm số tại điểm cĩ hồnh độ x0 = 1. 
2.4. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và đồng biến (hoặc nghịch 
biến) trên khoảng (a; b) thì hàm số này đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên 
đoạn [a; b]. 

 Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) 0= cĩ 
hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) đồng biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≥ ∀ ∈ 
 + f(x) nghịch biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≤ ∀ ∈ 
Lưu ý: nếu thay khoảng K bởi một nửa khoảng hoặc một đoạn thì kết luận trên 
vẫn đúng, nhưng nếu thay K bởi một tập bất kì thì kết luận đĩ khơng đúng nữa. 
VD6. Tìm m để hàm số 3 2 31y x mx x 2m
3
= − + − 
a. ðồng biến trên .ℝ 
b. ðồng biến trên khoảng (0; ).+∞ 
c. Khoảng nghịch biến của hàm số cĩ độ dài lớn hơn 2 3. 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
13 
13 
HD. a) Hàm số đồng biến trên 
2 2y ' x 2mx 1 0 ( x ) ' m 1 0 1 m 1.⇔ = − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ = − ≤ ⇔ − ≤ ≤ℝ ℝ 
b) Hàm số đồng biến trên khoảng 
2
2 x 1(0; ) y ' x 2mx 1 0 ( x 0) m ( x 0).
2x
+
+∞ ⇔ = − + ≥ ∀ > ⇔ ≤ ∀ > Xét hàm số 
2x 1f (x)
2x
+
= với x > 0, cĩ 
2
2
2x 2f '(x) , f '(x) 0 x 1,
4x
−
= = ⇔ = ± với x > 0 thì 
f '(x) 0 x 1.= ⇔ = Trên khoảng (0; )+∞ dấu của f '(x) phụ thuộc vào dấu của tam 
thức 2x2 – 2. Từ đĩ ta cĩ bảng biến thiên của hàm f(x) như sau 
x 0 1 +∞ 
f '(x) 
 – 0 + 
f(x) 
+∞ +∞ 
 1 
Từ bảng biến thiên suy ra 
2x 1
m ( x 0) m 1.
2x
+≤ ∀ > ⇔ ≤ Vậy hàm số đã cho đồng 
biến trên khoảng (0; )+∞ khi m 1.≤ 
c) ðể hàm số cĩ khoảng nghịch biến thì trước hết y’ phải cĩ hai nghiệm phân 
biệt, tức là ' 0.∆ > Khi đĩ gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ (x1< x2) thì hàm số cĩ 
khoảng nghịch biến là (x1 ; x2). ðộ dài khoảng này (khoảng cách giữa 2 nghiệm 
của một phương trình bậc hai) là 1 2 4 'x x .
a a
∆ ∆
− = = Vậy để khoảng nghịch 
biến của hàm số đã cho cĩ độ dài lớn hơn 2 3 ta cần điều kiện đối với tam 
thức 2y ' x 2mx 1= − + là 
2
2
2
' 0
m 1 0 m 2
m 1 3 .4 ' 2 3 m 22 m 1 2 3a
∆ > 
− > > 
⇔ ⇔ − > ⇔∆  > < − 
− >
VD7. Chứng minh hàm số 1y
x
= nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nhưng 
trên tập xác định thì nĩ khơng đồng biến và cũng khơng nghịch biến. 
HD. Hàm số cĩ tập xác định { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ ðạo hàm 
2
1y ' 0, x D.
x
= − < ∀ ∈ Vì 2
1y ' 0, x ( ;0)
x
= − < ∀ ∈ −∞ nên hàm số nghịch biến trên 
khoảng ( ;0)−∞ , vì 2
1y ' 0, x (0; )
x
= − < ∀ ∈ +∞ nên hàm số nghịch biến trên 
khoảng (0; ).+∞ Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = 1 thì y2 = 1, ta thấy 
1 2 1 2x x , y y< < nên hàm số khơng nghịch biến trên D. Tương tự nếu chọn giá 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
14 
14 
trị x1 = 2 thì y1 = 
1
2
, x2 = 3 thì y2 = 
1
3
, do 1 2 1 2x x , y y nên hàm số khơng 
đồng biến trên D. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 
( ;0),−∞ (0; ),+∞ nhưng nĩ khơng đồng biến và cũng khơng nghịch biến trên tập 
xác định { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ 
Bài tập. 
26. Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số 
3 2 4 21 3 x1)y x x ; 2)y ; 3)y x 2x .
4 2 2 x
= − = = − +
−
27. Tìm m để hàm số: a) 3 21y x mx (m 6)x 1
3
= + + + − đồng biến trên .ℝ 
b) 3 2m 1y x (m 1)x 3(m 2)x
3 3
= − − + − + đồng biến trên nửa khoảng [ )2; .+∞ 
c) 3 2y 3x mx x 2= − − − + nghịch biến trên .ℝ d) my 3x
x 1
= +
−
 đồng biến trên 
từng khoảng xác định 
28. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục Ox tại đúng một điểm. 
29. Lập bảng biến thiên của hàm số 
2
2 2 2x 3xa)y x sin x; b)y 4x 1 2x; c)y .
x 1
+
= − = + − =
+
2.5. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số 

 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), điểm x0 (a;b),∈ và cĩ đạo 
hàm trên các khoảng (a; x0), (x0; b). Ta cĩ: 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a; x ); f '(x) 0, (x ;b)> ∀ ∈ < ∀∈ thì f(x) đạt cực đại bằng 
f(x0) tại điểm x = x0. 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a; x );f '(x) 0, (x ;b) ∀∈ thì f(x) đạt cực tiểu bằng 
f(x0) tại điểm x = x0. 
Chú ý: – Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì 0f '(x ) 0= hoặc 0f '(x ) khơng 
xác định. 
 – Nếu f '(x) khơng đổi dấu trên (a; b) thì f(x) khơng cĩ cực trị trên (a; 
b). 
– Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) (C) thì f(x0) được gọi là (giá trị) 
cực trị của hàm số, và M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị (C). 

 Giả sử hàm số f(x) cĩ đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a; b) và điểm x0 
(a;b).∈ Ta cĩ: 
 + Nếu 0 0f '(x ) 0; f "(x ) 0= < thì f(x) đạt cực đại bằng f(x0) tại điểm x = x0. 
+ Nếu 0 0f '(x ) 0; f "(x ) 0= > thì f(x) đạt cực tiểu bằng f(x0) tại điểm x = x0. 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
15 
15 
Chú ý: Nếu 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = thì chưa thể kết luận được hàm số cĩ đạt cực trị 
tại x0 hay khơng (chẳng hạn với f(x) = x3 thì 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số 
khơng đạt cực trị tại x = 0, với f(x) = x4 thì 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số đạt 
cực tiểu tại x = 0, với f(x) = –x4 thì 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số đạt cực đại tại 
x = 0). 
VD8. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1. 
a) Tìm m để hàm số đại cực tiểu tại x = 1. 
b) Tìm m để hàm số cĩ hai điểm cực trị dương. 
c) Tìm m để hàm số cĩ hai cực trị cĩ tích nhỏ hơn 31
27
. 
HD. a) Ta cĩ 2y ' 3x 4x m, y" 6x 4,= − + = − và y"(1) 2 0= > nên hàm số đã cho 
đạt cực tiểu tại x = 1 khi y '(1) 0 m 1.= ⇔ = Vậy với m = 1 thì hàm số cĩ điểm 
cực tiểu x = 1. 
b) Hàm số đã cho cĩ 2 điểm cực trị dương khi phương trình 23x 4x m 0− + = cĩ 
2 nghiệm dương phân biệt, tức là 
' 4 3m 0
4 4S 0 0 m .
3 3
mP 0
3

∆ = − >


= > ⇔ < <


= >
 Vậy với 
40 m
3
< < thì hàm số cĩ hai điểm cực trị dương. 
c) Hàm số đã cho cĩ hai cực trị cĩ tích nhỏ hơn 31
27
 khi phương trình 
23x 4x m 0 (1)− + = cĩ 2 nghiệm 
phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < 3127 . Trước hết, phương trình (1) cĩ hai nghiệm 
phân biệt x1, x2 khi 
4
' 0 m .
3
∆ > ⇔ <
 Theo định lí Viet thì 1 2 1 2
4 m
x x , x x .
3 3
+ = =
Lúc này ta cĩ 
( ) 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2m 8 11 2m 8 11y x x – 2x mx 1 (3x 4x m)( x ) ( )x ( )x 3 9 3 9 9 3 9 9= + + = − + − + − + = − + 
( 21 1do 3x 4x m 0).− + = Tương tự 2 22m 8 11y(x ) ( )x .3 9 9= − + Do đĩ 
( ) ( )1 2 1 231 2m 8 11 2m 8 11 31y x .y x (( )x )(( )x )27 3 9 9 3 9 9 27< ⇔ − + − + < 
2
1 2 1 2
2
2m 8 11 2m 8 121 31( ) x x ( )(x x )
3 9 9 3 9 81 27
2m 8 m 11 2m 8 4 121 31( ) ( )
3 9 3 9 3 9 3 81 27
⇔ − + − + + <
⇔ − + − + <
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
16 
16 
3 23m 8m 22m 17 0 m 1⇔ − + − < ⇔ < (thoả mãn 4m ).
3
< Vậy m < 1 là các giá trị 
cần tìm. 
Bài tập. 
30. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0: 
3 2 4 3a)y x mx (m 1)x; b)y x mx .= − + + = + 
31. Tìm m để hàm số y = x3 – (m+2)x +m đạt cực đại tại x = 1. 
32. Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 
3m2 – 1 cách đều điểm O. 
33. Tìm m để đồ thị (C) 4 21y x (3m 1)x 2(m 1)
4
= − + + + cĩ 3 điểm cực trị là 3 
đỉnh một tam giác đều. 
34. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 
3 21 m 1y x x
3 2 3
= − + biết rằng tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng –1 là 
một đường thẳng song song với d: 5x – y = 0. 
35. Tìm m để hàm số 
2x mx 1y
x m
+ +
=
+
 a)Cĩ hai điểm cực trị trái dấu. b)Cĩ hai 
cực trị trái dấu. 
36. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 đối xứng 
với nhau qua đường thẳng y = x. 
37. Tìm m để hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 cĩ hai điểm cực trị 
dương. 
38. Tìm m để đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng 
nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x. 
39. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m cĩ 3 điểm cực trị A, B, C 
(A là điểm cực trị nằm trên Oy) sao cho OA = BC. 
40. Chứng minh đồ thị hàm số sau luơn cĩ hai điểm cực trị và viết phương trình 
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đĩ: 
2 3
3 21 x m(m 1)x m 1a)y x mx x m; b)y .
3 x m
− + + +
= − − + =
−
41. a) Tìm m để hàm số 4 21 1f (x) x ax 2x 3
4 2
= + + − cĩ 1 điểm cực trị. 
 b) Chứng minh hàm số 
2
2
x 3x 1y (C)
x 1
− +
=
+
 cĩ duy nhất một điểm cực trị và 
đĩ là điểm cực tiểu. 
42. Tìm a, b, c, d để y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0, đạt 
cực đại bằng 1 tại x = 1. 
43. Tìm a, b, c để hàm số y = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1, 
và đồ thị của nĩ cắt trục Oy tại điểm cĩ tung độ bằng 2. 
44. Cho hàm số 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + (C). 
a) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số đã cho luơn cĩ hai điểm cực trị cĩ 
khoảng cách khơng đổi. 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
17 
17 
c) Tìm m để các điểm cực trị của hàm số đã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – 5. 
d) Tìm m để các điểm cực trị của hàm số đã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16. 
e) Chứng minh đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho cĩ 
phương khơng đổi. 
2.6. Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị 
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

 Bảng biến thiên của hàm số cĩ thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất của hàm số hoặc chứng minh bất đẳng thức. 

 ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] ta cĩ 
thể làm theo sơ đồ sau: 
– Tính f '(x) , tìm các giá trị 1 2x , x ,... [a;b]∈ mà tại đĩ f '(x) = 0 hoặc khơng 
xác định. 
– Tính 1 2f (x ), f (x ),..., f (a), f (b) . 
– Khi đĩ 
[ ] [ ]1 2 1 2x a;bx a;bmax f(x) max{f(x ),f (x ),...,f (a),f (b)}, min f (x) min{f (x ),f (x ),...,f (a),f (b)}.∈∈ = = 
VD9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2y 6x 10 4x .= + − 
HD. Tập xác định của hàm số là 10 10D ; .
2 2
 
= − 
 
 Ta cĩ 
2 2
4x 4x 3y' 6 ;6 0 x ,
210 4x 10 4x
= − − = ⇔ =
− −
và 10 10 3y( ) 3 10; y( ) 3 10; y( ) 10.
2 2 2
= − = − = 
Vậy 
x Dx D
3 10
max y y( ) 10; min y y( ) 3 10.
2 2∈∈
= = = − = − 
VD10. a) Cho a, b khơng đồng thời bằng 0, chứng minh 
3 3
4 4 4 4
ab a b 1
.
2a 3b 3a b
+ ≤
+ +
b) Cho hai số dương x, y. Chứng minh rằng 
y
2x y x ye .
x
+ +< 
Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
18 
18 
HD. a) Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x .∈ℝ Cĩ 3 3f '(x) 4x 4b ,= − 
f '(x) 0 x b,= ⇔ = f '(x) 0 x b,> ⇔ > f '(x) 0 x b.< ⇔ < Bảng biến thiên của f(x) 
như sau 
x −∞ b +∞ 
f '(x) 
 – 0 + 
f(x) 
+∞ +∞ 
 0 
Suy ra ( ) 4 3 4f x x – 4xb 3b 0, x .= + ≥ ∀ ∈ℝ Từ đĩ ta được 
3
4 3 4
4 4
ab 1
a – 4ab 3b 0
4a 3b
+ ≥ ⇔ ≤
+
(do a, b khơng đồng thời bằng 0 nên a4 + 3b4 > 0). Tương tự ta cĩ 
3
4 4
a b 1
43a b
≤
+
. 
Cộng hai bất đẳng 
thức này, vế với vế tương ứng, ta được 
3 3
4 4 4 4
ab a b 1
.
2a 3b 3a b
+ ≤
+ +
 Dấu “=” xảy ra 
khi a = b. 
b) Với x, y dương ta cĩ 
y
2x y x y 2x ye (1) 2 ( 1) ln(1 ).
x y x
+ +< ⇔ < + + ðặt 
y
t 1
x
= + 
thì t > 1 và x 1 .
y t 1
=
−
 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
(t 1) ln t 2t 2 0 (2),+ − + > với t > 1. Ta xét hàm 
số f (t) (t 1) ln t 2t 2, t [1; ).= + − + ∀ ∈ +∞ Cĩ t ln t t 1f '(t) .
t
− +
= ðặt 
g(t) t ln t t 1= − + g '(t) ln t.⇒ = Bảng biến thiên: 
t 1 +∞ 
g '(t) 0 + 
g(t) 
 +∞ 
0 
Suy ra f '(t) 0, t 1,> ∀ > và f '(1) 0.= Do đĩ f(t) đồng biến trên nửa khoảng 
[ )1; .+∞ Dẫn tới f(t) > f(1) hay (t 1) ln