Đề cương môn học Hàm suy rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
----------  ---------- 
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC 
HÀM SUY RỘNG 
1. Thông tin về giảng viên: 
- Họ và tên: Hoàng Quốc Toàn 
- Chức danh, học hàm, học vị: CN Bộ môn Giải tích, PGS. TS. 
- Thời gian, địa điểm làm việc: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Khoa Toán- Cơ- 
Tin học, Bộ môn Giải tích 
- Địa chỉ liên hệ: 
- Điện thoại, email: 
- Các hướng nghiên cứu chính: Phương trình vi phân đạo hàm riêng 
- Thông tin về giảng viên có thể giảng dạy môn học: Đặng Anh Tuấn 
- Địa chỉ liên hệ: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Bộ 
môn Giải tích 
- Email: datuan11@yahoo.com 
- Các hướng nghiên cứu chính: Phương trình vi phân đạo hàm riêng 
2. Thông tin về môn học: 
- Tên môn học: Hàm suy rộng 
- Mã môn học: 
- Số tín chỉ: 2 
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập: 
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp: 25 giờ 
+ Tự học: 5 giờ 
- Đơn vị phụ trách môn học: 
+ Bộ môn: Giải tích 
+ Khoa: Toán - Cơ - Tin học 
- Môn học tiên quyết: Giải tích 1, 2, 3, 4, Đại số tuyến tính, Độ đo và tích phân,Giải 
tích hàm. 
- Môn học kế tiếp: Phương trình Đạo hàm riêng 
 2 
3. Mục tiêu của môn học: 
- Mục tiêu về kiến thức: Cung cấp cho sinh viên các nội dung cơ bản về lý thuyết hàm 
suy rộng và không gian Sobolev nhằm làm cơ sở để đi sâu nghiên cứu lý thuyết hiện 
đại của phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm và toán học tính toán. 
- Mục tiêu về kĩ năng: rèn luyện kỹ năng giải tích hàm, cũng như cách tiếp cận giải 
tích hàm đối với phương trình đạo hàm riêng. 
- Mục tiêu khác: Rèn luyện kỹ năng làm việc theo nhóm. 
4. Tóm tắt nội dung môn học: 
Môn học nhằm giới thiệu không gian các hàm suy rộng, trong đó có không gian 
Sobolev một trong những không gian được dùng phổ biến trong lý thuyết phương trình 
đạo hàm riêng và toán học tính toán. Chương 1 giới thiệu không gian hàm cơ bản, để 
từ đó xác định được không gian hàm suy rộng. Các khái niệm về topo được giới thiệu 
một cách đơn giản qua sự hội tụ. Ngoài ra, giáo trình cũng trình bày các tính chất của 
hàm suy rộng như giá, cấp của hàm suy rộng. Khái niệm căn bản Đạo hàm suy rộng 
cũng được trình bày. Mối liên hệ giữa các không gian hàm suy rộng cũng như hàm cơ 
bản cũng được đề cập đến. Các phép toán cơ bản Tích chập, phép Biến đổi Fourier 
cùng các tính chất của nó được trình bày trong Chương 2. Không gian Sobolev cùng 
các tính chất căn bản như không gian đối ngẫu, định lý nhúng, định lý vết được thảo 
luận trong Chương 3. 
5. Nội dung chi tiết môn học: 
Chương 1 Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy rộng 
1.1 Các kiến thức bổ sung 
1.1.1 Các không gian hàm 
1.1.2 Phân hoạch đơn vị 
1.1.3 Đạo hàm yếu 
1.2 Các không gian hàm cơ bản 
1.2.1 Không gian D(Ω), E(Ω), S(Rn) 
1.2.2 Sự hội tụ trong các không gian hàm cơ bản 
1.2.3 Tính đầy đủ của các không gian hàm cơ bản 
1.3 Các không gian hàm suy rộng 
1.3.1 Không gian hàm suy rộng D’(Ω), E’(Ω), S’(Rn) 
1.3.2 Các phép toán về hàm suy rộng 
1.3.3 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng 
1.3.4 Giá và giá kỳ dị của hàm suy rộng. Hàm suy rộng có giá 
compact 
1.3.5 Hàm suy rộng có cấp hữu hạn 
1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng 
 3 
1.4.1 Đạo hàm của hàm suy rộng và các ví dụ 
1.4.2 Sự tồn tại nguyên hàm của hàm suy rộng 
Chương 2 Tích chập và Phép biến đổi Fourier 
2.1 Tích chập 
2.1.1 Tích chập giữa các hàm trong L loc(Ω) 
2.1.2 Tích chập giữa các hàm suy rộng và hàm cơ bản 
2.1.3 Tích chập giữa các hàm suy rộng 
2.2 Biến đổi Fourier 
2.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi ngược Fourier trong L1(Rn) 
2.2.2 Biến đổi Fourier trong không gian S(Rn) 
2.2.2.1 Biến đổi Fourier đẳng cấu của S(Rn) lên S(Rn) 
2.2.2.2 Biến đổi Fourier của tích chập. Đẳng thức Parserval 
2.2.3 Biến đổi Fourier trong S’(Rn) và các tích chất 
2.2.4 Biến đổi Fourier trong L2(Rn). Đẳng thức Parserval 
2.2.5 Biến đổi Fourier trong D(Rn). Định lý Paley-Wiener. Biến 
đổi Fourier của hàm suy rộng thuộc D’(Rn) 
 Chương 3 Không gian Sobolev 
3.1 Không gian Hs(Rn) và các tính chất. Định lý nhúng Sobolev 
3.2 Không gian Hs(Rn+) và các tính chất. Định lý vết 
3.3 Không gian Sobolev trên miền bị chặn Hs(Ω) và Hs0(Ω) 
6. Học liệu: 
6.1 Học liệu bắt buộc 
1. Bài giảng Lý thuyết hàm suy rộng và Không gian Sobolev, Đặng Anh Tuấn, 
 có trong trang web  
6.2 Học liệu tham khảo 
2. Vladimirov S.V., Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers, Moscow, 
1984, 
3. Rudin W., Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc., 1991. 
4. Schwartz L., Théoies des Distributions, Hermann, Paris, 1978, 
5. Adams R., Sobolev spaces, Academic Press, 1975, 
6. Hormander L., The analysis of linear partial differential equations, Vol 1-2, 
Springer Verlag, New York, 1983, 
7. Taylor M. E., Partial Differential Equations, Vol 1, Springer Verlag, New York, 
1996, 
 4 
8. Lions J., Magenes E., Non-homogeneous Boundary value problems and 
Applications, Vol 1, Springer Verlag, New York, 1972. 
7. Hình thức tổ chức dạy học: 
7.1 Lịch trình chung: 
Nội dung 
Hình thức tổ chức dạy học môn học 
Tổng Lên lớp Thực hành, 
thí nghiệm, 
điền dã 
Tự học, tự 
nghiên 
cứu Lý thuyết Bài tập 
Thảo 
luận 
Chương 1 11 0 0 0 2 13 
Chương 2 8 0 0 0 2 10 
Chương 3 6 0 0 0 1 7 
Tổng 25 0 0 0 5 
7.2 Lịch trình tổ chức dạy học cụ thể: 
Tuần Nội dung chính Yêu cầu sinh 
viên chuẩn bị 
Hình thức tổ chức dạy 
học Ghi chú 
1 Giới thiệu môn học 
Trao đổi về môn học 
Giới thiệu các ký hiệu 
cũng như các kiến thức 
chuẩn bị 
2 Không gian D(Ω), 
D’(Ω) Giảng viên trình bày 
3 Không gian D(Ω), 
D’(Ω) 
Sinh viên 
chuẩn bị ở nhà 
Giảng viên giới thiệu 
Sinh viên trình bày và 
trao đổi với giảng viên 
về Lý thuyết và Bài tập 
4 Không gian E(Ω), 
E’(Ω) Giảng viên trình bày 
5 Không gian E(Ω), E’(Ω) 
Sinh viên 
chuẩn bị ở nhà 
Giảng viên giới thiệu 
Sinh viên trình bày và 
trao đổi với giảng viên 
về Lý thuyết và Bài tập 
6 Không gian S, S’ Giảng viên trình bày 
7 Không gian S’ Sinh viên 
chuẩn bị ở nhà 
Giảng viên giới thiệu 
Sinh viên trình bày và 
trao đổi với giảng viên 
về Lý thuyết và Bài tập 
 5 
Tuần Nội dung chính Yêu cầu sinh 
viên chuẩn bị 
Hình thức tổ chức dạy 
học Ghi chú 
8 
Kiểm tra giữa kỳ 
Giới thiệu Chương 2 
 Kiểm tra và Giảng viên 
giới thiệu về Chương 2 
9 
Tích chập 
Trong Lloc 
Giữa các hàm suy 
rộng và hàm cơ bản 
 Giảng viên trình bày 
Một số 
phần sinh 
viên phải 
tự đọc 
10 Tích chập giữa các 
hàm suy rộng Giảng viên trình bày 
Một số 
phần sinh 
viên phải 
tự đọc 
11 
Biến đổi Fourier 
trong không gian hàm 
cơ bảnS, 
hàm suy rộng S’ 
Sinh viên 
chuẩn bị ở nhà 
Giảng viên giới thiệu 
Sinh viên trình bày và 
trao đổi với giảng viên 
về Lý thuyết 
12 Các Định lý Paley-Wiener Giảng viên trình bày 
Một số 
phần sinh 
viên phải 
tự đọc 
13 
Thu các bản báo cáo 
của sinh viên về phần 
tự đọc và Giới thiệu 
Chương 3 
 Giảng viên giới thiệu về 
Chương 3 
14 Không gian Sobolev trong Rn, Rn+ 
Giảng viên trình bày 
Một số 
phần sinh 
viên phải 
tự đọc 
15 Không gian Sobolev 
trên miền bị chặn Giảng viên trình bày 
Ôn tập hết 
môn học 
8. Yêu cầu của giảng viên đối với môn học: 
- Giảng đường sáng sủa, bảng viết tốt. 
- Sinh viên có thể tự học ở nhà với điều kiện làm một bản báo cáo về đề tài liên quan 
đến môn học được giảng viên giao cho. Khi đã đến lớp, sinh viên cần nghiêm túc 
nghe giảng và nên trao đổi những thắc mắc.9. Phương pháp và hình thức kiểm tra 
đánh giá môn học: 
9.1 Các loại điểm kiểm tra và trọng số của từng loại điểm 
- Phần tự học, tự nghiên cứu, bài tập: 20% 
 6 
- Thi giữa kỳ: 30% 
- Thi cuối kỳ: 50% 
9.2 Lịch thi và kiểm tra (kể cả thi lại) 
- Thi giữa kỳ tổ chức vào khoảng tuần thứ 8 của kỳ học. 
- Thi cuối kỳ : Sau khi kết thúc tuần thứ 15. 
9.3 Tiêu chí đánh giá các loại bài tập và các nhiệm vụ mà giảng viên giao cho sinh 
viên. 
- Kiểm tra viết: cần sinh viên áp dụng tốt các lý thuyết đã học, làm chính xác các yêu 
cầu của đề thi. 
- Trình bày trước lớp cần sáng sủa, rõ ràng, không nhất thiết phải hiểu rõ ràng nhưng 
cần phải nắm được cái sườn của vấn đề đang trình bày. 
- Viết báo cáo: cần sinh viên viết rõ ràng, có giải thích cặn kẽ phù hợp với giáo trình 
những vấn đề viết trong báo cáo.