Bài tập luyện thi học sinh giỏi Toán 7

Bài 1: Tính : 
Bài 2: Cho các số a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức : A = x2003 + y2003 + z2003
Biết x, y, z thỏa mãn điều kiện 
Bài 3: Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn : 
Biết rằng a, b, c khác – 1. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Bài 4: Cho số x > 0 thoả mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức 
Bài 5: Tìm x biết 
Biết a, b, c khác 0 và a + b + c ¹ 0; 
Bài 6: 
1. Cho f(x) = (3m – 1)x + m – 2x – 1. Tìm m để f(x) có nghiệm
2. Tìm x biết |2x – 1| + |2x + 1| = 4 (1)
3. Cho f(x) = (1 – 3x + 3x2)2003 (1 + 3x – 3x2)2403 .Tìm tổng các hệ số của đa thức f(x) có được sau khi khai triển 
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) và H là trực tâm. Vế phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân tại A là DAMB và DANC. Gọi I là trung điểm của MN. 
Chứng minh I, A, H thẳng hàng. 
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A có . Ở miền trong của tam giác ABC lấy điểm M sao cho . Trên cạnh AC lấy N với AN = BM. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.
Bài 9: Cho A = 1 + 2015 + 20152 + 20153 + . . . + 201599 . 
Chứng tỏ rằng : 2014A + 1 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì 
Bài 11: Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Tính : 
Giải:
Bài 2: Cho các số a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức : A = x2003 + y2003 + z2003
Biết x, y, z thỏa mãn điều kiện 
Giải: Từ GT suy ra: 
Do 
Nên từ (*) suy ra x = y = z vì thế A = 0
2. Tìm x biết |2x – 1| + |2x + 1| = 4 (1)
- Nếu thì |2x – 1| = 2x – 1 ; |2x + 1| = 2x + 1
Từ (1) ta có: 2x – 1 + 2x + 1 = 4 Û 4x = 4 Û x = 1, thỏa mãn đk
- Nếu thì |2x – 1| = 1 – 2x ; |2x + 1| = 2x + 1
Từ (1) ta có: 1 – 2x + 2x + 1 = 4 Û 2 = 4, vô nghiệm
- Nếu |2x – 1| = 1 – 2x ; |2x + 1| = – 2x – 1
Từ (1) ta có: 1 – 2x – 2x – 1 = 4 Û – 4x = 4 Û x = –1, thỏa mãn đk
Vậy x = 1 và x = –1
Bài 10:- Gọi D là giao điểm của đường thẳng IA và cạnh BC. Lấy E trên tia đối của tia IA sao cho I là trung điểm của AE.
- Xét DIEM và DIAN có 
	IE = IA (vì I là trung đểm của AE)
	 (hai góc đ đ)
IM = IN ((vì I là trung đểm của MN)
Do đó : DIEM = DIAN (c.g.c)
Þ 
Mà ở vị trí so le trong nên ME // AN
Þ (hai góc trong cùng phía) (1)
Ta có: (Vì 4 góc này không có )
Þ (do DAMB vuông tại A, DANC vuông tại A)
Þ 	(2)
- Từ (1) và (2) suy ra : 
- Ta có : 
- Xét DAME và DABC có : MA = AB (vì DAMB cân tại A); , ME = AC
Do đó DAME = DABC (c.g.c)
Þ 
Mà 1800 (vì E, A, D thẳng hàng)
Do đó : = 1800 
Lại có : = 1800 (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Nên (DAMB vuông tại A) 
Þ AD ^ BC mà AH ^ BC (H là trực tâm của DABC) nên AD º AH Þ A, H, D thẳng hàng
Mặt khác I, A, D thẳng hàng (theo cách vẽ)
Do đó I, A, H, D thẳng hàng 
Vậy: I, A, H thẳng hàng. 	
Bài 11:
- Từ gt suy ra , 
Þ DACM cân tại C.
- Vẽ D nằm trong tam giác ACM sao cho DAMD đều
- C/m : DDCA = DDCM (c.c.c) 
- C/m DABM = DACD (c.g.c) 
- Tam giác MAB có và 
- Vẽ E nằm trong tam giác ABN sao cho DAEN đều và AE = BM (= AN)
- C/m DAEB = DBMA (c.g.c) 
Mà nên 
- C/m DAEB = DNEB (c.g.c) Þ BE là tia phân giác của góc ABN 
Mà (vì DAEB = DBMA)
Nên 
Do đó . Suy ra tia BM trùng tia BN
Vậy : B, M, N thẳng hàng.