Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Số 23

Đề số 53:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
 Thực hiện phép tính :
a. 
b.
Câu 2 ( 2 điểm)
a. Tìm số nguyên a để là số nguyên
b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0
Câu 3 ( 2 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác 0
b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + để được một số có ba chữ 
số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1
Đáp án chấm Toán 7
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x- 2xy + y = 0 
Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc 
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d)
Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n + 1) =2.3.37.a 
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 
( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37
Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó không thoả mãn 
Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn 
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC 
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H 
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên tố thoả mãn 
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn 
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Đề số 54:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ) - 
 Rút gọn biểu thức 
 a- A = a - 2 + 3 - 2a - 5 + a
 b- với n N
Bài 2 (4 đ) . 
 Chứng minh rằng : nếu a,b,c là các số không âm thoả mãn các điều kiện sau : a + 3 c = 8 và a + 2 b = 9 thì N = a + b - c - là số không dương . Tìm a,b,c để N = 0
 Bài 3 (4 đ) . 
 Cho biểu thức A = 
 Biểu thức A có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị đó 
Câu 4 (4 đ) 
 Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 0 . Phân giác trong của CAB cắt CB tại D . Chứng minh rằng AD + DC = AB
Bài 5 ( 4 đ) 
 Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm D sao cho hai điểm B , D nằm khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua trung điểm M của CD và vuông góc với AD .
 Chứng minh KB = KD
-------------------------*****-------------------------