Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán 6 năm học 2015 – 2016 Trường THCS Hoằng Phụ

TRƯỜNG THCS HOẰNG PHỤ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
 Năm học 2015 – 2016
 Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1(4 điểm): 
 a. Tìm x; y N biết 2x - 2y = 256
 b. Tính A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
 c. Tìm x biết: 
Tìm số nguyên x, y biết x2y – x + xy = 6
Bài 2(4 điểm): 
Tìm x, y sao cho .
b. Cho biết . Tính: 
 c. Cho a, b. c, d . Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d. Chứng minh rằng a = b. 
 d. Chứng minh rằng nếu x,y Z thì 2x + 3y 17 9x + 5y 17
Bài 3(4 điểm): a. Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
 b. Cho các phân số và . Tìm phân số nhỏ nhất mà khi chia cho mỗi phân số đó ta được một số nguyên ?
Bài 4(2 điểm): Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm; OB = 4cm.
 a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa hai điểm O và B; điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho . Tính số đo ?
Bài 5(4 điểm): Cho góc xOy = 1200.Trong góc xOy vẽ tia Oz sao cho > 2. 
Vẽ tia phân giác Ot của và tia phân giác Om của 
Hỏi trong ba tia Ot, Om, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại
Cho = 300 tính 
Bài 6(2 điểm): Cho ,.
 So sánh với .
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 6 ( Một số bài khó)
Năm học 2015 -2016.
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4 đ)
Tìm x; y N biết 2x - 2y = 256
Vì 256 > 0 => x > y 2x - 2y = 256 ó 2y( 2x-y -1) = 256 = 28
2y( 2x-y -1) = 28 vì 2x-y -1 lẻ => 2x-y -1 = 1 => 2x-y = 2 => x – y =1 => y = 8 và x = 9
x2y – x + xy = 6
 ó (xy – 1)(x + 1) = 5 = 1.5 = (-1)(-5)
Xét 4 trường hợp và kết luận
(x;y) = (-2;2), (-4;0).
Bài 2
(5đ)
a) 
 , mà 2y + 1 là số lẻ nên 2y + 1 là ước lẻ của 30.
 Lập bảng tìm được x, y. 
 Vậy có 8 cặp (x, y) thỏa mãn đề bài là (2; 7), (-2; -8), (6; 2), (-6; -3), (10; 1), (-10; -2), (30; 0), (-30; -1).
b) Ta có: a + b = c + d d = a + b – c.
 Vì ab là số liền sau của cd nên ab – cd = 1.
 Suy ra: ab – c(a + b – c) = 1
 ab – ac – bc + c2 = 1
 a(b – c) – c (b – c) = 1
 (b – c)(a – c) = 1
 a – c = b – c (vì cùng bằng 1 hoặc – 1)
 a = b (đpcm).
d. Chứng minh rằng nếu x,y Z thì 2x + 3y 17 9x + 5y 17
Từ 9x + 5y 17 => 4(9x + 5y) 17 => 34x+17y +2x+3y 17
0,5đ
1,0đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3
(2đ)
B = = .
B đạt GTLN khi đạt GTLN. Vì 11 > 0 và không đổi nên đạt GTLN khi 2n – 5 > 0 và đạt GTNN. Suy ra 2n – 5 = 1n = 3.
 Vậy B đạt GTLN là + 11 = 13,5 khi n = 3. 
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 4
(4đ)
Gọi phân số phải tìm là (x, y và (x, y) = 1)
Ta có: ; 
Vì kết quả là một số nguyên nên 396x 35y và 297x 28y
Mà (396; 35) = 1 ; (297; 28) = 1 và (x; y) = 1 
 396 y và 297 y ; x35 và x 28
Để nhỏ nhất khi x nhỏ nhất và y lớn nhất. Do đó:
x = BCNN(35; 28) = 140
y = ƯCLN(396; 297) = 99
Vậy phân số phải tìm là .
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,25đ
Bài 5
(5đ)
a) Trên tia Oy có OM < OB (vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B
 OM + MB = OB MB = OB – OM = 3cm (1)
Vì Ox, Oy đối nhau mà AOx, MOy nên O nằm giữa A và M
 AM = AO + OM = 3cm (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB = MA = 3cm hay M là trung điểm của AB.
b)
TH1: Ot và Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ xy: 
TH2: Ot và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy: 
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
1,5đ
1,5đ
3)(1,5đ) Đặt 
Ta có (1)
Lại có 
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó: 
0,25
0,5
0,25
0,5